1、复变函数与积分变换,王卫卫,哈尔滨工业大学（威海）,使用教材与参考教材,使用教材： 复变函数与运算微积 孙振绮等编，机械工业出版社，1996,参考教材： 复变函数与积分变换 苏变萍编，高等教育出版社 复变函数论 钟玉泉编 高等教育出版社,第一节 复数 区域和边界,一、复数及其代数运算,二、复数的几何表示,三、复数的乘幂和方根,四、平面和区域,4,一、复数及其代数运算,对虚数单位的规定:,虚数单位的特性:,6,1.复数的定义,7,两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.,复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.,即 ,则,即 ,则,8,共轭复数:,实部相同而虚部互为相反数的两个复数
2、称为共轭复数.,9,2.复数的代数运算,(1). 两复数的和与差:,(2). 两复数的积:,例1,解,10,(3). 两复数的商:,复数的运算满足,加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 加法对乘法的分配律,11,共轭复数的性质:,12,例2,解,13,例3,解,14,例4,解,15,例5,解,16,由此可见, 在复数中无法定义大小关系.,说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就是说, 复数不能比较大小.,17,三、小结,本课学习了复数的有关概念、性质及其运 算. 重点掌握复数的运算, 它是本节课的重点.,二 复数的几何表示,1、复平面,
3、2、复数的模,4、复数的三种表示形式及相互转化,3、复数的辐角,5、复球面,19,1. 复平面,20,2. 复数的模(或绝对值),显然下列各式成立,21,利用平行四边形法求复数的和差,两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.,22,3. 复数的辐角,说明,辐角不确定.,23,辐角主值的定义:,大家想一想，辐角主值是否唯一？,辐角主值怎么求？,辐角怎么求？,24,25,第一次课,26,27,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成,复数的三角表示式,再利用欧拉公式,复数可以表示成,复数的指数表示式,欧拉介绍,4.复数的三种表示及其相互转化,28,设复数 ，则复数,的充要条件是,29,
4、例3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:,解,故三角表示式为,30,指数表示式为,故三角表示式为,指数表示式为,31,故三角表示式为,指数表示式为,32,33,例5,解,(三角式),(指数式),34,课堂练习,35,根据复数的几何意义，我们知道, 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.下面给出几个具体实例,36,例6,解,所以它的复数形式的参数方程为,37,38,例7,求下列方程所表示的曲线:,解,39,化简后得,40,课堂练习,41,42,例8,指明下列不等式所确定的轨迹或所在范围，并作图,解,43,是角形域
5、,是一原点为中心， 为半径的圆的外部,44,表示到1, 1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,圆环形区域,45,注意 通常在求轨迹或者画图时，可以先利用模与辐角的几何意义直接判断，往往比较简单。当该方法不适用时，可以将 代入，从而将复条件(关于 的)转化为关于 的实条件，利用平面解析几何的知识进行判断,课堂练习,第二课结束,46,5、复球面,(1) 南极、北极的定义,47,球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数.,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面.,(2)复球面的定义,我们规定: 复数中有一个唯
6、一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作 . 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大 的几何表示.,48,(3) 扩充复平面的定义,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面.,复球面的优越处:,能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.,对于复数 来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大.,49,50,思考题,是否任意复数都有辐角?,51,思考题答案,否.,它的模为零而辐角不确定.,放映结束，按Esc退出.,52,Leonhard Euler,Born: 15 April 1707 in Basel, Switzerland Died: 18 Sept 1783 in St Petersburg, Russia,欧拉资料,
