1、1振 动 和 波 习 题 课 教学基本要求振动和波动1.掌握描述简谐振动和简谐波的各物理量（特别是相位）及各量间的关系。2.理解旋转矢量法。3.掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义。4.理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成规律。5.理解机械波产生的条件。掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方法及波函数的物理意义。理解波形图线。了解波的能量传播特征及能流、能流密度概念。6.了解惠更斯原理和波的叠加原理。理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。7.理解驻波及
2、其形成条件。了解驻波和行波的区别。8.了解机械波的多普勒效应及其产生原因。在波源或观察者单独相对介质运动，且运动方向沿二者连线的情况下，能用多普勒频移公式进行计算。9.了解电磁波的性质。 内容提要一、振动1.简谐振动的定义：恢复力 F=kx微分方程 d2x/dt2+2x=0运动方程 x=Acos(t+0)弹簧振子 =(k/m)1/2， 单摆 =(g/l)1/2， 复摆 =(mgh/J)1/2；2.描述谐振动的物理量：(1)固有量：固有频率 ，周期 T，频率 其关系为 =2/T=2 =1/T(2)非固有量，振幅 A: A=(x02+v02/2)1/2 位相 : =t+0 初位相 0: tan0=
3、v0/( x0)(再结合另一三角函数定出 0)；3.旋转矢量法(略)；4.谐振动能量： Ek=Esin2(t+0) Ep=Ecos2(t+0) E=Ek+ Ep5.谐振动的合成：(1)同方向同频率两谐振动的合成 A=A12+A22+2A1A2cos(2010)1/2tg0=(A1sin10+A2sin20)/(A1cos10+A2cos20) (再结合另一三角函数定出 0)拍 1 拍频 = 2 1(2)相互垂直振动的合成1=2 时为椭圆方程： x2/A12+y2/A22 2(x/A1)(y/A2)cos(2010)=sin2(2010)1 与 2 成简单整数比时成李萨如图形二、波动1.机械波的
4、产生的条件:(1)波源,(2)媒质.机械波的传播实质是相位(或振动状态 )的传播,质量并不迁移；2.描述波的物理量： 波长 ， 频率 ， 周期 T， 波速.u其关系为 T=1/ =/u u=/T=3.平面简谐波的波动方程 y=Acos(tx/u)+0=Acos2(t/Tx/)+0=Acos2( tx/)+04.平均能量密度 =A22/2， 能流密度(波的强度) I= u=A22u/2ww5.惠更斯原理(略)；6.波的叠加原理：独立性，叠加性；7.波的干涉 (1)相干条件： 频率相同，振动方向相同，位相差恒定。(2)相干加强与减弱的条件： 加强 =2k 减弱 =(2k+1) 其中 =20102(
5、r2r1)/(3)驻波：波腹处振幅最大，波节处振幅最小，相邻波节(或波幅) 之间的距离为 /2；8.半波损失：波从波疏媒质( u 较小)向波密媒质( u 较大)传播，在界面上反射时，反射波中产生半波损失，其实质是位相突变；9.多普勒效应：只考虑波源和观察者在同一直线上运动时的频率变化公式波源运动(v S)等效波长改变 = 0u /(u-vS)观察者运动(v B)相当于波速变化 = 0(u+vB)/u (相互接近 vR vS 取正)波源运动(v S), 观察者也运动 (vB) = 0(u+vB)/ (u-vS)2课堂例题一.选择题1. 一物体作简谐振动，振动方程为 x=Acos(t+/4 )，
6、在 t=T/4(T 为周期)时刻，物体的加速度为 (A) . (B) . (C) . (D) .2A223A23A2. 以下说法不正确的是(A) 从运动学角度看,振动是单个质点(在平衡位置的往复) 运动,波是振动状态的传播,质点并不随波前进；(B) 从动力学角度看振动是单个质点受到弹性回复力的作用而产生的,波是各质元受到邻近质元的作用而产生的；(C) 从能量角度看,振动是单个质点的总能量不变,只是动能与势能的相互转化；波是能量的传递,各质元的总能量随时间作周期变化,而且动能与势能的变化同步；(D) 从总体上看,振动质点的集合是波动.3. 以下说法错误的是(A) 波速与质点振动的速度是一回事,至
7、少它们之间相互有联系；(B) 波速只与介质有关,介质一定, 波速一定,不随频率波长而变,介质确定后,波速为常数；(C) 质元的振动速度随时间作周期变化；(D) 虽有关系式 v = ,但不能说频率增大,波速增大.4. 两根轻弹簧和一质量为 m 的物体组成一振动系统 ,弹簧的倔强系数为 k1 和 k2,并联后与物体相接.则此系统的固有频率为 等于 (A) . (B) .2/)(1k/)/(212mk(C) . (D) ./ k5. 一辆汽车以 25ms1 的速度远离一静止的正在呜笛的机车，机车汽笛的频率为 600Hz，汽车中的乘客听到机车呜笛声音的频率是(已知空气中的声速为 330 ms1)(A)
8、 555Hz. (B) 646 Hz. (C) 558 Hz. (D) 649 Hz.二.填空题1. 如图 3.1 所示，波源 s1 和 s2 发出的波在 P 点相遇，P 点距波源 s1 和 s2 的距离分别为 3和 10/3， 为两列波在介质中的波长，若 P 点的合振幅总是极大值，则两波源振动方向 (填相同或不同),振动频率 (填相同或不同) ，波源 s2 的位相比 s1 的位相领先 .2. 一简谐振动的旋转矢量图如图 3.2 所示，振幅矢量长 2cm , 则该简谐振动的初位相为 ,振动方程为 .3. 一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总能的 ； 当这物
9、块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长 l ,这一振动系统的周期为 . 三.计算题1. 一定滑轮的半径为 R , 转动惯量为 I ,其上挂一轻绳，绳的一端系一质量 为 m 的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图 3.3 所示，设弹簧的倔强系数为 k，绳与滑轮间 无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力，现将物体 m 从平衡位置下拉一微小距离后放手，证明物 体作简谐振动，并求出其角频率.2. 一弦线 ,左端系于音叉的一臂的 A 点上,右端固定在 B 点,并用 7.20N 的水平拉力将弦线拉直,音叉在垂直于弦线长度的方向上作每秒 50 次的简谐振动(如图 3.4).这样,在弦线上产生了入射波和反射波 ,并
10、形成了驻波,弦的线密度 =2.0g/m, 弦线上的质点离开其平衡位置的最大位移为 4cm,在 t = 0 时,O 点处的质点经过其平衡位置向下运动.O、B 之间的距离为 2.1m.如以 O 为坐标原点,向右为 x 轴正方向,试写出 :(1) 入射波和反射波的表达式；(2) 驻波的表达式. A BO图 3.4L=2.1mm图 3.3s1s2P310/3图 3.1t+/4/4t=0t 时刻xO图 3.234课堂例题解答一.选择题 B D A A C二.填空题1. 相同，相同， 2/3.2. /4，x=0.02cos( t+/4) (SI). 3. 3/4，2 (l/g)1/2.三.计算题1. 平衡
11、时 mg=kx0振动时，设某时刻物体相对平衡位置的位移为 x，对物体和定滑轮分别列方程，有mg-T=maTR-k(x+x0)R=Ia=R x=R于是得mgRk(x+x0)R=(mR2+I)kxR= kR2= (mR2+I)= (mR2+I)d2 /dt2d2 /dt2+kR2/(I+mR2)=0故物体作揩振动，其角频率为=kR2/(I+mR2)1/22.(1)波速 u=(张力/线密度) 1/2=(T/)1/2=60m/s 波长 =u/ =1.2m 因形成驻波,故行波振幅为A=41022=2102m由旋矢法(如图) 可知 O 点振动的初位相为 /2，则入射波在原点 O 引起的振动为y0=2102
12、cos(100t+/2) (SI)所以入射波为y1=2102cos100 (tx/60)+/2 =2102cos(100t-10x/6+/2) (SI),反射波为y2=2102cos100t10(2lx)/6+/2+=2102cos(100t+10x/6+/2) (SI)驻波方程为y=y1+y2=4102cos(10x/6)cos(100t+/2) (SI)y/2 AO5振动和波测试题一.选择题1.图.1 中三条曲线分别表示简谐振动中的位移 x,速度 v,加速度 a ,下面哪个说法是正确的？(A) 曲线 3, 1, 2 分别表示 x, v, a 曲线. (B) 曲线 2, 1, 3 分别表示
13、x, v, a 曲线.(C) 曲线 1, 3, 2 分别表示 x, v, a 曲线. (D) 曲线 2, 3, 1 分别表示 x, v, a 曲线.(E) 曲线 1, 2, 3 分别表示 x, v, a 曲线.2.用余弦函数描述一简谐振子的振动,若其速度时间(v t)关系曲线如图 2 所示,则振动的初相位为： (A) / 6 . (B) / 3. (C) / 2. (D) 2 / 3. (E) 5 / 6 .3.一质点作简谐振动,周期为 T, 质点由平衡位置向 x 轴正方向运动时,由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的时间为(A) T/ 4 . (B) T/12 . (C) T/ 6 .
14、 (D) T/ 8 .4.一平面简谐波在弹性媒质中传播,在媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中(A) 它的势能转换成动能. (B) 它的动能转换成势能. (C) 它从相邻的一段媒质质元获得能量,其能量逐渐增加.(D) 它把自己的能量传给相邻的一段媒质质元,其能量逐渐减小 .5.在弦上有一简谐波,其表达式是 y1=2.0102cos2 ( t / 0.02x/ 20) + / 3 ( SI )为了在此弦线上形成驻波, 并且在 x=0 处为一波节,此弦线上还应有一简谐波 , 其表达式为:(A) y2=2.0102cos2 ( t / 0.02 + x/ 20) + / 3 ( SI ) (B)
15、 y2=2.0102cos2 ( t / 0.02+x/ 20) +2 / 3 ( SI )(C) y2=2.0102cos2 ( t / 0.02+x/ 20) +4 / 3 ( SI ) (D) y2=2.0102cos2 ( t / 0.02+x/ 20) / 3 ( SI )6.一质点作简谐振动,振动方程为 x=cos(t ) ,当时间 t=T 2(T 为周期) 时,质点的速度为(A) Asin . (B) Asin . (C) Acos . (D) Acos.7.用余弦函数描述一简谐振动,已知振幅为 A,周期为 T,初位相 =/3,则振动曲线为图 3 中哪一图？xtOAA/2 A/2
16、T/2(A)T/2txOAA/2 A/2(C)xtT/2(B)AOA/2 A/2 t(D) T/2 txO AA/2 A/2图38.如图 4 所示为一平面简谐机械波在 t 时刻的波形曲线. 若此时 A 点处媒质质元的振动动能在增大,则(A) A 点处质元的弹性势能在减小 . (B) 波沿 x 轴负方向传播. (C) B 点处质元的振动动能在减小. (D) 各点的波的能量密度都不随时间变化 .9.一机车汽笛频率为 750 Hz , 机车以时速 90 公里远离静止的观察者，观察者听到声音的频率是(设空气中声速为 340m/s)：(A) 810 Hz . (B) 699 Hz . (C) 805 H
17、z . (D) 695 Hz .10.一圆频率为 的简谐波沿 x 轴的正方向传播, t=0 时刻的波形如图 5 所示. 则 t=0时刻, x 轴上各质点的振动速度 v 与坐标 x 的关系图应为图 6 中哪一图？v(m/s)O1x(m)A(B) v(m/s)O1x(m)A(A) 1v(m/s)x(m) A(C) O 1v(m/s)x(m)(D) O A图6tx,v,aO3 21图 1v(m/s)t(s)v mv m/2O图 2yxOAB图 42O 1y(m)x(m)t=0A u图 56二.填空题1.在静止的升降机中,长度为 l 在单摆的振动周期为 T0 ,当升降机以加速度 a=g/2 竖直下降时
18、,摆的振动周期 T= .2. .如图 7 所示,一平面简谐波沿 Ox 轴负方向传播,波长为 , 若 P 处质点的振动方程是 yP=Acos(2 t+ /2) .则该波的波动方程是 .P 处质点 时刻的振动状态与 O 处质点 t1 时刻的振动状态相同.3 一平面简谐波沿 Ox 轴传播,波动方程为 y=Acos2 ( tx/ ) +，则: x1=L 处介质质点振动初相位是 ;与 x1 处质点振动状态相同的其它质点的位置是 ;与 x1 处质点速度大小相同,但方向相反的其它各介质质点的位置是 .4.用 40N 的力拉一轻弹簧，可使其伸长 20cm，此弹簧下应挂 kg 的物体，才能使弹簧振子作简谐振动的
19、周期T=0.2s .5.两个同方向的简谐振动曲线如图 8 所示,合振动的振幅为 ,合振动的振动方程为 .6.一简谐波的频率为 5104Hz, 波速为 1.5103m/s,在传播路径上相距 5103 m 的两点之间的振动相位差为 .7.一列平面简谐波沿 x 轴正方向无衰减地传播, 波的振幅为2103m, 周期为 0.01s, 波速为 400 m/s, 当 t=0 时 x 轴原点处的质元正通过平衡位置向y 轴正方向运动,则该简谐波的表达式为 .8.设沿弦线传播的一入射波的表达式是y1=Acos2 ( t x/) + 在 x=L 处(B 点)发生反射,反射点为固定端(如图 9), 设波在传播和反射过
20、程中振幅不变,则弦线上形成的驻波表达式为 y = .9.一质点作简谐振动的圆频率为 、振幅为 A,当 t=0 时质点位于 x=A/2 处且朝 x 轴正方向运动,试画出此振动的旋转矢量图.10.一作简谐振动的振动系统,其质量为 2kg,频率为 1000Hz,振幅为 0.5cm,则其振动能量为 .三.计算题1.在实验室中做驻波实验时,使一根长 3m 张紧的弦线的一端沿垂直长度方向以 60HZ 的频率作简谐振动,弦线的质量为60103 kg , 如果在这根弦线上产生有四个波腹很强的驻波,必须对这根弦线施加多大的张力？2.在一轻弹簧下端悬挂 m0=100g 的砝码时 ,弹簧伸长 8cm,现在这根弹簧下
21、端悬挂 m=250g 的物体,构成弹簧振子. 将物体从平衡位置向下拉动 4cm,并给以向上的 21cm/s 的初速度( 这时 t=0) ，选 x 轴向下，求振动方程的数值式.3.如图 10,两列相干波在 P 点相遇,一列波在 B 点引起的振动是y10=310 3cos2t ( SI )另一列波在 C 点引起在振动是y20=310 3cos(2t+/2) ( SI )=0.45m , =0.30m, 两波的传播速度 u=0.20m/s, 不考虑传播中振幅的减小,求 P 点合BP振动的振动方程.四.证明题如图 11 所示,在竖直面内半径为 R 的一段光滑圆弧形轨道上,放一小物体,使其静止于轨道的最
22、低处,然后轻碰一下此物体,使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动,试证:(1) 此物体作简谐振动.(2) 此简谐振动的周期 T=2 .gL xyP O图 7OR图 11xx1(t)x2(t)tA2A1OT/2 T图 8O BLxy图 9BCP 图 102振动和波测试题解答一.选择题 E A B C C B A B B D二.填空题1. T0.22. 2L/+; Lk (k=1,2,3,); L(k+1/2) (k=1,2,3,).3. y=Acos2t+( x +L) /+/2t1+L/( )+ k/ (k =0,1,2,3,)或 t1+L/()4. 2.05. A2A1;x=A2A1cos(2t/
23、T+/2).6. /3.7y=210 3cos(200tx/2/2).82Acos(2 x/22L/)cos(2t /2+2L/) .9见图.109.910 2J.三.计算题1设绳张力为 T，线密度为 ，则波速为 u= = T= 2 2m/lmTlT因弦线上产生有四个波腹很强的驻波，所以 l=4/2=2 =l/2 T=2 2m/l=l 2m/4=162N2物体受向下的重力和向上的弹性力. k=m0g/l, x0=4102m, v0=21102m/s= =7s1lgmkA= =5102m2/v因 Acos=4102m, Asin=v0/=3102m,有=0.64rad所以 x=5102cos(7
24、t+0.64) (SI)3两列相干波在 P 点引起的振动分别是y1=3103cos2(tl1/u)=3103cos(2t9/2) =3103cos(2t/2)y2=3103cos2(tl2/u) +/2=3103cos(2t3+/2)= 3103cos(2t/2)所以合振动方程为y= y1+ y2= 6103cos(2t/2) (SI)四.证明题(1) 设小球向右摆动为角坐标 正向.摆动过程中小球受重力和弧形轨道的支持力. 重力的切向分力使小球获得切向加速度.当小球向右摆动 角时, 重力的切向分力与 相反,有mgsin=mat=mRd2/dt2当作小幅度运动时,sin , 有d2/dt2+(g/R) =0故小球作间谐振动 =Acos( t+)Rg(2) 周期为 T=2/=2 / =2 。AxO=/3
