1、第一章,函数、极限与连续,第一节 函 数,一、函数概念 二、函数的一些特性 三、函数的运算 四、反函数与复合函数 五、初等函数 六、双曲函数与反双曲函数 七、曲线的参数方程与极坐标方程,第一章,一、函数概念,函数是两个非空数集之间的一种对应关系.,D,R,x,y,函数f (对应法则)保证D中每个x只与唯一确定的 y对应.,定义域,自变量,因变量,记作,称这个集合是函数的值域.,函数的两要素:,定义域与对应法则.,约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,判断函数是否相同:,函数图形:,函数 y= f (x) 的图形是由坐标平面上的下列点集构成的.,开区间,闭区间,2.区间与邻域
2、,有限区间,无限区间,半开区间,邻域,其中,a 称为邻域中心, 称为邻域半径 .,去心 邻域,左 邻域:,右 邻域:,3.分段函数,符号函数,点a 的 邻域,二、函数的几种特性,1函数的有界性:,设函数,区间,若存在常数,对每一个,都有,则称,在 I 上有上界.,若存在常数,对每一个,都有,则称,在 I 上有下界.,若存在正数,对每一个,都有,则称,若这样的 M不存在，则称函数,无界.,函数有界或无界的几何意义是什么？,有界.,设函数,有界，,是函数的,一个界.,y=M,y=-M,设函数,无界，,即不存在正数,对每一个,都有,2函数的单调性:,设函数,区间,称,为I 上的,单调增函数.,称,为
3、I 上的,单调减函数.,3函数的奇偶性:,设函数,(1) 若对于每一个,(2) 若对于每一个,4函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,三、函数的运算,函数的和、差、积、商、幂运算,恒,1.反函数,若函数,是一一的,则存在函数,习惯上,的反函数记成,称此函数,为 f 的反函数，,其反函数,(减),(减).,1)yf (x) 单调递增,且也单调递增,性质,定义,记作,四、反函数与复合函数,例如 ,对数函数,互为反函数且都,指数函数,单调递增,2) 函数,与其反函数,的图形关于直线,对称 .,2. 复合函数,则,设有函数链,称为由, 确定的复合函数 ,u 称为中间变量.,D是这
4、个复合函数的定义域.,例,如何求复合函数的定义域？,x,u,y,注意: 构成复合函数的条件,不可少.,定,五、初等函数,(1) 基本初等函数,常值函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2) 初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数 .,例如 ,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成 ,称为初等函数.,可表为,故为初等函数.,又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .,( 自学, P15 P17 ),幂函数、,七、曲线的参数方程与极坐标方程,即,1. 曲线的参数方程,的函数，,有时候函数的自变量与因变量可作为某个变量,例如,则称,其中t称
5、为参变量或参数.,为函数图形曲线的参数方程，,称为该直线方程的参数方程.,椭圆参数方程为,椭圆方程为,例,摆线的参数方程为,摆线的一拱,星形线的参数方程为,1,1,2.曲线的极坐标方程,点的极坐标与直角坐标的关系,1,与,的关系？,曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化,例 将下列圆的直角坐标方程转化为极坐标方程,阿基米德螺线,相应于 02 的一段.,心形线,.,双纽线,作 业 P23 1.(2)(5) 2.(3)(6) 3.(2)(4) 4. 5.(2) 7(4) 8(3) 11. 15 (5),且,练习题1,证明,时,其中,a, b, c 为常数,且,为奇函数 .,1.设,练习题1解答,设,则,故,
