1、例 1在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 奎 屯王 新 敞新 疆()nab证明：在展开式 中，令01 ()nrnnCabCabN ，则 ，,23(1) (1)nnnn即 ，0213()n ，nCC 即在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和()nab说明：由性质（3）及例 1 知 .021312nnnC 例 2已知 ，求：7 702()xaxax（1） ； （2） ； （3） .27a 1357017|aa解：（1）当 时， ，展开式右边为1x7()()x027 ，1aa 当 时， ， ，x012712a（2）令 ， 令 ， 1x70123
2、4563a 得： ， .71357()1a1357a7132（3）由展开式知： 均为负， 均为正，1357,0248,由（2）中+ 得： ，70246()13aa ， 70246a 017|a 01234567aa奎 屯王 新 敞新 疆724635()()a例 3.求(1+x)+(1+x) 2+(1+x)10展开式中 x3的系数 奎 屯王 新 敞新 疆解： )x1(1)x(1 100）（= ，x)(原式中 实为这分子中的 ，则所求系数为 奎 屯王 新 敞新 疆34x71C第二课时例 4.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求 x 的系数 奎 屯王 新 敞新 疆解： 55)2(1)3x( 在(x
3、+1) 5展开式中，常数项为 1，含 x 的项为 ，xC15在(2+x) 5展开式中，常数项为 25=32，含 x 的项为 804展开式中含 x 的项为 ，2)3()80(此展开式中 x 的系数为 240 奎 屯王 新 敞新 疆例 5.已知 的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为 14；3，求展开式的常数n2)(项 奎 屯王 新 敞新 疆解：依题意 2n4n2n4 C13:1C:3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2! n=10 奎 屯王 新 敞新 疆设第 r+1 项为常数项，又 2r510rr2r10r1r xC)(x()T令 ，202r51此所求常数项为 180
4、 奎 屯王 新 敞新 疆.18)(CT1例 6 设 ，231nxxx 201naxa当 时，求 的值 奎 屯王 新 敞新 疆01254naa解：令 得：，23012 nn 2(1)54 ，8,7n点评：对于 ，令 即 可得各项系101()()nnnfxaxa 1,xa数的和 的值；令 即 ，可得奇数项系数和与偶数项和的关012naa 1,xax系 奎 屯王 新 敞新 疆例 7求证： 12312nnnCC证（法一）倒序相加：设 S123nn又 S21()()nn n ， ， rrnC01,nnC由+得： ，22nn ，即 11nS 312nC（法二）：左边各组合数的通项为，rnC1!()!()1
5、rnnr 1230121n nnn nCC 12n例 8在 的展开式中,求:10)(yx二项式系数的和; 各项系数的和; 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; 奇数项系数和与偶数项系数和; 的奇次项系数和与 的偶次项系数和.xx分析:因为二项式系数特指组合数 ,故在,中只需求组合数的和,而与二项式 中的系数rnCyx32无关.解：设 (*),10289101)32( yayxaxayx 各项系数和即为 ,奇数项系数和为 ,偶数项系数和为010 0210, 的奇次项系数和为 , 的偶次项系数和9531aa x 9531aa x.10420由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数
6、和.二项式系数和为 .10102C令 ,各项系数和为 .1yx 1)(32(010奇数项的二项式系数和为 ,90102C偶数项的二项式系数和为 .13C设 ,10289101)32( yayxaxayx令 ,得到 (1),1020令 , (或 , )得 (2)1xyxy 10325aa(1)+(2)得 ,1010205aa奇数项的系数和为 ;5(1)-(2)得 ,109315)(2aa偶数项的系数和为 .510 的奇次项系数和为 ;x 2109531aa的偶次项系数和为 .510420点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值
7、法”是求系数和的常规方法之一.第三课时例 9已知 的展开式的系数和比 的展开式的系数和大 992,求 的展nx23)(nx)13(nx2)1(开式中:二项式系数最大的项;系数的绝对值最大的项.解：由题意 ,解得 .922n5n 的展开式中第 6 项的二项式系数最大,10()x即 .804)1(255106 xCT设第 项的系数的绝对值最大,r则 rrrrr xCx 21010101 )()( ,得 ,即1010122rrrC102rrr)( , ,故系数的绝对值最大的是第 4 项 奎 屯王 新 敞新 疆318r例 10已知： 的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大 2()nx 92（1）求
8、展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 奎 屯王 新 敞新 疆解：令 ，则展开式中各项系数和为 ，2(13)n又展开式中二项式系数和为 ，2n ， 29n5（1） ，展开式共 项，二项式系数最大的项为第三、四两项，6 ， ，23235()0TCxx2233345()70TCxx（2）设展开式中第 项系数最大，则 ，1r 1045231 5()rrrrr C ， ，5517923rr即展开式中第 项系数最大， 22644335()05TCxx例 11已知 ，)(11 NnSnnnn求证：当 为偶数时， 能被 整除 奎 屯王 新 敞新 疆n6分析：由二项式定理的逆用化简 ，再把 变形，化为含有因数 的多项式 奎 屯王 新 敞新 疆S4n 64 ，12122()nn nSCC 3 ， 为偶数，设 （ ） ，4n3k*N 1281k()81k01kkkCC（ ） ，128() 当 = 时， 显然能被 整除，k140nS64当 时， （ ）式能被 整除，2所以，当 为偶数时， 能被 整除 奎 屯王 新 敞新 疆1n
