1、第一章实数集与函数 1实数 2数集确界原理 3函数的概念 4复合函数与反函数 1 1实数 一 实数及其性质 二 绝对值与不等式 若规定 则有限十进小数都能表示成无限循环小数 实数 对正整数 对负有限小数 包括负整数 y 先将 y表示成无限小数 再在无限小数前加负号 如 8 7 999 一 实数及其性质 1 回顾中学中关于有理数和无理数的定义 说明 对于负实数x y 若有 x y与 x y 则分别称x y与xx 2 两个实数的大小关系 说明 自然规定任何非负实数大于任何负实数 1 定义1 定义2设 为实数x的n位不足近似 而有理数 称为x的n位过剩近似 n 0 1 2 为非负实数 称有理数 2
2、通过有限小数比较大小的等价条件 对于负实数 其n位不足近似和n位过剩近似分别规定为 和 注意 对任何实数x 有 命题1设 实数的性质 1 实数集R对加 减 乘 除 除数不为0 四则运算是封闭的 即任意两个实数和 差 积 商 除数不为0 仍然是实数 2 实数集是有序的 即任意两个实数a b必满足下述三个关系之一 ab 为两个实数 则 3 实数集的大小关系具有传递性 即若a b b c 则有a c 5 实数集R具有稠密性 即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数 且既有有理数 也有无理数 6 实数集R与数轴上的点具有一一对应关系 即任一实数都对应数轴上唯一的一点 反之 数轴上的每一点也都唯一的代表一个实数 例1 证明 例2 证明 二 绝对值与不等式 从数轴上看的绝对值就是到原点的距离 绝对值定义 绝对值的一些主要性质 性质4 三角不等式 的证明 由此可推出 几个重要不等式 均值不等式 算术平均值 几何平均值 调和平均值 有平均值不等式 等号当且仅当时成立 Bernoulli不等式 利用二项展开式得到的不等式 由二项展开式 今日作业 P4 3 4 6 7 TheClassisover Goodbye
