1、6.1 如题 6.1 图所示，用一根金属丝把一均匀圆盘悬挂起来，悬线 OC 通过圆盘质心，圆盘呈水平状态，这个装置称为扭摆，当使圆盘转过一个角度时，金属线受到扭转，从而产生一个扭转的回复力矩。若扭转角度很小，圆盘对 OC 轴的转动惯量为 I，扭转力矩可表示为 ，求扭摆的振动周期。kM解：已知 ，由转动方程 ，可得：I，k，0I对比（6.2）式可知： ，Ik2所以 KT6.2 一质量为 m 的细杆状一米长的直尺，如果以其一端点为轴悬挂起来，轴处摩擦不计，求其振动周期。解：复摆（物理摆）小角度振动时方程为： Ighghsin0Im对比（5.2）式，可知 Im2因为以一端为轴的直尺的转动惯量为 ，2
2、31l2lh所以 smghIT64.16.3 有一立方形的木块浮于静水之中，静止时浸入水中的部分高度为 。若用力稍稍压下，a使其浸入水中部分的高度为 b，如题 5.3 图所示，然后松手，任其作自由振动。试证明，如果不计水的粘滞阻力，木块将作简谐振动，并求其振动的周期和振幅。解：设 s 为木块底面积，浮力与重力相等处于平衡状态时有： mga所以 当木块偏离平衡位置 x 后，有：s)(b a题 6.3 图题 6.1 图COmgh题 6.2 图0xmgsag2T6.4 一质量为 1.010-3 千克的质点，作简谐振动，其振幅为 2.010-4 米，质点在离平衡位置最远处的加速度为 8.0103 米/
3、秒。 （1）试计算质点的振动频率；（2）质点通过平衡位置时的速度；（3）质点位移为 1.210-4 米时的速度；（4）写出作用在这质点上的力作为位置的函数和作为时间的函数。解：已知 ， 。kgm310. mA0. 令 )cos(tAx则 2由已知条件可得 132max0.8smA（1） 10.47ax2Hz3（2） )sin(tAx过平衡点时，速度为最大值： m/3.1（3） )(102.)cos(4tx5Ax )(0.1)(cos()sin( 12 smttx （4） )10.42NxxmkF)3.6cs(8)cos(ttA6.5 如题 6.5 图所示，一重力作用下的弹簧振子，振子静止时弹簧
4、伸长 l=10 厘米；将振子向下拉一段距离 d=2.0 厘米，并在位移方向给它一个向下的初始速度 v0=10 厘米/秒，任其运动，不计空气阻力，试求：（1）振动频率；（2）振幅 A；（3）初相位；（4）振动表达式。(g 取 10 米/秒 2)解：（1）振动频率 (6.12Hzlg（2）振幅 )(02.)(20mvxA（3）初相位 )(46.9.coss11 rad(v00 取正号，v 00 取负号)（4）振动表达式. )(.0(2.tX6.6 一不计质量，自然长度为 l 的弹簧，两端分别系上质量为 m1 和 m2 的质点，放在光滑的水平桌面上，开始时两手持 m1 和 m2 把弹簧拉长至 l，停
5、止不动，然后两手同时放开，试问这系统将如何运动？解：无外力，整个过程质心不动，t 时刻 m1 和 m2 位置分别为 x1 和 x2，故有：21xm12xlx1最大位移: 21m)(1lx2)(2lm21x - k(xl)21与（5.2）式对比可得： 2-lA此系统作振幅为 A，圆频率为 的简振动。6.7 有一鸟类学家，他在野外观察到一种少见的大鸟落在一棵大树的细枝上，他想测得这只鸟的质量，但不能捉住来称量，于是灵机一动，测得这鸟在树枝上在 4 秒内来回摆动了 6 次，等鸟飞走以后，他又用一千克的砝码系在大鸟原来落的位置上，测出树枝弯下了 12 厘米，于是他很快算出了这只鸟的质量。你认为这位鸟类
6、学家是怎样算的？你想到了这种方法吗？这只鸟的质量是多少？解：可以认为树技与鸟组成一个谐振子。km题 6.5 图m1 k题 5.6 图1 m2利用砝码测得树枝的弹性系数为： )/(67.81mkglk因为，鸟在树枝上在 4 秒内来回摆动了 6 次，所以， )(s32T又因为 mk可得： (g)92.04T6.8 如题 6.8 图所示，有一弹簧振子，弹簧的倔强系数为 k，振子的质量为 m，开始时处于静止平衡状态，有一发质量为 m 的子弹以速度 v0 沿弹簧方向飞来，击中振子并埋在其中，试以击中为计时零点，写出此系统的振动表达式。解：碰撞时动量守恒,碰后机械能守恒可列方程： vmv)(0所以 ，代入
7、下式022)(1vkA所以 )(0mk取向右为正方向， 2)2 cos()()cos(0tmkkvtAx6.9 如题 6.9 图所示振动系统，振子是一个作纯滚动的圆柱体，已知圆柱体的质量为m，半径为 R，弹簧的倔强系数为 k，并且弹簧是系于圆柱体的中心旋转对称轴上。试求这一振动系统的频率。解：设弹簧原长处为平衡点，又因弹簧质量不计，对圆柱体在运动中的受力进行分析有：（1）ccxfk（2）RRc221)(由（2）式可得 cxmf 0xm v0k题 6.8 图mk题 6.9 图代入（1）式得： ccxmkx21推出 023cxmk6.10 如题 6.10 图所示，弹簧的倔强系数为 k，定滑轮的质量
8、为 m，半径为 R，转动惯量为 I，物体的质量为 m。轴处摩擦不计，弹簧和绳的质量也不计，绳与滑轮间无相对滑动。 （1）试求这一振动系统的振动频率， （2）如果在弹簧处于原长时由静止释放物体 m，m 向下具有最大速度时开始计时，并令 m 向下运动为 x 的正坐标，试写出m 的振动表达式。解：（1）设弹簧原长 l0，系统平衡时，弹簧伸长 x0，平衡时 m 所在点为坐标原点，有 kxg运动中，由转动定理有： IRT0对于 m，有 xTg又因 x联立以上各式，可得： RIk)(2即 02xIm设 )(22RIk则 21Im（2）以弹簧原长时释放 m，kgx0所以， A又 ， ，x00v则 2IxTx
9、0l0mg题 6.10 图振动表达式为 2cos1tRImkgx6.11 在 LC 电路中，电容极板上的电量若为 q，电容器将储能 ，流经电感中的电流若Cq21为 i，电感中将储存磁能 ， 且 =恒量，试求 LC 电路的固有21Lidt22Li振荡频率。解： Cicq221dtL22)(02tqtcq12LCdtLC216.12 假定有两个质量均为 m 的离子，它们之间的势能为： ， （1）试用 a 和 brbaEp5表示其平衡位置；（2）试证明其振动圆频率为 4/3)(8m解：（1）保守力平衡点 f=00526rbaf4/10)(r（2）作微振动 f 可写成 265rbadrEfp)2()(
10、10mrkf 将 f 作一级近似： )(30()(!)( 03700 rbrarfr 3072rbak4/3)5(8am6.13 质量 m=1.010-2 千克的小球与轻质弹簧组成的振动系统按的规律振动，式中各量均为 SI 单位。求（1）振动的圆频率、)3(1053tcosx周期、振幅和初始相位；（2）振动的速度和加速度（函数式） ；（3）振动的总能量E；（4）振动的平均动能和平均势能；（5）t =1.0 秒、10 秒等时刻的相位。解：（1） 与振动表达式 比较便直接可得：)38(103tcosx)(tAcosx)5mA)(412sT3（2） )( )38(1012smtsinx. 2co.（
11、3） )(10262JAKE（4） )(1044262Jpk 6.14 在阻尼振动中，量 叫做弛豫时间。 （1）证明 的量纲是时间；（2）经过时间 后，这振子的振幅变为多少？能量的最大值变为多少？（3）把振幅减小到其初值的一半所需的时间（用 表示)；（4）当经过的时间等于上述（ 3）中求出值的 2 倍、3倍时，求振幅的值。解: （1） smkgfvfm21.2/21（2） 01000 368.AeAettt 22021EkE（3） 000AeAttln2t（4） 402ln02ln0eett 802ln302ln30AAt ,166.15 火车在铁轨上行驶，每经过铁轨接轨处即受一次震动，使装在
12、弹簧上面的车厢上下振动。设每段铁轨长 12.5 米，弹簧平均负重 5.5 吨，而弹簧每受 1.0 吨力将压缩 16 毫米。试问，火车速度多大时，振动特别强？解: 固有振动周期等于强迫力周期时发生共振。 0kxgm火车固有周期为： )(59.02smxgkT固发生共振时， 此时火车恰好走一节铁轨。固vl)(8.0259.11sTlv固6.16 已知两个同方向谐振动为 ， ， （1）求)530co(.1tx )50cos(6.2tx它们合振动的振幅和初始相位；（2）另有一个同方向的简谐振动，问 为何值时，x 1+x2 的振幅为最大？ 为何值时，x 2+x3 的)0cos(7.3tx振幅为最小？(各
13、量皆用 SI 单位。)解:(1) )(0892.)53cos(06.5206.5.2 mA5cos06.53cos0.ininart (2) x1+x2 合振幅最大时， 取零，即k23x2+x3 合振幅最小时， （或 ）（或 ）5646.17 一质点同时受两个同频率和同方向简谐振动的作用，它们的运动方程分别为和 ，试写出质点的运动方程。)2cos(10.1tx )32cos(106.22tx解：仍是谐振动，)cs(tAX)(1029. cos2mradA5. cssinitn216.18 一待测频率的音叉与一频率为 440 赫兹的标准音叉并排放置，并同时振动。声音响度有周期性起伏，每隔 0.5
14、 秒听到一次最大响度的音（即拍声)，问拍频是多少？音叉的频率可能是多少？为了进一步唯一确定其值，可以在待测音叉上滴上一滴石蜡，重做上述实验，若此时拍频变低，则说明待测音叉的频率是多少？解： 由题知 T=0.5s，得拍频 25.01 212)(4Hz或 3812若在待测音叉上滴上一滴石蜡，其固有频率变低，如果测得拍频变低，则成立12Hz46.19 （1）波源的振动频率表达式为 ，我们的计时零点是怎样选择的？如果tAycos以波源所在处为坐标原点，波沿 x 正方向传播，那么对应的波函数应该怎样写？（设波速为 v） 。（2）如果选取波源向正 y 方向振动，且位移为 A/2 的时刻为计时零点，波源处为
15、坐标原点，波速仍为 v，波函数该怎样写？（3）如果在上题中把波源的位置定为 x0 点，波函数又该怎样写？解：（1）波源初相位为 0，是恰好在正的最大位移处开始计时，若 x 与 同向，波函数为：vtAycos)(vx20y（2）如右图 3又因为 ，y所以 所以 3)(cosvxtAy（3）若波源在 x0 点，若与 x 同向，任意 x 的振动要比 x0 点落后，x 点 t 时刻的振动是x0 点在 时刻的振动。t )()cos)(cos 00 xvtAvtAy 其中 36.20 一沿很长弦线行进的横波波函数为 ，式中各量均)0.42.sin(10.62txy为国际单位。试求振幅、波长、频率、波速、波
16、的传播方向和弦线上质元的最大横向振动速率。解：因为 )0.42.sin(10.62txy )20(.4sin1.62xt所以 ， ，mA.mv，2k，Hz1vx 点比原点位相超前 ， 与 x 反向。02.v又 )20(.4cos1.6t.y1.012smvm6.21 题 6.21 图中的曲线（a）和（b）分别表示 t=0 和 t=2.0 秒的某一平面间谐波的波形图，试写出此平面简谐波的表达式。解：从曲线（a）可以看出 A=2， =2，用余弦函数表示时 。0所以， kvt 252从曲线（a）到（b）t=2s， ，41v,0又 ，所以， )(2k所以，波函数为 )41(coskxty )41(co
17、s2xtk6.22 设在某一时刻，一个向右传播的平面简谐横波的波形曲线如图所示，试分别说明图中A、B 、C、D 等各点在该时刻的振动方向，并作出 T/4 前和 T/4 后的波形图。解：6.23 已知一列波速为 v、沿 x 正向传播的波在 t=0 时的波形曲线如图所示，画出图中A，B ，C，D 各点在第一周期内的振动曲线。解：A 点，t=0 时，y =-A，v2-212345(a)b0 x(a)by题 6.21 图CABDEFGHI xy v题 6.22 图ABDEFGHI xC xy前4T后前 后题 5.23 图振动表达式 )cos(tAyB 点，t=0 时，y 0=0，并且 （见图）0v所以
18、， )2cs(t2C 点， ， ，所以 ，所以0Ay0v3)3cos(tAyD 点， ， ，所以 ，所以6.24 在直径为 14 厘米的直管中传播的平面简谐波，其平均能流密度为 9.010-3 瓦/米，频率=300 赫兹，波速 v=300 米/秒，求（1）最大能量密度和平均能量密度；（2）相邻两同相位波面间（即相位差为 2 的两波面间）的总能量。解：（1）因为 vwIm2 )(103935mJvI625wm（2） )(106.4).0(31725 JSvE 6.25 声波是流体或固体中的压缩波，在讨论声波时，讨论声波中的压强（即压力）变化要比讨论声波中质元的位移更方便些，可以证明，当声波的位移
19、波函数为时，txAy2cos对应于压力变化的波函数为， txptxvpm 2sin sin0 t0y A固 t0y B固yt0 C固 t0y D固P 是相对于未扰动时的压力 p0 的压强变化值， 0 是介质的体密度。（1）人耳能够忍受的强声波中的最大压强变化 pm 约为 28 牛顿/米 2（正常的大气压强约为 1.0105 牛顿/米 2)，若这一强声波的频率为 1000 赫兹，试求这声波所对应的最大位移。（2）在频率为 1000 赫兹的声波中，可以听得出最微弱的声音的压强振幅约为 2.010-5 牛顿/米 2，试求相应的位移振幅，设 0=1.29 千克/ 米 2，v =321 米/秒。解：（1
20、）最大位移：因为 ，Avpm0所以 )(104.2500 mxpm（2）最小位移： )(5.7A1200xvm6.26 无线电波以 3.0108 米/秒的速度传播，有一无线电波的波源功率为 50 千瓦，假设该波源在各向同性介质中发射球面波，求离波源 200 公里远处无线电波的能量密度。解： vwrPI248232 1005p ).(3.316mJ6.27 如图所示，设 B 点发出的平面横波在 B 点的振动表达式为 ，沿t2cos103方向传播；C 点发出的平面横波在 C 点的振动表达式为P，沿 方向传播，两式中各量均为 SI 单位，设 =0.40)2cos(103tPBP米， =0.50 米，
21、波速为 0.2 米/秒，求（1）两列波传到 P 处时的相位差；（2）如果这两列波的振动方向相同，求 P 点的合成振幅；(3）如果这两列波的振动方向垂直，则合成振动的振幅如何？解：（1） 是两同频率的波 0)5.4(2.01212 rv（2）如果振动方向也相同，得到两相干波，则 )(331 mA（3）如果振动方向垂直又同相，合成后仍是谐振动，pBC题 6.27 图则212A)(10231m6.28 题 6.28 图表示一个声学干涉仪，它是用来演示声波的干涉，S 是电磁铁作用下的振动膜片，D 是声波探测器，例如耳朵或传声器，路程 SBD 的长度可以改变，但路程SAD 却是固定的，干涉仪内充有空气，
22、实验中发现，当 B 在某一位置时声强有最小值（100 单位） ，而从这个位置向后拉 1.65 厘米到第二个位置时声强就渐渐上升到最大值（900 单位） 。试求（1）由声源发出的声波的频率以及（2）当 B 在上述两个位置时到达探测器的两个波的相对振幅和（3）到达 D 处时二路声波的分振幅之比，声速 340 米/秒。解：解法一：极大为波腹，极小为波节，相邻波腹波节问距：则21065.4x)(6.x10-2m解法二：D 处干涉极大、极小取决于波程差，相邻极大极小仅差半个波长，故有：，2.2x则 )(106m6.29 在同一媒质中的两个相干波源位于 AB 两点，其振动方向相同，振幅皆为 5 厘米，频率
23、皆为 100 赫兹，但 A 点为波峰时，B 点为波谷，且在此媒质中波速为 10 米/秒。设 AB 相距 20 米，经过 A 点作一条垂线，在此垂线上取一点 P，AP=15 米， （1）试分别写出 P 点处两波在该点的振动表达式；（2）求两波在 P 点的相位差；（3）写出干涉后的振动表达式( 波动中振幅不变 )。解：（1） )105(2cos105tyAPt20cos)(vrtB )(2t（2） （或 ）（3）相消干涉 所以0Ay6.30 在一个两端固定的 3.0 米长的弦上有 3 个波腹的“驻波” ，其振幅为 1.0 厘米，弦上波速为 100 米/秒。 （1）试计算频率；（2）若视为入、反射波
24、叠加的理想驻波，写出产生此驻波的两个波的表达式。解：（1） 因为 ，23xm所以SD题 6.28 图AP B题 6.29 图o波 节 波 节123x波 节 波 节题 6.30 图)(5021Hzv （2）若为理想驻波 )(1.21mA驻波端点为节点，x=0，表达式为 xtAy2sin1设入射波波函数为 )cos(1xty则反射波波函数为 )2(cos12xltAy3()cs1xt显然 tAysin212即 )0co(5.01 xts22y6.31 如图所示，S 是一个由音频振荡和放大器驱动的小喇叭，音频振荡器的频率可调范围为 10002000 赫兹，D 是一段用金属薄板卷成的圆管，长 45 厘
25、米。 （1）如果在所处温度下空气中的声速是 340 米/秒，试问当喇叭发出的频率从 1000 改变到 2000 赫兹时，在哪些频率上会发生共鸣？（2）试画出各次共鸣时管的位移波节、波腹图（忽略末端效应） 。解： 发生共鸣时， )2,1(kl形成驻波圆管两端（开口）为波腹（1） )(8.37,211Hzlvl（2） )(5 .,22ll（3） )(13/,33 Hzlvl （4） )(52/,244ll D(1) (2) (3) (4)s题 6.31 图（5） )(1895/2,25Hzlvl （6） (3),(4),(5)频率会发生共鸣。)(673/,366ll6.32 如题 6.32 图所示
26、是一个测量空气中声速的装置。把频率为 v 的振动着的音叉置于管的开口端，管内装有水，而管中空气柱的长度可以由水面的升降加以改变。当水面由管的顶端渐渐下降距离 a 时，声音的强度达到最大值，此后当水面再下降距离 d，2d，3d时，声音的强度相继再出现最大值。求空气中声速。若用 1080 赫兹音叉时，测得 d=15.3厘米，求声速值是多少？解：声音的强度出现极大时，表示音叉频率与管内空气柱的固有频率相同而发生共振。因空气柱的下端是空气与水交界，波是被特性阻抗大的介质反射，存在相位突变，在共振发生时必为波节。在上部开口端则是被特性阻抗相对较小的介质反射，必为波腹。所以在第一次出现声强极大时，只能使图
27、中的（1） ，第二次声强极大时，只能是图中的（2） ，第三次声强极大时，只能是图中的（3） 。有， ， ，4ad452ad或者 ，又 ，所以vv代入实验数据，可得（米/秒）30185.02v6.33 有一提琴弦长 50 厘米，两端固定，当不按手指演奏时发出的声音是 A 调（440 赫兹)，试问要奏出 C 调（528 赫兹） ，手指应该按在什么位置？解： 提琴弦两端固定，谐振时，两端必为波节基调 ，2lHz40)(1smV， 不变，z58v)(467.02l6.34 蝙蝠在洞穴中飞来飞去，利用超声脉冲导航非常有效（这种超声脉冲是持续 1 毫秒或不到 1 毫秒的短促发射，并且每秒重复发射几次） 。
28、假设蝙蝠所发超声频率为39103赫兹，在朝着表面平直的墙壁飞扑的期间，它的运动速率为空气声速的1/40，试问它听到的从墙壁反射回来的脉冲波频率是多少？解： 蝙蝠以 v1 向墙飞扑，被墙反射回来的声音相当于声源以 v1 运动的多普勒效应的声音：11此声音又被以 v1 运动的蝙蝠接收，其频率为：)(01.43940,112 Hzvv6.35 简谐振动中相位为 、 、2 、3 时描述的是同一运动状态吗？为什么？答：，2同相， 反相6.36 对一简谐振动系统，画出其动能和势能关于时间变量的曲线，并分析两者反相的物理意义。6.37 将单摆摆线从铅直方向拉到 角的位置撒手任其摆动。这里 角是初相位吗？若不
29、是，它对应什么物理量？答：不是，对应振动位置。6.38 若以一装满水的空心球作为单摆的摆钟，并让水从球体缓慢流出，试描述其摆动周期的变化情况。答：用单摆同相公式讨论。6.39 利用受迫振动的稳定解（5.19）式说明为什么恒力不能导致受迫振动。 （提示：恒力时频率 可视为零） 。6.40 在太空中能听到声音吗？为什么？答：不能，无弹性媒质。6.41 在较长时间间隔（ tT）内，任意以 t 为变量的正弦（或余弦）型函数的平均值均为零，例如： ，其中是任意常数。试据此推导（5.11） 、0sincot（5.12）及（5.40）式。答：利用公式 和 易得。21si2tt2cost6.42 海啸是一种波
30、长约为几十至几百千米、在海水中传播的波动现象。它在深海区域并不易被觉察，但一旦海啸接近岸边往往会造成巨大的灾害。试从能量角度分析其中的原因。答：（海啸）相对深海区域，海岸附近海啸引起的能量密度较大，振幅较大，所以损害为剧一些。6.43 描述机械波时间周期性的物理量由周期 T、频率 和圆频率 给出。类似的，我们可以用 ， 和 描述波的空间周期性，试说明这三个量对应的物理意义。12答： 波长，同一波线上两个相邻同相振动质元之间的距离；同一波线上单位长度穿过的全波的数目；同一波线上单位长度上的相位滞后值。26.44 试解释弦乐器的以下现象：（1）较松的弦发出的音调较低，而较紧的弦则音调较高；（2）较
31、细的弦发出的音调较高，而较粗的弦则音调较低（古人称之为“小弦大声，大弦小声” ） ；（3）正在振动的两端固定的弦，若用手指轻按弦额中点时，音调变高到两倍，若改按弦的三分之一处时，音调增至三倍；（4）用力弹拨琴弦（而非用手指按弦）时，能同时听到若干音调各异的声音。 （提示：音调高低与弦振动的频率成正比。此外，在（4）情形中弦以基频振动的同时还若干泛频振动。 ）答：（弦乐器）音调高低与弦的振动频率成正比。（1）弦的松紧对应弦的张力 T，由驻波一节中的方程 ，可知，较松的弦振动频Tln2率较低，因此音调较低；同理，较紧的弦振动频率较高，因此音调较高。（2）弦的粗细对应弦的弦密度 ，由方程，粗弦的振动频率较低，因此音调较低；同理，细弦的振动频率较高，因此音调较高。（3）由方程，轻按弦中点对应 n2 时的振动频率；同理，轻按弦三分之一处，对应 n3时的振动频率。（4）弹拨琴弦时能出现各种泛频振动，因此出现音调不同的声音。
