1、 官 方 网 站 ： 咨 询 电 话 010-821215563T 教 育 社 区 -杰 睿 教 育 旗 下 的 学 生 和 家 长 交 流 平 台 社 区 网 址 ： 开始是否i输出 S结束2iS1i1,Si北京市西城区 2011 年高三一模试卷数 学（理科） 2011. 4 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合 AxZ， 20Bx，则 AB等于（A） (2,5)（B） 2,)（C） ,34（D） 3,452下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（A） xy（B） 2yx（C） 2yx（D）
2、 3yx3. 设 3log2a， l4b， 5.0c，则（A） c（B） a（C） cab（D） bac4设向量 (1,sin)， (3sin,1)，且 /，则 os2等于（A） 3（B） （C） 3（D） 35. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为 ，则处应填的数字为（A） 4（B） 5（C） 6（D） 76.已知函数 xycosin， xycosin2，则下列结论正确的是（A）两个函数的图象均关于点 (,0)4成中心对称（B）两个函数的图象均关于直线 成中心对称（C）两个函数在区间 (,)上都是单调递增函数（D）两个函数的最小正周期相同7已知曲线 1:(0)yx及两点 1(,0)Ax和 2
3、(,)，其中 210x.过 1A，2A分别作 x轴的垂线，交曲线 C于 B， 两点，直线 1B与 轴交于点 3(,)x，那么（A） 312,成等差数列 （B） 312,x成等比数列（C） 3x成等差数列 （D） 3成等比数列官 方 网 站 ： 咨 询 电 话 010-821215563T 教 育 社 区 -杰 睿 教 育 旗 下 的 学 生 和 家 长 交 流 平 台 社 区 网 址 ： 8如图，四面体 OABC的三条棱 OCB,两两垂直， 2OBA, 3C， D为四面体 外一点.给出下列命题.不存在点 D,使四面体 有三个面是直角三角形不存在点 ,使四面体 是正三棱锥存在点 ,使 C与 A
4、B垂直并且相等存在无数个点 ,使点 O在四面体 CD的外接球面上其中真命题的序号是（A） （B） （C） （D）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 在复平面内，复数 2i1对应的点到原点的距离为_.10.如图，从圆 O外一点 P引圆 的切线 A和割线 PB，已知 2A， 4PC，圆心 到 BC的距离为 3，则圆 的半径为_.11.已知椭圆 :cos,()2inxyR经过点 1(,)2m，则 _，离心率 e_.12.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_.13.某展室有 9 个展台，现有 件展品需要展出，要求每件展品独自占用 1个展台，并且 3件展品所选
5、用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法 有_种；如果进一步要求 3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展 位，则不同的展出方法有_种.14.已知数列 na的各项均为正整数，对于 ,321n，有1 135,2nnn nkka 为 奇 数为 偶 数 .其 中 为 使 为 奇 数 的 正 整 数，当 1a时，10a_；若存在 *mN，当 n且 na为奇数时， na恒为常数 p，则 的值为_.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分 13 分）设 ABC中的内角 ， B， C所对的边长分别为 ， b， c，且 54osB, 2b.（
6、）当 35a时，求角 A的度数；（）求 ABC面积的最大值.16（本小题满分 13 分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为 1,23p.且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为 14.PABCOOABDC正(主)视图俯视图侧(左)视图3443 33官 方 网 站 ： 咨 询 电 话 010-821215563T 教 育 社 区 -杰 睿 教 育 旗 下 的 学 生 和 家 长 交 流 平 台 社 区 网 址 ： （）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（）求 p的值；（）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为 X，求 的分布列和
7、数学期望 EX.17.（本小题满分 13 分）如图, ABCD是边长为 3的正方形， DE平面 ABC， DEF/， AF3， BE与平面 ACD所成角为 06.()求证： 平面 ；()求二面角 EF的余弦值；（）设点 M是线段 B上一个动点，试确定点 M的位置，使得/A平面 ，并证明你的结论.18. （本小题满分 14 分）已知函数 2(1)axf，其中 0a.（）求函数 的单调区间；（）若直线 0xy是曲线 ()yfx的切线，求实数 a的值；（）设 2()ln()gf，求 g在区间 1,e上的最大值.（其中 e为自然对数的底数）19. （本小题满分 14 分）已知抛物线 2(0)ypx的焦
8、点为 F，过 的直线交 y轴正半轴于点 P，交抛物线于 ,AB两点，其中点A在第一象限.（）求证：以线段 FA为直径的圆与 y轴相切；A BCDFE官 方 网 站 ： 咨 询 电 话 010-821215563T 教 育 社 区 -杰 睿 教 育 旗 下 的 学 生 和 家 长 交 流 平 台 社 区 网 址 ： （）若 1FAP, 2BFA, 1,42，求 2的取值范围.20.（本小题满分 13 分）定义 ),(21na1231|naa 为有限项数列 na的波动强度.（）当 时，求 10(,) ；（）若数列 ,bcd满足 )bc，求证： (,)(,)bcdb；（）设 na各项均不相等，且交
9、换数列 na中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列n一定是递增数列或递减数列.官 方 网 站 ： 咨 询 电 话 010-821215563T 教 育 社 区 -杰 睿 教 育 旗 下 的 学 生 和 家 长 交 流 平 台 社 区 网 址 ： 北京市西城区 2011 年高三一模试卷参考答案及评分标准数学（理科） 2011.4一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B A D B C A D二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 2 10. 2 11. 415， 3212.
10、 1 13. 60， 48 14.6； 或注：11 题，13 题，14 题第一问 2 分，第二问 3 分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分 13 分）解：（）因为 54cosB，所以 5sinB. 2 分因为 3a， 2b，由正弦定理 bAasii可得 21inA. 4 分因为 ，所以 A是锐角，所以 o0. 6 分（）因为 BC的面积 acBcS103sin2， 7 分所以当 ac最大时， 的面积最大.因为 abo22，所以 5842. 9 分因为 ，所以 85c， 11 分所以 10ac，（当 10时等号
11、成立） 12 分所以 ABC面积的最大值为 3. 13 分16.（本小题满分 13 分）解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件 321,A，依题意有1231(),(),(),PAPAp且 321,相互独立.（）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为 12(). 3 分（）设“三人中只有甲破译出密码”为事件 B，则有官 方 网 站 ： 咨 询 电 话 010-821215563T 教 育 社 区 -杰 睿 教 育 旗 下 的 学 生 和 家 长 交 流 平 台 社 区 网 址 ： ()PB123)A 1()3p， 5 分所以 4p， . 7 分（） X的所有可能取值为 ,0. 8
12、分所以 1()P，123)AP123()AP123()A44，()PX123()123()123()，(3)= 123()A 42 . 11 分X分布列为： 013P41412412 分所以， 13()0212EX. 13 分17.（本小题满分 13 分）()证明： 因为 D平面 ABC，所以 E. 2 分因为 ABC是正方形，所以 ，从而 平面 . 4 分()解：因为 DE,两两垂直，所以建立空间直角坐标系 xyz如图所示.因为 B与平面 AC所成角为 06，即 60DBE， 5 分所以 3.由 D可知 E， F. 6 分则 (,0)A， (,6)， (0,36)， (,0)B， (,3)C
13、，所以 BF， 2， 7 分yBCAEzDFxyBCAEzDFxM官 方 网 站 ： 咨 询 电 话 010-821215563T 教 育 社 区 -杰 睿 教 育 旗 下 的 学 生 和 家 长 交 流 平 台 社 区 网 址 ： 设平面 BEF的法向量为 n(,)xyz，则 0BFEn，即 3602yzx，令 6z，则 (4,26. 8 分因为 AC平面 D，所以 CA为平面 BD的法向量， (3,0)CA，所以 13cos,326n. 9 分因为二面角为锐角，所以二面角 BEF的余弦值为 13. 10 分()解：点 M是线段 BD上一个动点，设 (,0)Mt.则 (3,0)At，因为
14、/平面 EF，所以 n， 11 分即 4(3)20tt，解得 2t. 12 分此时，点 M坐标为 (,)， 13BD，符合题意. 13 分18. （本小题满分 14 分）解：（） 3(2)axf，（ 0）， 3 分在区间 (,0和 ,上， ()f；在区间 (0,2)上， ()0fx.所以， )fx的单调递减区间是 ,和 ,，单调递增区间是 ,2. 4 分（）设切点坐标为 0(,)y，则02031()axyx7 分（1 个方程 1 分）解得 01x， a. 8 分（） ()gln(1)x，则 ， 9 分解 ()0x，得 1ea，所以，在区间 ,)上， ()gx为递减函数，在区间 1(a上， 为递
15、增函数. 10 分当 1ea，即 0时，在区间 1,e上， ()gx为递增函数，官 方 网 站 ： 咨 询 电 话 010-821215563T 教 育 社 区 -杰 睿 教 育 旗 下 的 学 生 和 家 长 交 流 平 台 社 区 网 址 ： 所以 ()gx最大值为 (e)ega. 11 分当 1ea，即 2时，在区间 1,上， ()gx为递减函数，所以 ()最大值为 ()0. 12 分当 1a，即 a时， 的最大值为 (e)和 1g中较大者；(e)eg，解得 a，所以， 1时， ()gx最大值为 ()g， 13 分2ea时， 最大值为 10. 14 分综上所述，当 e0时， ()x最大
16、值为 (e)ea，当 1时， ()gx的最大值为 (1)0g.19. （本小题满分 14 分）解：（）由已知 (,)2pF,设 1(,)Axy，则 21px，圆心坐标为 14x，圆心到 轴的距离为 4， 2 分圆的半径为 112()2xp， 4 分所以，以线段 FA为直径的圆与 y轴相切. 5 分（）解法一：设 02(,),)PyBx，由 1FAP, 2BFA,得111(,)2px， 221(,)()ppxy， 6 分所以 0,y，2121()x， 8 分由 y，得 1y.又 21p， 2x，所以 1x. 10 分代入 2()，得 21()ppx， 212()()x，整理得 12px， 12
17、分代入 11，得 122p，所以 122， 13 分官 方 网 站 ： 咨 询 电 话 010-821215563T 教 育 社 区 -杰 睿 教 育 旗 下 的 学 生 和 家 长 交 流 平 台 社 区 网 址 ： 因为 12,4，所以 2的取值范围是 4,23. 14 分解法二：设 ),(),(21yxBA， :pAxmy，将 pxmy代入 ，得 220，所以 21（*）， 6 分由 FAP， 2BFA，得1101(,)(,)2pxyxy， 221(,)(,)ppxyxy， 7 分所以， 01，212(),xy， 8 分将 12y代入（*）式，得21p， 10 分所以 12px， 12
18、. 12 分代入 11，得 122. 13 分因为 12,4，所以 2的取值范围是 4,3. 14 分20（本小题满分 13 分）（）解： 121023910(,)|aaaa 1 分8. 3 分（）证明：因为 ,|bcdbcd，()，所以 ,|aaacbd . 4 分因为 ()0，所以 ，或 .若 bc，则 (,)(,)|bcdb|cbd当 时，上式 ()2()0cd，当 时，上式 bd，当 时，上式 ，即当 ab时， (,)(,)abc. 6 分若 abc，则 (,)(,)|dcdabd，0.（同前）所以，当 0时， (,)(,)ab成立. 7 分官 方 网 站 ： 咨 询 电 话 010
19、-821215563T 教 育 社 区 -杰 睿 教 育 旗 下 的 学 生 和 家 长 交 流 平 台 社 区 网 址 ： （）证明：由（）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.（将此作为引理）下面来证明当 12a时， n为递减数列.（）证明 3.若 31，则由引理知交换 32,a的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.若 2 ，则 121212121(,)|(,)aa ，与已知矛盾.所以， 3a. 9 分（）设 1in ，证明 ii.若 iiia，则由引理知交换 1,ia的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.若 ，则 2121(,)(,)ii iiia，与已知矛盾.所以， 1ii. 11 分（）设 2na ，证明 n.若 na，考查数列 121,a ，则由前面推理可得 ，与 121na 矛盾.所以， 1n. 12 分综上，得证.同理可证：当 12a时，有 na为递增数列. 13 分
