1、“割补思想”的若干应用 汕头市第一中学 戴德承Page 1 of 12退一步海阔天空“目标转化思想”的若干应用【关键字】让步假设 割补法 应用【摘要】本文主要讨论在算法设计中，如何将不易求解的问题转化成为一个范围较大、但容易求解的问题，然后再将所扩大部分削减，最后得出所要的答案。讨论中主要是针对计算集合和组合数学中的一些常见问题进行剖析，同时也涉及了一些公理，如容斥原理等。在一些问题中并不一味追求一个完全理想的算法，而是将所用的方法取长补短，并讨论算法的利弊及对解题的帮助。第一章 概述古人常说：“退一步，海阔天空。 ”这是在教我们在待人接物中，要学会忍让；在追求目标时，要有所取舍。的确如此。但
2、我们除了在行为举止中遵循古人的教诲之外，是否还可以从中得到一些启发呢？比方说，在做学问受阻而停滞不前时，能否将所不能解决的问题扩大求解呢？答案是肯定的，这正如数学界对“歌德巴赫猜想”的证明， “1+1”不行，暂且退一步，而且一退就退到了“9+9” ，然后再一步步地向目标逼近，直到现在陈景润的“1+2” ，不管这个猜想的证明最后能不能成功，它至少给了我们一点启发：在信息学中，也可以有“让步” ，退一步，同样海阔天空。在我们平时设计算法时，经常会遇到一些难以解决的问题，有时可以先将问题求解的范围扩大（如条件放松、给以适当假设（猜想） 、目标放大等） ，然后再对新的问题求解，最后，将扩大部分“剪掉”
3、 ，就解决了问题。例如 2002NOI 分区联赛（提高组）复赛第二题，整数划分。问题问的是：将一个自然数 n 分解成为 k 部分A1，A2，A3，Ak（其中 A1k) THEN hh+14 tk“割补思想”的若干应用 汕头市第一中学 戴德承Page 7 of 125 WHILE (Pt1 外凸)AND(t=1)。5设棋盘 C 由两个子棋盘 C1和 C2组成，如果 C1和 C2的布棋方案是互相独立的，则有 ki ikR021ik )()()R定义 1：设 C 是棋盘，则 0k)()xC叫做棋盘多项式。显然，在上述定义中当 k 大于棋盘的格子数时 Rk（C）=0，所以 R（C）一般只有有限项。例如
4、：R（ ）=R 0（ ）+R 1（ ）x+ R 2（ ）X 2=1+2X+X2根据 Rk（C）的性质不难得到 R（C）的性质。1R（C）=xR(C i)+R(Cl)，其中 Ci和 Cl的定义如前所述。2R（C）=R(C i)R(Cl) ，其中 Ci和 Cl的定义如前所述。利用这两条性质可以计算棋盘多项式。例 1 计算 R（ ）解：R（ ）=X*R（ ）+R（ ）=X（1+X）+（1+2X）=1+3X+X2下面我们就可以利用棋盘多项式来解决有禁区的 排列问题。首先可以看到 X=1，2，3，n的一个 排列恰好对应了 n 个棋子在 棋盘上的一种排布。在n 图中，我们以棋盘的 n 行表示 X 中的元素
5、，列表示位置， 则这种放置方案就对应了排列 2143。如果在排列中限制 元素 i 不能放在第 j 个位置，则相应的布棋方案中的棋 盘第 行第 j 列就不能放置棋子。我们把所有这些不许放置棋的方格称作禁区。定理 1 设 C 是 的具有给定禁区的棋盘，这个禁区对应集合n“割补思想”的若干应用 汕头市第一中学 戴德承Page 10 of 121，2，n中的元素在排列中不允许出现的位置。则这种有禁区的排列数是 nrnrn)1()!2()!1(! 其中 ri是 I 个棋子放置到禁区的方案数。证明 先不考虑禁区的限制 ，那么 n 个棋子布到 nn 棋盘上的方案有 n！n!个，如果对 n 个棋子分别编号为
6、1，2，n，并且认为编号不同的棋子放入同样的方格是不同的放置方案，那么带编号的棋子布到 nn 棋盘上的方案数是n!n!。我们把这些方案构成的集合记作 S。对 j=1，2，令 Pj表示第 j 个棋子落入禁区的性质，并令 Aj是 S 中具有性质 Pj的方案构成的子集，那么所求的排列数就是 。nA211 号棋子落入禁区的方案数为 R1，当它落入禁区的某一格之后，2，3，n号棋子可以任意布置在(n-1) (n-1)的棋盘上，由乘法法则得 )!(1nA同理，对 I=2，3，n 有，)!1(1Ri对 I 求和得 !)(11nAnii 1 号和 2 号两个棋子落入禁区的方案数为 2R2，它们落入以后，3，4
7、，n 号棋子可以任意布置在（n2）*（n-2）的棋盘上，所以，)!()!(2nRAji对所有的 求和得1，!)2()(1 nRnjiji 用类似的方法，我们可以求得“割补思想”的若干应用 汕头市第一中学 戴德承Page 11 of 12，!)3(1 nRAnji kji 。!21n根据容斥原理，带编号的 n 个棋子都不落入禁区的方案数是。!)1( !)2(!21 nRnNA需要说明一点，这个定理适用于 棋盘的小禁区的布棋问题。如果是n的棋盘或者是禁区很大的布棋问题，那么只能直接用 R（C）来求解。nm例 用四种颜色（红、蓝、绿、黄）涂染四台仪器 A，B，C，D。规定每台仪器只能用一种颜色并且任
8、意两台仪器都不能相同。如果 B 不允许用蓝色和红色，C 不允许用蓝色和绿色，D 不允许用绿色和黄色，问有多少种染色方案？解 这个问题就是图中的有禁区的布棋问题。禁区的棋盘多项式为R（ ） ,324106xx从而得到 R1=6，R 2=10，R 3=4，根据定理，所求的方案数是N=4！6*3！+10*2！4*1！=2436+204=4。例 错位排列问题也可以看作是有禁区的排列问题，其禁区在主对角线上。下面使用定理来求 Dn。解 禁区的棋盘多项式是R（ ）=R（ ）* R（ ）*R（ ）个n= x)1（= ，nx2从而得到 ， ， ，代入定理得1R2nRn!0)1()!2()!(! Dnn “割补
9、思想”的若干应用 汕头市第一中学 戴德承Page 12 of 12。!1)(!21n第四章 总结通过上面的例子可以发现，在许多直接求解有困难的问题中， “让步假设”和“割补法”有相当的威力，从某种意义上讲，它们都是将问题所求的目标放大，使问题简单化，这种模型转化思想应当成为一种较为普遍的思路。另外，除了将目标放大，还可以将目标“反白” ，即求目标集合的补集，这种思路在许多问题中也起到了事半功倍的效果，其典型应用有图论中“求最大独立集合” 、组合数学中的一些计数问题等。除此之外，文章中还涉及到了许多其他的模型转化问题，在解决它们各自涉及的例题中都发挥了不可替代的作用。模型转化是信息学中的一个热门考点，也确实是一个考验数学功底的难点，文章中谈到的两种典型的转化思想恐怕只是其中的沧海一粟，只希望抛砖引玉，给大家提供一些借鉴。
