1、第二讲 直线与圆的位置关系,回归课本,直线与圆的位置关系 1.圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数. 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径. 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.,2.圆内接四边形的性质定理与判定定理: 圆内接四边形的对角互补;圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. 如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆;如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.,
2、3.切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,4.相交弦定理:圆内两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等. 割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项. 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等;圆心和这点的连线平分两条切线的夹角.,考点陪练,2.(2010北京)如图,O是弦ED,CB的延
3、长线交于点A,若BDAE,ECAC,AB=4,BC=2,AD=3,则DE=_;CE=_.,3.(2010湖南)如图所示,过O外一点P作一条直线与O交于AB两点.已知PA=2,O的切线长PT=4,则弦AB的长为_.解析:连接BT,由切割线定理,得PT2=PAPB,所以PB=8,故AB=6. 答案:6,4.(2010陕西)如图,已知RtABC的两条直角边AC,BC的长分别为3 cm,4 cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,则,5.(2010广东)如图,点A,B,C是圆O上的点,且AB=4,ACB=45,则圆O的面积等于_.解析:连接OA,OB, BCA=45,AOB=90. 设圆O的半径为R,在
4、RtAOB中,R2+R2=AB2=16,R2=8. 圆O的面积为8. 答案:8,类型一 圆内接四边形的性质与判定 解题准备:熟练运用圆内接四边形判定定理及其推论是证明四点共圆的关键,若证出四点共圆,便可运用圆内接四边形的性质解决相关问题.,【典例1】 如图,已知AP是O的切线,P为切点,AC是O的割线,与O交于B,C两点,圆心O在PAC的内部,点M是BC的中点. (1)证明:A,P,O,M四点共圆; (2)求OAM+APM的大小.分析 要证APOM四点共圆,可考虑四边形APOM的对角互补;根据四点共圆,同弧所对的圆周角相等,进行等量代换,进而求出OAM+APM的大小.,解 (1)证明:如图所示
5、,连接OP,OM. 因为AP与O相切于点P,所以OPAP,因为M是O的弦BC的中点, 所以OMBC, 于是OPA+OMA=180. 由圆心O在PAC的内部,可知四边形APOM的对角互补,所以A,P,O,M四点共圆.,(2)由(1)得A,P,O,M四点共圆, 所以OAM=OPM, 由(1)得OPAP,由圆心O在PAC的内部, 可知OPM+APM=90, 所以OAM+APM=90.,反思感悟 本题考查的是凸四边形存在外接圆的充要条件,即如果凸四边形的对角互补,则它有外接圆,圆的内接凸四边形对角互补,第(2)问作出四边形APOM的外接圆更能从直观上利于问题的解决.,类型二 弦切角与圆周角定理的应用
6、解题准备:弦切角与圆周角是很重要的与圆相关的角.其主要功能在于协调与圆相关的各种角(如圆心角圆周角等),是架设圆与三角形全等三角形相似与圆相关的各种直线(如弦割线切线)位置关系的桥梁,因而弦切角也是确定圆的重要几何定理的关键环节(如证明切割线定理).,【典例2】 如图所示,设ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E,BAC的平分线与BC交于点D.求证:ED2=ECEB. 分析 利用弦切角定理三角形内角平分线性质定理切割线定理进行证明.,证明 因为AE是圆的切线, 所以,ABC=CAE. 又因为AD是BAC的平分线, 所以BAD=CAD, 从而ABC+BAD=CAE+CAD. 因为ADE=
7、ABC+BAD, DAE=CAE+CAD. 所以ADE=DAE,故EA=ED.,因为EA是圆的切线,所以由切割线定理知, EA2=ECEB. 而EA=ED,所以ED2=ECEB.,反思感悟 本题主要考查考生分析问题的能力和推理论证能力.试题的主要目的是检测考生能不能通过分析找到解决问题的关键“证明ED=EA”,可以说本题在考查知识的同时重在考查分析问题的能力,是一道知识和能力并重的试题.,类型三 圆的切线的性质与判定 解题准备:若知圆的切线,一种自然的想法就是连结过切点的半径,从而得到垂直关系.证明某条直线是圆的切线的常用方法有:若已知直线与圆有公共点,则需证明圆心与公共点的连线垂直于已知直线
8、即可;若已知直线与圆没有明确的公共点,则需证明圆心到直线的距离等于圆的半径.,【典例3】 如图,已知AB是O的直径,BC是O的切线,切点为B,OC平行于弦AD. 求证:DC是O的切线.分析 因为DC过O上的点D,所以可连接OD,只要证明DCOD,因为BC和O切于B,所以OBC=90,因此只需证ODC=OBC,而这两个角分别在两个三角形中,只需证它们全等.,证明 如图所示,连接OD. OA=OD,1=2, ADOC, 1=3,2=4, 3=4. 又OB=OD,OC=OC, OBCODC, OBC=ODC.,BC是O的切线, OBC=90 ODC=90, DC是O的切线.,类型四 与圆有关的比例线
9、段 解题准备:与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用:相交弦定理;割线定理;切割线定理;相似三角形的判定和性质等.,【典例4】 如图所示,已知O1与O2相交于AB两点,过点A作O1的切线交O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交O1O2于点DE,DE与AC相交于点P. (1)求证:ADEC; (2)若AD是O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.,分析 (1)欲证ADEC,只需证明D=E,沟通两圆周角间的关系,连AB,利用弦切角圆周角定理可完成转化.(2)利用相交弦定理与切割线定理求解.,解 (1)证明:如图所示,连接AB, AC是O1的切线, BAC=D. 又BAC=E, D=E
10、, ADEC.,反思感悟 解决有关圆的相交弦问题,对求解计算题而言,常常是先借助相交弦定理,建立有关线段的等式或方程(组),然后再求解;对证明等积式或比例式而言,常常是借助相交弦定理,并综合其他相关等积式或比例式的知识,进行恒等变换,最后解决问题.,错源一 不可逆定理逆用致误,【典例1】 如图所示,两大小不等的圆交于PQ两点,AB与CD为它们的两条外公切线.求证:ACPQBD.,剖析 原命题成立,其逆命题不一定成立.平行线分线段成比例的逆命题不成立,如延长QP与AB交于E,延长PQ与CD交于F, 由切割线定理, 得EA2=EPEQ=EB2. EA=EB. 同理FC=FD.,正解 两圆不等,两条
11、外公切线必交于一点G(如图所示).由切线长定理,得,评析 在四种命题的关系中存在下述结论:原命题为真,它的逆命题不一定为真;原命题为真,它的否命题不一定为真;原命题为真,它的逆否命题一定为真.因此,在所有证明题中,必须正确理解定理的内涵与外延,对于它的逆命题,不能随心所欲地使用,应先判断它的真假性,再利用.当然,因为互为逆否命题同真同假,所以一个定理的逆否命题可以直接使用. 错源二 弦所对的圆周角有两个,求解时应注意讨论,【典例2】 ABC内接于半径为2 cm的圆,若 cm,求A.,正解 如图(1)所示,当点A在弦BC所对的优弧上时,连接BO并延长交O于D,连接CD,则BD=4 cm. 因为B
12、D是O的直径,所以BCD=90,评析 由于弦所对的圆周角有两个,因此本题中易丢掉120的情况.,技法一 圆柱圆锥的割线,【典例1】 (2010中山)如图所示,圆锥侧面展开图形的中心角为 是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径,过CD和母线VB的中点E作一截面,求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小,并说明截线是什么圆锥曲线?,方法与技巧 由圆锥面的截线定理知我们若知道圆锥面的半顶角和截面与轴的交角,就能通过和的大小关系来判定截线是椭圆双曲线还是抛物线,也可利用与1的大小来判定.,技法二 检验法,【典例2】 如图,在ABC中,AD是高,ABC的外接圆直径AE交BC边于点G,有下列四个结论:AD2=BDCD;BE2=EGAE;AEAD=ABAC;AGEG=BGCG.其中正确结论的个数是_.,答案 2,
