1、第九章 稳恒电流的磁场 沈阳工业大学 郭连权（教授）1第九章 稳恒电流的磁场稳恒电流：导体中电流不随时间变化（也叫直流电） 。9-1 基本磁现象 安培假说人们对磁现象的研究是很早的，而且开始时是与电现象分开研究的。发现电、磁现象之间存在着相互联系的事实，首先应归功于丹麦物理学家奥斯特。他在实验中发现，通有电流的导线（也叫载流导线）附近的磁针，会受力而偏转。1820 年 7 月 21 日，他在题为电流对磁针作用的实验小册子里，宣布了这个发现。这个事实表明电流对磁铁有作用力，电流和磁铁一样，也产生磁现象。1820 年 8 月，奥斯特又发表了第二篇论文，他指出：放在马蹄形磁铁两极间的载流导线也会受力
2、而运动。这个实验说明了磁铁对运动的电荷有作用力。1820 年 9 月，法国人安培报告了通有电流的直导线间有相互作用的发现，并在1820 年底从数字上给出了两平行导线相互作用力公式。这说明了二者的作用是通过它们产生的磁现象进行的。综上可知，电流是一切磁现象的根源。为了说明物质的磁性，1822 年安培提出了有关物质磁性的本性的假说，他认为一切磁现象的根源是电流，即电荷的运动，任何物体的分子中都存在着回路电流，成为分子电流。分子电流相当于基元磁铁，由此产生磁效应。安培假说与现代物质的电结构理论是符合的，分子中的电子除绕原子核运动外，电子本身还有自旋运动，分子中电子的这些运动相当于回路电流，即分子电流
3、。磁场的应用十分广泛。如：电子射线 、回旋加速器、质谱仪、真空开关等都利用了磁场。9-2 磁场 磁感应强度 磁力线 磁通量一、磁场1、磁场：运动电荷或电流周围也有一种场，称为磁场。第九章 稳恒电流的磁场 沈阳工业大学 郭连权（教授）22、磁场的主要表现（1）力的表现：磁场对运动电荷或载流导体有作用力。（2）功的表现：磁场对载流导体能做功。3、实验表明：磁场与电场一样，既有强弱，又有方向。二、磁感应强度为了描述磁场的性质，如同在描述电场性质时引进电场强度时一样，也引进一个描述磁场性质的物理量。下面从磁场对运动电荷的作用力角度来定义磁感应强度。设 E、 、 为电荷电量、速度、受磁场力。实验结果为：
4、VF1、 ， ；q2、 与 同磁场方向夹角有关，当 与磁场平行时， =0；当 与磁场垂直时， VFV。如 、磁场方向在 x、y 轴上，则 在 z 轴上。max max可知， ，可写成： 。qVFBqFma可知： 是与电荷无关而仅与 O 点有关即磁场性质有关的量。B定义： 为磁感应强度，大小： ，qax方向：沿 方向（规定为沿磁场方向） 。VFma说明：（1） 是描绘磁场性质的物理量，它与电场中的 地位相当。BE（2） 的定义方法较多，如：也可以从线圈磁力矩角度定义等。（3）SI 制中， 单位为 T（特斯拉） 。三、磁力线在描述电场时，引进了电力线这一辅助概念，在描述磁场中，我们也可以引进磁力线
5、这一辅助概念。1、 ：方向，某点磁力线切向方向为 的方向。B B大小，规定某处磁力线密度= 。设 P 点面元 与 垂直， 为 上通过的磁力线数，则磁力线密度 ，sdmds dsm即有： ，Bs第九章 稳恒电流的磁场 沈阳工业大学 郭连权（教授）3可知：B 大处磁力线密；B 小处磁力线疏。2、磁力线性质（1）磁力线是闭合的。这与静电场情况是截然不同的。磁场为涡旋场。（2）磁力线不能相交，因为各个场点 的方向唯一。B四、磁通量定义：通过某一面的电力线数称为通过该面的磁通量，用 表示。m1、 均匀情况B(1)平面 S 与 垂直，如图所示，可知（根据磁力线密度定义）（9-1）BSm（2）平面 与 夹角
6、 ，如图所示，可知：)n(cosSm 2、 任意情况B如图所示，在 上取面元 ， 可看成平面，ds上 可视为均匀， 为 法向向量，通过 的dsnds磁通量为 ，通过 S 上磁通量为sm（9-2）sBsm对于闭合曲面，因为磁力线是闭合的，所以穿入闭合面和穿出闭合面的磁力线条数相等，故 ，即0m（9-3）sds此式是表示磁场重要特性的公式，称为磁场中高斯定理。在这里，此定理只当做实验结果来接受，但是可以从磁场的基本定律和场的迭加原理严格证明。磁通量单位：SI 制中为 Wb（韦伯） 。9-3 毕奥沙伐尔定律我们曾经讲过，求带电体场强时，把带电体看成是由许多电荷元组成，写出电荷元的场强表达式之后，然后
7、用迭加法求整个带电体的场强。求载流导线的磁感应强度的方法与此类似，把载流导线看作是由许多电流元组成的，如果已知电流元产生的磁第九章 稳恒电流的磁场 沈阳工业大学 郭连权（教授）4感应强度，用迭加法（实验表明迭加法成立） ，便可求出整个线电流的磁感应强度。电流元的磁感应强度由毕奥沙伐尔定律给出，这条定律是拉普拉斯把毕奥、沙伐尔等人的实验资料加以分析和总结得出的，故亦称毕奥沙伐尔拉普拉斯定律。其内容如下：一、电流元 电流元的磁场假设在导线上沿电流方向取 ，这个线元很短，可看作直线，又设导线中电流为ld，则 称为电流元，如下图所示，Ild在 P 点产生的磁感应强度为 ：B大小：与 成正比，与 与 （
8、从电BlIlr流元到 P 点的矢量）的夹角正弦成正比，与 大小的平方成反比，即dr，2sinrIdl可写成。2sirIlKBK 与磁介质和单位制选取有关。对于真空和国际单位制， ，其中40K（称为真空磁导率） ，270/14AN，2sin4rIdlBo方向：沿 方向。BdrlId（矢量式） （9-4）30此式是毕奥沙伐尔定律的数学表达式。说明： （1）毕奥沙伐尔定律是一条实验定律。（2） 是矢量，方向沿电流流向。lId（3）在电流元延长线上 。0Bd（4）实验表明：迭加原理对磁感应强度也适用。整个导线在 P 点产生的为B（9-5）304rlIl二、磁场计算例 9-1：设有一段直载流导线，电流强
9、度为 I，P 点距导线为 a，求 P 点 =？B解：如图所示，在 AB 上距 O 点为 处取电流元 ， 在 P 点产生的 的大小为lldId第九章 稳恒电流的磁场 沈阳工业大学 郭连权（教授）520sin4rIdlB，方向垂直指向纸面（ 方向） 。同样可知，AB 上Bdl所有电流元在 P 点产生的 方向均相同，所以 P 点的大小即等于下面的代数积分 20sin4rIdlBA，统一变量，由图知sniar)si(， actgctgl)(ddadl 222sinc2121 i4sini4020 aIaIB)co(0I， B垂直指向纸面。讨论：（1） AB时， 01， 2， aI0。（2）对无限长（A
10、 在 O 处） ， 1， 2，IB40。强调：（1） 要记住，做题时关键找出 、 、 。210cos4aI 12（2） 、 是电流方向与 P 点用 A、B 连线间夹角。12例 9-2：如图所示，长直导线折成 0角，电流强度为 I，A 在一段直导线的延长线上，C 为 0角的平分线上一点，AO=CO=r，求 A、C 处 。解：任一点 是由 PO 段和 OQ 段产生的磁感应强度 、 的迭加，即 ，B 12 21BA 处 ？A 在 OQ 延长线上， 。02即 1A：垂直指向纸面B大小：)cos(42101aI，A第九章 稳恒电流的磁场 沈阳工业大学 郭连权（教授）6在此 12036sin21夹 角与
11、夹 角与 OAPra， rIrIBA 0000 43)cos(3。（2）C 点的 =？c21Bc由题知， （大小和方向均相同）21有 2c方向垂直纸面向外，cB大小为：)cos(42101aIBcc在此 12036sin21夹 角与 夹 角与 OCPrrarIrIBC0034。例 9-3：如图所示，一宽为 a 的薄金属板，其电流强度为 I 并均匀分布。试求在板平面内距板一边为 b 的 P 点的 。B解：取 P 为原点，x 轴过平板所在平面且与板边垂直，在 x 处取窄条，视为无限长载流导线，它在点产生的方向为：垂直纸面向外，大小为 BdxdaId200（均匀分布）所有这样窄条在 P 点的 方向均
12、相同，所以求 的大小可用下面代数积分进行：BBabIaIdbln200。强调：（1）无限长载流导线产生磁场 。（2）迭加方法要明确。例 9-4：如图所示，半径为 R 的载流圆线圈，电流为 I，求轴线上任一点 P 的磁感应强度 。B第九章 稳恒电流的磁场 沈阳工业大学 郭连权（教授）7解：取 x 轴为线圈轴线，O 在线圈中心，电流元在 P 点产生的 大小为lIdBd)2(4sin4020rIdlrIl设 纸面，则 在纸面内。 分成平行 x 轴分量 与垂直 x 轴分量 。l B/BdBd在与 在同一直径上的电流元 在 P 点产生的 、 ，由对称性可知，IdlI/与 相抵消，可见，线圈在 P 点产生
13、垂直 x 轴的分量由于两两抵消而为零，故B只有平行 x 轴分量。，023)(244sin4cosco030202020/ RxIrIRrdlIrdlIlBRR 的方向沿 x 轴正向。B讨论：（1）x=0 处， 。20IB（2）xR， 。3R（3）线圈左侧轴线上任一点 方向仍向右。强调：N 匝线圈： 。230xNIB例 9-5：载流螺线管的磁场。已知导线中电流为 I，螺线管单位长度上有 n 匝线圈，并且线圈密绕，求螺线管轴线上任一点的 。B解：如图所示，螺线管的纵剖图。此剖面图设在纸面内。在距 P 点为 x 处取长为 ，dx上含线圈为 。因为螺线管上线圈饶得很密，ndx所以， 段相当于一个圆电流
14、，电流强度为。因此宽为 的圆线圈产生的 大小为：I B2323 )()(00 xRIndxRIdB。所有线圈在 P 点产生的 均向右，所以 P 点 为d，ABRxInI2121)(2)(2020第九章 稳恒电流的磁场 沈阳工业大学 郭连权（教授）8dRdxctg2s，)cos(2 sin12120 0320 2 In dRIB。讨论：螺线管无限长时， ， 02， costIB0。半无限长：如 B 在无穷远处，A 轴线上的一点有 ， ， 。12nI021例 9-6：如图所示，在纸面上有一闭合回路，它由半径为 R、 的半圆及在直径上的二直线段组成，电流为 I。求 c 圆心 O 处 ？(2)若小半圆
15、绕 AB 转 180，0此时 O 处 ？0B解：由磁场的迭加性知，任一点 是由二半圆及直线段部分在该点产生的磁感应强度矢量和。此题中，因为 O 在直线段沿长线上，故直线段在 O 处不产生磁场。(1) ？0小线圈在 O 处产生的磁场大小为： （每长度相等的圆弧在 O 处产生的1002RIB小磁场大小相同） ；方向：垂直纸面向外。大线圈在 O 处产生的磁场大小为： ；200I大方向：垂直纸面向里。14200RIB大小方向：垂直纸面向外。(2) ,可知0大大 小小 0B，、 均垂直纸面向里。小0B大0 1420 RI大小方向：垂直纸面向里。9-4 运动电荷的磁场我们知道，电流是一切磁现象的根源，而电
16、流是由于电荷定向运动形成的。可见，电流的磁场本质上是运动电荷产生的。因此，我们可以从电流元所产生的磁场公式推导出运动电荷所产生的磁场公式。第九章 稳恒电流的磁场 沈阳工业大学 郭连权（教授）9如图所示，有一段粗细均匀的直导线，电流强度为 I，横截面面积为 s，在其上取一电流元 ，它在空间某一点产生的磁感应强度为 lId Bd，304rlIdB为电流元到 P 点的矢径。r按经典电子理论，金属导体中的电流是大量自由电子的定向运动形成的，为研究方便，我们可等效地认为该电流是正电荷产生的，正电荷的运动方向就是电流方向。设电荷（正电荷，下同）的电量为 q，单位体积内有 n 个做定向运动的电荷，它们的运动
17、速度均为恒矢 。V下面求 I=?在导线上取长为 V 的一柱体，那么，在单位时间内通过此柱体右端面 S 的电荷数为：n(VS)；单位时间内通过此面的电量为： q(nVS)。由电流强度定义有： I=qnVS,故 。 lqnVSdlI与 同向， Vldd304rlB该电流元内有定向运动的电荷数目为 )(sdlnN。电流元内一个运动电荷产生的磁感应强度为，3030441rVqrqSdlnldN （9-6）30rVB说明：(1)式中 是由运动电荷到考察点的矢量；r(2)此式对正、负电荷均成立。反 向与 同 向与 VB:q0(3)研究运动电荷的磁场，在理论上就是研究毕奥沙伐尔定律的第九章 稳恒电流的磁场
18、沈阳工业大学 郭连权（教授）10微观意义。例 9-7：设电量为+q 的粒子，以角速度 做半径为 R 的匀速圆周运动，求在圆心处产生的 。B解：按 ，运动电荷产生的 为304rVqB，304rVq大小为： 。B302sinr=R， ， 。RVRqB40方向：垂直纸面向外。用圆电流产生 的公式，由电荷运动，则形成电流。在此，+q 形成的电流流线与+q 运动的轨迹（圆周）重合，且电流为逆时针方向，相当于一个平面圆形载流线圈。可知， 的方向垂直纸面向外。根据平面圆形载流线圈在其中心产生 的大小公式，B B可求出 的大小。设运动频率为 f，可有2qIRqIB40。9-5 安培环路定律在电场中，我们介绍了
19、高斯定理，由它可求出满足一定对称条件的场强，简化计算。那么，在磁场中是否也有与电场中高斯定理地位相当的规律呢？回答是肯定的，这就是安培环路定律，其内容是 下面分几种情况来阐述。?ldBL1、闭合电线 L 内有电流情况设 L 为平面闭合曲线，所在平面与纸面垂直，直导线在纸面内并垂直 L 所在平面，如图（a）所示， （b）为俯视图。在 L 上取一线元 ，a、b 为始、终点， oa和 b的夹ld角为 ，oa=r，在 a 处 的大小为 ， 的方向如图所示（ 在纸面内）dBrI20BB第九章 稳恒电流的磁场 沈阳工业大学 郭连权（教授）11LLcosBdll(a) (b)图 9-16设 c 是 与 ab
20、 交点，所以 很小， 90acb，Bd，IrdIBrlL2020 当积分方向反向时， ，)(lL即 。Ild0当积分绕向与 I 的流向遵守右手螺旋定则时，上式取“+” ，此时，可认为电流为正；当积分绕向与 I 的流向遵守左手螺旋定则时，上式取负号，此时可认为电流为负。2、闭合曲线 L 不包含电流情况把上面长直导线平移到 L 外，则（b）图可表示如下：仍有 。022cos00 0afedaLLIdI rdIBrllB角 度角 度角 度 角 度角 度 结论：L 不包围电流时 。lL3、在 中有 n 条平行导线情况l， 内LLnLL IldBldlBd0211)( 第九章 稳恒电流的磁场 沈阳工业大
21、学 郭连权（教授）12即 （9-7）内LLIldB0此式即为安培环路定律的表达式。它表明： 沿一个回路积分等于此回路内包围电流B的代数和的 倍。0说明：（1）如果 不是平面曲线，载流导线不是直线，上式也成立。l（2） ，说明了磁场为非保守场（涡旋场） 。内LLIdB0（3）安培环路定律只说明 仅与 L 内电流有关，而与 L 外电流无关。对ldB于 是 内外所有电流产生的共同结果。l例 9-8：求下列情况 =？ldBL解：由安培环路定律有：。00内LLIl )2(1I例 9-9：有一无限长均匀载流直导体，半径为 R，电流为 I 均匀分布，求 分布。B解：由题意知，磁场是关于导体轴线对称的。磁力线
22、是在垂直于该轴平面上以此轴上点为圆心的一系列同心圆周，在每一个圆周上 B的大小是相同的。（1）导体内 P 处 =？B过 P 点做以 a 为圆心半径为 的圆周，aP 与轴垂直，ar安培环路定律为 内110LLIld（取过 P 点的一电力线为回路 ）可知 ,PLLLL rBdllcosBll 21111 0202001 RrIIPP内20RI即 。PrR2方向如图所示（与轴及 P垂直） 。（2）导体外任一点 Q 处 =？B过 Q 点做以 O 为圆心， 为半径的圆周，圆周平面垂直导体轴线，安培环路定律r为：内220LLIld可有： ， ，QrB2 IL002内第九章 稳恒电流的磁场 沈阳工业大学 郭
23、连权（教授）13。QrIB20方向如图所示（与轴线及 垂直） 。QBP例 9-10：如图所示，匀密地绕在圆环上的一组圆形线圈，形成螺线管。设环上导线共 N 匝，电流为 I，求环内任一点 =？B解：如果螺线管上导线绕的很密，则全部磁场都集中在管内，磁力线是一系列圆周，圆心都在螺线管的对称轴上。由于对称之故，在同一磁力线上各点的 B的大小是相同的。下面给出了螺线管过中心的剖面图。取 P 所在磁力线为积分路径 ，l内ll Id02可知： ，BcosBdlllNIIl 000内即 l，方向在纸面内垂直 OP. 图 9-22lNIBP0讨论：（1）因为 r 不同时， 不同，所以不同半径 r 处 大小不同
24、。l B（2）当 L 表示环形螺线管中心线的周长时，则在此圆周上各点 B 的大小为， 为单位长度上的匝数。nI00LN（3）如果环外半径与内半径之差0， 沿 方FBV向；q0）探测空间 O 点电磁场，在 O 处电荷速度及受力探测如下：试求：（1）O 点 ；（2）O 点 。第九章 稳恒电流的磁场 沈阳工业大学 郭连权（教授）15解：带电粒子在电磁场中受力为： )(EBVqF（1） =？E在（a）中， ， ，由知： 00qEF0 q0，及 沿+x 方向沿+x 方向，大小为 E（2）在（b）中， ， )BV(qFy0 q00BVy轴/B/Vy在（c）中， ，即zzE沿+x 方向，及 ， 沿+y 方向
25、。轴y/B的大小： ，BzzVsin090zzqFEB例 9-12：已知某空间电磁场为 ， 。一粒子 q=1c，mi2Tkji543smiV/2在该空间运动，求 =？解： N)kji(kji )ji()EB(qF 458109-7 磁场对载流导体的作用一、安培定律实验表明，载流导体在磁场中受磁场的作用力，而磁场对载流导体的这种作用规律是安培以实验总结出来的，故该力称为安培力，该作用规律称为安培定律。二、安培定律的数学表述如图所示，AB 为一段载流导线，横截面积为 S，电流为 I，电子定向运动速度为 ，V导体放在磁场中，在 C 处取电流元 ，C 处磁感应强度为 ，方向向右，电流元中一lIdB个电
26、子受洛仑兹力为 Bvef设单位体积内有 n 个定向运动电子，则电流元内共有运动电子数为 ，电流元中电nsdl第九章 稳恒电流的磁场 沈阳工业大学 郭连权（教授）16子受合力即电流元受力为，BlIdlensvV)e(sfFd即电流元受力（9-9）BlI此式为安培定律的数学表达式 方 向沿方 向 ：大 小 ： ldFsinId说明：（1） 。0BIl/（2）对任意形状的载流导线和任意的磁场， 都成立。对于一段BlIdF导线受力可表示为。LBlIdF（3）如图所示，电流元 位于原点，方向沿+z， 2lI在 y 轴上，坐1l2d标为(0,y,0)，方向沿 +y。 在 处产生的磁场为I2l；103101
27、44y)i(dyjlIBd受作用力为：2lI。210122 lIBlIF在 O 处产生的 ，所以 受力为 。2dlId1dl01F结论：电流元间作用力不满足牛顿第三定律。三、计算举例例 9-13：如图所示，一段长为 L 的载流直导线，置于磁感应强度为 的匀强磁场中，BB的方向在纸面内，电流流向与 夹角为 ，求导线受力 =？BF解：电流元受到的安培力为，lIdF大小为 ： sin，方向为：垂直指向纸面。导线上所有电流元受力方向相同，整个导线受到安培力为：可化为标量积分，Fd第九章 稳恒电流的磁场 沈阳工业大学 郭连权（教授）17BALBILdlIlIF0sinsisin。方向：垂直指向纸面。讨论
28、：（1） 时， =0。F（2） 时， 。ILmax注意：AB 是闭合回路一部分，孤立的一段载流导线是不存在的。以上是载流直导线在匀强磁场中的受力情况，一般情况下，磁场是不均匀的，这可从下面例子中看到。例 9-14：如图所示，一无限长载流直导线 AB，载电流为 I，在它的一侧有一长为 l 的有限长载流导线 CD，其电流为 ，AB 与 CD 共面，且 ，C 端距 AB2I ABD为 a。求 CD 受到的安培力。解：取 x 轴与 CD 重合，原点在 AB 上。X 处电流元 ，在 x 处 方向垂直纸面向dI2里，大小为：xIB210dxIdF29sin10方向：沿 方向。dACD 上各电流元受到的安培
29、力方向相同，CD 段受到安培力 可化为标量Fd积分，有 alIxIla n210210方向：沿 方向。AB注意：因为本题 CD 处于非均匀磁场中，所以 CD 受到的磁场力不能用与磁场中的受力公式计算，即不能用 BIlF计算。以上是载流直导线在磁场中的受力情况，实际上，载流导线不全是直的，有载流典型导线，这可以从下面例题看出。例 9-15：如图所示，半径为 R、电流为 I 的平面载流线圈，放在匀强磁场中，磁感应强度为 ， 的方向垂直纸面向外，求半圆周 和 受到的安培力。B abcd解：如图所取坐标系，原点在圆心，y 轴过 a 点，x 轴在线圈平面内。（1） 受到安培力 =？abcabcF电流元
30、受到安培力 ，Idl BlId大小为 ，2sinBF方向为：沿半径向外。第九章 稳恒电流的磁场 沈阳工业大学 郭连权（教授）18各处电流元受力方向不同（均沿各自半径向外） ， abc将 分解成 及 来进行叠加。FdxyFd=？x coscsBIdlxBIRRdIlabcxx 2cos)(2（沿+x 方向）=？yFsinsiBIdlFdy0sin)(i2RdIlabcyy（奇函数对称区间积分为 0）实际上由受力对称性可直接得知 =0 。yFiBIabc2（2） =?cdaF考虑电流元 ，它受安培力为 ，大小为 ，方向：lI lId2sinBIdlF沿半径向外。 上各电流元受力方向不同， c也将
31、分解成 ， 处理。FdxyFd=？xsinsin BIlxBIRRdlcda 2si)(0 （沿-x 方向）=？yFoss BIl0c)(0 RdyyiIcda2讨论：（1）各电流元受力方向不同时，应先求出 及 ，之后再求 及 。xFdy xFy（2）分析导线受力对称性。如此题中，不用计算 ， 就能知道它们为y0。（3） ， 圆形平面线载流线圈在均匀磁场中受力为 0。0cdaabF推广：任意平面闭合线圈在均匀磁场中受安培力为 0，这样，某些问题计算得到简化。第九章 稳恒电流的磁场 沈阳工业大学 郭连权（教授）199-8 磁场对载流线圈的作用实验表明，当通电线圈悬挂在磁场中时，可发生旋转，这说明
32、线圈受到了磁场对它施加力矩的作用，磁场对线圈产生的力矩称为磁力矩，下面来推导磁力矩公式。一、匀强磁场中情况设矩形线圈边长为 、 ，电流为 I，1l2线圈法向为 （ 与电流流向满足右手螺n旋关系） ， 与 夹角为 ， ，各BBab边受力情况：（1） cos)90si(22IlIlFad，方向向上。 nbc，方向向下。可见， ， （ad,bc 边受合力为）a（2） ，方向：垂直纸面向外；1BIlb，方向：垂直纸面向里。Fcd可见，ab、cd 边受力形成了一力偶，力矩大小为： sinsi21BISlIMab力矩 方向 方向。定义：（9-10） IPm线圈磁矩（它只与线圈有关） ，由此可得出 的矢量式
33、为：M（9-11） B此式即为所求。说明：（1） ，大小 ，方向与nISmISm线圈法向一致。（2）对 N 匝线圈， 。nP（3） 时， ，BmBMmax时， 。即为平衡位置。/0（a） : 稳定平衡如图 9-33 所示，当 从有一增量时（线圈受某种扰动） ，线圈位置如虚线所示。此时线圈受到一力矩作用，既结果是使线圈回到平衡位置，所以 =0 时称为稳定平衡。（b） ：不稳定平衡第九章 稳恒电流的磁场 沈阳工业大学 郭连权（教授）20如图 9-34 所示，当 时，线圈受某一扰动后会偏离此位置，如虚线所示。此时线圈受到一力矩作用，即结果是使线圈远离 这一平衡位置，所以 成为不稳定平衡位置。（4）由
34、（3）知，线圈在磁力矩作用下，它是趋于磁通量最大位置，即方向位置。Bn（5） 对任何平面线圈在匀强磁场中均成立。PMm例 9-16：求例 10-15 中线圈的 ？ ？mM解：（1） ？大小： ；方向：垂直纸面向外。2RISm（2） ？，BP与 同向， 。m注意：计算 时要注意下面步骤：M（1）判断 方向。m（2）判断 与 B夹角。P（3）找出 大小，根据 计算出 大小 及 M的方BPmMsinBPm向。二、非匀强磁场中情况平面载流线圈在非匀强磁场中，一般情况下，线圈所受的合磁力及合磁力矩均不为零，此时线圈即有平动又有转动。9-9 磁介质中的磁场（1）与磁场有相互影响的实物物质称为磁介质，实际上
35、一切实物都是磁介质。（2）磁介质放在磁场中而产生磁场的状态称为磁化状态。一、磁介质的磁化 磁导率1、顺磁质与抗磁质的特征空间任一点磁场是原来磁场 与磁介质产生的附加磁场 的迭加，即0BB第九章 稳恒电流的磁场 沈阳工业大学 郭连权（教授）21实验表明：如果均匀的磁介质充满有磁场的空间，则 与 同向或反向。B0定义： 与 同向的磁介质称为顺磁质（如：Mn，Cr，N2）B0与 反向的磁介质称为抗介质（如：Au，Ag，Cu，H2）说明：（1）一切抗磁质和大多数顺磁质均有 。0（2）但有为数不多的顺磁质（如：Fe，Ni） ，这类磁介质称为铁磁质。2、顺磁质及抗磁质磁化的主要机理（1）顺磁质分子或原子中
36、各个电子对外界产生的磁效应的总和相当于一圆电流，该圆电流称为分子电流。它形成的磁矩称为分子磁矩 。mp组成顺磁质的分子有一定的磁矩 ，无 时（见图 a） ，由于分子热运动， 方0Bmp向混乱，使磁效应抵消，整个磁介质对外不显磁性。当有外磁场 ，每个分子磁矩都0B受到磁力矩作用，如图 b，此力矩使分子磁矩转向 方向，由于分子的热运动，分子0磁矩尚不能与 完全一致，只是在一定程度上沿外磁场方向排列起来，因而在磁介质0B内任一点产生与外磁场方向相同的附加磁感应强度 如图 c 所示。图 9-35结论：分子磁矩是顺磁质产生磁效应的主要原因。（2）抗磁质组成抗磁质的分子，在没有外磁场时，对整个分子而言，没
37、有磁效应，它的分子电流为零。因而没有分子磁矩。当处在外磁场 中时，分子或原子中的每0B个电子都受到洛伦兹力作用，这时电子上怎样运动的呢？可以证明：分子中每个电子在恒定的外磁场作用下除作轨道运动及自旋外，轨道平面（或角动量各量）还要以恒定的角速度绕外磁场方向转动，这种转动称为电子的进动。如下图：此时，电子受磁力矩 ，方向： 。0BPM轨 第九章 稳恒电流的磁场 沈阳工业大学 郭连权（教授）22， 时间内： 。 图 9-36dtLMtdtML方向 。 与 同向， 与 及 组成的平面垂直，所以 在虚线的圆周上。可见轨P0BLd（或角动量 ）绕 转动。该转动称为电子进动，电子的进动亦相当一圆电流。因为
38、0B电子负电，所以该圆电流的磁矩方向向下，即与 方向相反，分子中各个电子因进动0而产生的磁效应总和亦与一圆电流等效。该圆电流产生的磁矩称为分子附加磁矩。显然， 方向与 反向。因为 方向都与 反向。所以在抗磁质内部任一每个分子MP0M的 与该点外磁场方向相反的附加磁场 。可见，附加磁场 是抗磁质产生磁效应的唯BMP一原因。说明：对于顺磁质也存在 ， 分子磁矩 ，且 。因为 可忽P0MMP略，故显顺磁性。所以 是顺磁质产生磁效应的主要原因。对于抗磁质M， 在 时，才有附加磁场 ，所以 是抗磁质产生磁效0MP0M应的唯一原因。（3）磁导率定义： 称为磁介质的相对磁导率。0Br。)B(10rr 抗 磁
39、 质 ：顺 磁 质 ：对一切抗磁质和大多数顺磁质， ，即 。 01B0r对铁磁质： 很大（ 比 大得多） 。rB0二、磁质中的磁场 在磁介质时的安培环路定律 磁场强度1、回顾真空中 LlsIdBS内 环 路 定 律 )(0若放入磁介质中，上面二式如何？因为，磁力线是闭合的，所以 成立。环路定律形式如何？后面讨论。0Sd2、有磁介质时安培环路定律传导电流：导体中电子,或正、负离子作有规则运动形成的电流。因为磁现象的根源是电流，所以安培环路中 应是传导电流 与分子电流 的总和，内LIII即第九章 稳恒电流的磁场 沈阳工业大学 郭连权（教授）23IldBLL内内0（“+”顺磁质， “-”抗磁质）0
40、）为 磁 化 面 电 流 线 密 度 ，（ 为 螺 线 管 单 位 长 内 匝 数 00 ss jjB)n(I)Irr0（9-12）称为磁介质的磁导率。顺磁质： ；抗磁质： ；铁磁质： 比 大得000多。 )jnI(Is0js， “+”顺磁质， “-”抗磁质js取回路 abcd，ab 在螺线管内，cd 在外。可知 InILjIns 00IldBL0l， （9-13） 图 9-37IldHL（9-14）B式（9-13）为磁介质中的安培环路定律（此积分仅与传导电流有关） ，式（9-14）中的称为磁场强度。H说明：（1）上式是从螺线管中导出的，但普遍成立。（2） 为辅助量，无直接的物理意义，有意义的
41、是 。B（3）安培环路定律 利用与真空中 实验一样，IldHL IldL0求 时，先求 ，后求 。BB三、铁磁质简介铁磁质的性质和规律比顺磁质、抗磁质复第九章 稳恒电流的磁场 沈阳工业大学 郭连权（教授）24杂，下面通过研究 ， 关系的实验来做一些简BH单介绍。实验是用图 9- 所示的电路来进行的。把待测的铁磁质做成圆环，在圆环上密绕线圈，这样就形成以铁磁质为芯的环形螺线管。线圈通电时，环内磁场强度为图 9-38 nIH圆环内的 ，可用一个接在冲击电流计 上副线圈来测量。当原线圈（即环形螺线管）BBG中电流变化甚至反向时，在副线圈中将产生一个感应电动势，由此可把环内的 测出来。实验结果得到如图
42、的 曲线。HB称为起始磁化曲线，当 从零逐渐增加oa时， 亦从零增加，当 增大到一定值时（图中 点） ， 几乎不再增加，这时磁化达到了饱和。由于磁化曲线不是直线，所以铁磁质的磁导率 以及相对磁导率 都不是恒量。HB0r在磁化达到不饱和后，令 减小，则 亦减小， 图 9-39B但不按 减小，而是沿曲线 减小，当 等于oaabH零时， ，即磁化场减小到零时，介质的磁r化状态并不恢复到原来的起点 ，而是保留一定O的磁性，叫剩磁现象， 叫剩余磁感应强度。如果 的值等于 值， 变为零，即rBcHB介质完全退磁，使介质完全退磁所需的反向磁场强度 叫做矫顽力。当反向磁场 继c H续增加时，铁磁质将向反方向磁化，达到饱和后，若使反向磁场 的减小到零，然后再向正方向增加， 将沿 曲线而变化，形成闭合曲线 。曲线 称为defaabdefabcdef磁滞回线。各种铁磁性材料有不同的磁滞回线。他们的区别在于矫顽力的大小不同。铁磁材料按矫顽力的大小分为两类，即硬磁材料和软磁材料。
