1、二次函数的概念以及二次函数在利润问题的应用1、二次函数的概念一般地，如果 ，那么 y 叫做 x 的二次函数。)0,(2 acbaxy是 常 数 ，叫做二次函数的一般式。),(2cbxay是 常 数 ，2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。abx2抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线 与坐标轴的交点：cbxay2当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点
2、 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D。由 C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。考点二、二次函数的解析式 （1016 分）二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式： )0,(2 acbaxy是 常 数 ，（2）顶点式： )(kh是 常 数 ，（3）当抛物线 与 x 轴有交点时，即对应二次好方程cxy2有实根 和 存在时，根据二次三项式的分解因式02cbxa12，二次
3、函数 可转化为两根式)(xacbxay2。如果没有交点，则不能这样表示。)(21xy考点三、二次函数的最值 （10 分）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） ，即当 时， 。abx2abcy42最 值如果自变量的取值范围是 ，那么，首先要看 是否在自变量取值范围21xab2内，若在此范围内，则当 x= 时， ；若不在此范围内，21xabcy4最 值则需要考虑函数在 范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，21x则当 时， ，当 时， ；如果在此范2xcbay最 大 1xcbay12最 小围内，y 随 x 的增大而减小，则当 时， ，当 时，1
4、xx12最 大 2x。cba2最 小考点四、二次函数的性质 （614 分）1、二次函数的性质函数二次函数 )0,(2 acbaxy是 常 数 ，a0 a时，y 随 x 的增大而增大，简记左减ab2右增；（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x= ，顶点坐标是ab2（ ， ） ；c4（3）在对称轴的左侧，即当 x 时，y 随 x 的增大而减小，简记左ab2增右减；（4）抛物线有最低点，当 x= 时，y 有最小ab2值， cy4最 小 值 （4）抛物线有最高点，当 x= 时，y 有最ab2大值， cy4最 大 值2、二次函数 中， 的含义：)0,(2 abax是 常 数 ， b、表
5、示开口方向： 0 时，抛物线开口向上a0 时，图像与 x 轴有两个交点；当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点；当 0 时，图像与 x 轴没有交点。补充：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）y如图：点 A 坐标为（x 1，y 1）点 B 坐标为（x 2，y 2）则 AB 间的距离，即线段 AB 的长度为 A211y0 xB2、函数平移规律（中考试题中，只占 3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）左加右减、上加下减利润问题专题训练1、某商场以每件 20 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量 m(件)
6、 与每件的销售价 x(元)满足关系：m=1402x 。(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 间的函数关系式;(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？2、某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价 （元）符合一次函数 ，且 时，yxykxb65x； 时， 57x45y（1）求一次函数 的表达式；kb（2）若该商场获得利润为 元，试写出利润 与销售单价 之间WW的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元
7、？（3）若该商场获得利润不低于 500 元，试确定销售单价 的范x围3、某 商 场 销 售 一 批 名 牌 衬 衫 ， 平 均 每 天 可 售 出 20件 ， 每 件 盈 利40元 为 了 扩 大 销 售 ， 商 场 决 定 采 取 适 当 的 降 价 措 施 ， 经 调 查发 现 ， 如 果 每 件 衬 衫 每 降 价 1元 ， 商 场 平 均 每 天 可 多 售 出 2件 若 设降价价格为x元：（1）设平 均 每 天 销售量为 y 件，请写出 y 与 x 的函数关系式.（2）设平 均 每 天 获利为 Q 元，请写出 Q 与 x 的函数关系式.（ 3） 若 想 商 场 的 盈 利 最 多 ，
8、 则 每 件 衬 衫 应 降 价 多 少 元 ?（ 4） 每 件 衬 衫 降 价 多 少 元 时 ， 商 场 平 均 每 天 的 盈 利 在 1200元以 上 ?4、某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于 55 元，市场调查发现，若每箱以 50 元的价格调查，平均每天销售 90 箱，价格每提高 1 元，平均每天少销售 3 箱（1）求平均每天销售量 y（箱）与销售价 x（元/箱）之间的函数关系式（2）求该批发商平均每天的销售利润 w（元）与销售价 x（元/箱）之间的函数关系式（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？5、某商场将进价为
9、 2000 元的冰箱以 2400 元售出，平均每天能售出8 台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低 50 元，平均每天就能多售出 4 台（1）假设每台冰箱降价 x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是 y 元，请写出 y 与 x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？6、某化工材料经销公司购进了一种化工原料共 7000kg，购进价格为30 元/kg，物价部门
10、规定其销售单价不得高于 70 元/kg，也不得低于 30 元/kg市场调查发现，单价定为 70 元时，日均销售60kg；单价每降低 1 元，日均多售出 2kg在销售过程中，每天还要支出其他费用 500 元（天数不足一天时，按整天计算） 设销售单价为 x 元，日均获利为 y 元（1）求 y 关于 x 的二次函数表达式，并注明 x 的取值范围（2）将（1）中所求出的二次函数配方成 y=a（x ab2） 2abc42的形式，写出顶点坐标，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？7、一快餐店试销某种套餐
11、，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为 5 元，该店每天固定支出费用为 600 元(不含套餐成本) 若每份售价不超过 10 元，每天可销售 400 份；若每份售价超过 10 元，每提高 1 元，每天的销售量就减少 40 份为了便于结算，每份套餐的售价 x(元)取整数，用 y(元)表示该店日净收入(日净收入每天的销售额套餐成本每天固定支出)(1) 求 y 与 x 的函数关系式；(2) 若每份套餐售价不超过 10 元，要使该店日净收入不少于 800元，那么每份售价最少不低于多少元？(3) 该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多
12、少？8、某宾馆有相同标准的床位 100 张，根据经验，当该宾馆的床价（即每张床每天的租金）不超过 10 元，床位可以全部租出；当床价高于 10 元时，每提高 1 元，将有 3 张床空闲，为了获得较高效益，该宾馆要给床位定一个合适的价格，但要注意：为了方便结账，床价服务态度是整数；该宾馆每天的支出费用是 575 元，若用 x 表示床价，Y 表示该宾馆一天出租床位的纯收入。（1）求 Y 与 X 的函数关系式；（2）宾馆所订价为多少时，纯收入最多？（3）不使宾馆亏本的最高床价是多少元？9、我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格 20元/千克收购了这种野生菌 1000 千克存放入冷库中
13、，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨 1 元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计 310 元，而且这类野生菌在冷库中最多保存 160 元，同时，平均每天有 3 千克的野生菌损坏不能出售（1）设 到后每千克该野生菌的市场价格为 元，试写出 与 之x yyx间的函数关系式（2）若存放 x 天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为 元，试写出 与 x 之间的函数关系式PP（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润 元？W10某商场经营一批进价为 2 元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价 X 元与销售量 Y 件之间有如下关系：X 3 5 9
14、 11Y 18 14 6 2（1）在所给的直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对（X,Y）对应点；猜测并确定日销售量 Y（件）与日销售单价 X元之间的函数关系式，并画出图象。（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其它因素）为 P 元，根据日销售规律： 试求日销售利润 P（元）与销售单价 X（元）之间的数关系式，并求出日销售单价 X 为多少时，才能获得最大日销售利润 . 试问日销售利润 P 是否存在最小值？若有，试求出，若无，说明理由；11某公司生产的 A 种产品，它的成本是 2 元，售价是 3 元，年销售量为 10 万件为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告根据经验，每年投入的广
15、告费是 x（10 万元）时，产品的年销售量将是原销售量的 y 倍，且 y 是 x 的二次函数，它们的关系如下表：x（10 万元）0 1 2 y 1 1518（1）求 y 与 x 的函数表达式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润 S（10 万元）与广告费 x（10 万元）函数表达式；（3）如果投入的广告费为 10 万元30 万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？2524y2（元）x（月）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 21yxbcO12、某服装公司试销一种成本为每件 50 元的 T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价
16、，又不高于每件 70 元，试销中销售量y（件）与销售单价 x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图） （1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润（总利润总销售额-总成本）为 P 元，求P 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；根据题意判断：当 x 取何值时，P 的值最大？最大值是多少？13某公司推出了一种高效环保洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二产供销函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润 s（万元）与销售时间 t（月）之间的关系（即前 t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系） 。根据图象提供的信息，解答下列问题：（
17、1） 由已知图象上的三点坐标，求累积利润 s（万元）与销售时间t（月）之间的关系式；（2） 求截止到几个月末公司累积利润可达到 30 万元；（3） 求第 8 个月公司所获利润是多少万元？14、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查调查发现这种水产品的每千克售价 （元）与销售月份 （月）满足关系式1yx，而其每千克成本 （元）与销售月份 （月）满足368yx2yx的函数关系如图所示（1）试确定 的值；bc、（2）求出这种水产品每千克的利润 （元）与销售月份 （月）之yx间的函数关系式；（3） “五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大
18、？最大利润是多少？15、某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后，市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的信息，如图甲、乙所示。 y每 千 克 售 价 （ 元 ） 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x（ 月 ） y每 千 克 售 价 （ 元 ） 6 5 4 3 2 1 01234567（ 月 ） x甲 乙注：甲、乙两图中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本 6 月份最低，其中图甲反映的是一次函数，图乙反映的是二次函数。（1） 求出售价与月份函数关系式（2） 成本与
19、月份的函数关系式（3） 由“收益=售价成本” ，求出收益与月份的函数关系式，并求这个函数的最大值。16、为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数 （台）y与补贴款额 （元）之间大致满足如图 所示的一次函数关x系随着补贴款额 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益 （元）会相应降低且 与 之间也大致满足如图所示ZZx的一次函数关系12008000 400y(台)x(元)z(元)x(元)2001602000图 图（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元
20、？（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数 和每台y家电的收益 与政府补贴款额 之间的函数关系式；Zx（3）要使该商场销售彩电的总收益 （元）最大，政府应将每台补w贴款额 定为多少？并求出总收益 的最大值x17、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润 与投资量 成正比例关系，如图 12-所1yx示；种植花卉的利润 与投资量 成二次函数关系，如图 12-2所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润 与 关于投资量 的函数关系式；1y2x（2）如果这位专业户以 8 万元资金投入种
21、植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？18、某 公 司 销 售 一 种 新 型 节 能 产 品 ， 现 准 备 从 国 内 和 国 外 两 种 销 售 方案 中 选 择 一 种 进 行 销 售 若 只 在 国 内 销 售 ， 销 售 价 格 y（ 元 /件 ）与 月 销 量 x（ 件 ） 的 函 数 关 系 式 为 y = x 150， 成 本 为 20 元 /件 ， 无 论 销 售 多 少 ， 每 月 还 需 支 出 广 告 费 62500 元 ， 设 月 利 润为 w 内 （ 元 ） （ 利 润 = 销 售 额 成 本 广 告 费 ） 若 只 在 国 外 销 售 ，销
22、 售 价 格 为 150 元 /件 ， 受各种不确定因素影响，成本为 a 元/ 件（a 为常数，10a40） ，当月销量为 x（件）时，每月还需缴纳x2 元的附加费，设月利润为 w 外 （元） （利润 = 销售额成本10附加费） （1）当 x = 1000 时，y = 元/件，w 内 = 元；（2）分别求出 w 内 ，w 外 与 x 间的函数关系式（不必写 x 的取值范围） ；（3）当 x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与 在国内销售月利润的最大值相同，求 a的值；（4）如果某月要将 5000 件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能
23、使所获月利润较大？19为把产品打入国际市场，某企业决定从下面两个投资方案中选择一个进行投资生产.方案一：生产甲产品，每件产品成本为 a 万美元（a 为常数，且 3 a8） ，每件产品销售价为 10 万美元，每年最多可生产 200 件；方案二：生产乙产品，每件产品成本为 8 万美元，每件产品销售价为 18 万美元，每年最多可生产 120 件.另外，年销售 x 件乙产品时需上交 万美元的特别关税 .在不考20.5x虑其它因素的情况下：（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润 、 与相应生产件1y2数 x（x 为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）分别求出这两个投资方案的最大年利
24、润；（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？20、研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x（吨）时，所需的全部费用 y（万元）与 x满足关系式21590yx，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价 p甲 ， 乙 （万元）均与 x满足一次函数关系 （注：年利润年销售额全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售 吨时， 1420px甲 ，请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润 w甲 （万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售 x吨时， 10pxn乙 （ 为常数） ，且在乙地当年的最大年利润为 35 万元试确定 的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品 18 吨，根据（1） ， （2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？
