1、一、不定积分的概念,二、不定积分的性质基本积分公式,三、换元积分法,四、分部积分法,五、有理函数的积分,第一节 不定积分,第三章 一元函数积分学,一、不定积分的概念,定义3-1 若在某区间上 ,则称 为 在该区间上的一个原函数,例,（2）若 和 都是 的原函数,则,（ 为任意常数）,（3） 为 原函数的全体,定义3-2 若函数 是 一个原函数,则 原函 数的全体 称为 的不定积分.记为 .,由此可知,求 不定积分只需求出 一个原函数,再加上任意常数 .,例3-1 求,解,例3-2 求,解,不定积分的几何意义,是积分曲线 上、下平移所得到一族积分曲线，称为积分曲线族,在点 处有相同的斜率 ，即这
2、些切线互相平行,二、不定积分的性质和基本积分公式,性质3-3,性质3-4,基本积分公式,(3),(4),例3-3 求,例3-4 求,解,解,例3-5 求,解,例3-7 求,例3-6 求,解,解,例3-8 求,解,但是,解决方法 利用复合函数，设置中间变量.,三、换元积分法,因为,第一类换元法(凑微分法),注意 使用此公式的关键在于,定理3-1,则有换元公式,证明,解,例3-9 求,例3-10 求,解,对换元积分比较熟练以后,不必写出中间变量,例3-11 求,解,例3-12 求,解,例3-13 求,解,例3-14 求,解,同理可得,例3-15 求,解,解,例3-16 求,例3-17 求,解,解法
3、1,例3-18 求,解法2,解法3,凑微分常见的类型,第一类换元法是通过变量替换 将积分,下面介绍的第二类换元法是通过变量换 将积分,2第二类换元法,定理3-2 设 单调、可导，且 ，若 具有原函数 ，则有,证明,注意 使用此公式的关键在于通过变量替换 将 换成一个容易求得的积分 来计算,例3-19 求,解 令,对被积函数中含有无理根式的积分，通过适当的变换去掉根式后再积分，也称根式代换.,例3-20 求,解 令,若被积函数中含有 时,可采用三角替换的方法化去根式,这种方法称为三角代换.,三角代换常有下列规律,解 设,例3-21 求,解 令,例3-22 求,解 令,例3-23 求,注 倒数代换
4、 也是常用的代换之一,解 令,例3-24 求,考虑积分,解决思路,利用分部积分法,四、分部积分法,定理3-3,即,两边求不定积分,所以,解 令,如果令,显然， 选择不当，积分更难进行.,例3-25 求,更复杂了!,选择注意以下两点,若被积函数是幂函数和指数函数（或三角函数）的乘积, 设幂函数为 .,例3-26 求,解,解,例3-27 求,例3-28 求,解,解 令,例3-29 求,若被积函数是幂函数和对数函数（或反三角函数）的乘积，设对数函数或反三角函数为 .,例3-30 求,若被积函数是指数函数与三角函数乘积时,二者皆可作为 ,但作为 的函数的类型不变.,例3-31 求,有理函数 两个多项式
5、的商表示的函数.,五、有理函数的积分,其中 、 都是非负整数； 及 都是实数,并且 ， .,假定分子与分母之间没有公因式,例,注意,(1)利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,其中 都是待定的常数.,分母中若有因式 ，则分解后为,其中 为待定的常数.,便于求积分必须把真分式化为部分分式之和,同时要把上面的待定的常数确定,这种方法叫待定系数法,例3-32 求,方法1：去分母,两端同乘以 ,得,比较两端 同次幂的系数,得,解方程组,得,方法2：在恒等式中 ,令 ,得 ;令 ,得 .,例3-33 求,解 设,解 设,例3-34 求,解,例3-35 求,分析: 被积函数的分母 在实数范围内不能因式分解,可用凑微分法求解.,1原函数的概念 不定积分的概念 不定积分的性质 基本积分公式,主要内容,2两类换元法,3分部积分法,（1） 若被积函数是幂函数和指数函数（或三角函数）的乘积, 设幂函数为 .,(2) 若被积函数是幂函数和对数函数（或反三角函数）的乘积，设对数函数或反三角函数为 .,(3) 若被积函数是指数函数与三角函数乘积时,二者皆可作为 ,但作为 的函数的类型不变.,
