1、比如乘法 AB一、1）用 A 的第 1 行各个数与 B 的第 1 列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第 1 行第 1 列的数；2）用 A 的第 1 行各个数与 B 的第 2 列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第 1 行第 2 列的数；3）用 A 的第 1 行各个数与 B 的第 3 列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第 1 行第 3 列的数；依次进行，（直到）用 A 的第 1 行各个数与 B 的第末列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第 1 行第末列的的数，二、1）用 A 的第 2 行各个数与 B 的第 1 列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第 2 行第 1 列的数；
2、2）用 A 的第 2 行各个数与 B 的第 2 列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第 2 行第 2 列的数；3）用 A 的第 2 行各个数与 B 的第 3 列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第 2 行第 3 列的数；依次进行，（直到）用 A 的第 2 行各个数与 B 的第末列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第 2 行第末列的的数，依次进行，（直到）用 A 的第末行各个数与 B 的第 1 列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第末行第 1 列的数；2）用 A 的第末行各个数与 B 的第 2 列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第末行第 2 列的数；3）用 A 的第末行各个
3、数与 B 的第 3 列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第末行第 3 列的数；依次进行，（直到）用 A 的第末行各个数与 B 的第末列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第末行第末列的的数首先介绍 “代数余子式” 这个概念：设 D 是一个 n 阶行列式，aij （i、j 为下角标）是 D 中第 i 行第 j 列上的元素。在 D 中 把 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，剩下的 n-1 阶行列式叫做元素 aij 的“余子式”，记作 Mij。把 Aij = (-1)(i+j) * Mij 称作元素 aij 的“代数余子式”。 （符号 表示乘方运算）其次，介绍伴随矩阵的概念设 E 是
4、一个 n 阶矩阵，其矩阵元为 aij。则 E 的伴随矩阵 E为A11 A12 A1nA21 A22 A2nAn1 An2 Ann的转置矩阵。E中的矩阵元 Aij 就是上面介绍的 代数余子式。=对于三阶矩阵a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33首先求出 各代数余子式A11 = (-1)2 * (a22 * a33 - a23 * a32) = a22 * a33 - a23 * a32A12 = (-1)3 * (a21 * a33 - a23 * a31) = -a21 * a33 + a23 * a31A13 = (-1)4 * (a21 * a32 - a22
5、* a31) = a21 * a32 - a22 * a31A21 = (-1)3 * (a12 * a33 - a13 * a32) = -a12 * a33 + a13 * a32A33 = (-1)6 * (a11 * a22 - a12 * a21) = a11 * a22 - a12 * a21然后伴随矩阵就是A11 A12 A13A21 A22 A23 A31 A32 A33的转置 矩阵 AT（T 为上标）设 R 是一个交换环，A 是一个以 R 中元素为系数的 nn 的矩阵。 A 的伴随矩阵可按如下步骤定义： 定义：A 关于第 i 行第 j 列的余子式（记作 Mij）是去掉 A 的
6、第 i 行第j 列之后得到的( n 1)(n 1)矩阵的行列式。 定义：A 关于第 i 行第 j 列的代数余子式是：。 定义：A 的余子矩阵是一个 nn 的矩阵 C，使得其第 i 行第 j 列的元素是 A 关于第 i 行第 j 列的代数余子式。引入以上的概念后，可以定义：矩阵 A 的伴随矩阵是 A 的余子矩阵的转置矩阵：。也就是说， A 的伴随矩阵是一个 nn 的矩阵（记作 adj(A)），使得其第 i 行第 j 列的元素是 A 关于第 j 行第 i 列的代数余子式：。编辑 例子编辑 2x2 矩阵一个 矩阵 的伴随矩阵是.编辑 3x3 矩阵对于 的矩阵，情况稍微复杂一点：.其伴随矩阵是：其中.
7、要注意伴随矩阵是余子矩阵的转置，第 3 行第 2 列的系数应该是 A 关于第 2 行第 3 列的代数余子式。编辑 具体情况对于数值矩阵，例如求矩阵的伴随矩阵 ，只需将数值代入上节得到的表达式中。例如第 2 行第 3列的代数余子式为因此伴随矩阵中第 3 行第 2 列的位置上是-6。计算后的结果是： 编辑 应用作为拉普拉斯公式的推论，关于 nn 矩阵 A 的行列式，有：其中 I 是 n 阶的单位矩阵。事实上，A adj(A)的第 i 行第 i 列的系数是。根据拉普拉斯公式，等于 A 的行列式。如果 i j，那么 A adj(A)的第 i 行第 j 列的系数是。拉普拉斯公式说明这个和等于 0（实际上
8、相当于把 A 的第j 行元素换成第 i 行元素后求行列式。由于有两行相同，行列式为 0）。由这个公式可以推出一个重要结论：交换环 R 上的矩阵 A 可逆当且仅当其行列式在环 R 中可逆。这是因为如果 A 可逆，那么如果 det(A)是环中的可逆元那么公式(*)表明性质对 nn 的矩阵 A 和 B，有：1.2.3.4.5.6. 当 n2 时，7. 如果 A 可逆，那么8. 如果 A 是对称矩阵，那么其伴随矩阵也是对称矩阵；如果 A 是反对称矩阵，那么当 n 为偶数时，A 的伴随矩阵也是反对称矩阵， n 为奇数时则是对称矩阵。9. 如果 A 是（半）正定矩阵，那么其伴随矩阵也是（半）正定矩阵。10
9、.如果矩阵 A 和 B 相似，那么 和 也相似。11.如果 n2，那么非零矩阵 A 是正交矩阵当且仅当编辑 伴随矩阵的秩当矩阵 A 可逆时，它的伴随矩阵也可逆，因此两者的秩一样，都是 n。当矩阵A 不可逆时，A 的伴随矩阵的秩通常并不与 A 相同。当 A 的秩为 n-1 时，其伴随矩阵的秩为 1，当 A 的秩小于 n-1 时，其伴随矩阵为零矩阵。编辑 伴随矩阵的特征值设矩阵 A 在复域中的特征值为 （即为特征多项式的 n 个根），则 A 的伴随矩阵的特征值为 。编辑 伴随矩阵和特征多项式设 p(t) = det(A tI)为 A 的特征多项式，定义 ，那么：,其中 是 p(t)的各项系数：伴随
10、矩阵也出现在行列式的导数形式中。行列式方块矩阵 A 的行列式是一个将其映射到标量的函数，记作 det(A) 或 |A|，反应了矩阵自身的一定特性。一个方阵的行列式等于 0 当且仅当该方阵不可逆。系数是实数的时候，二维（三维）方阵 A 的行列式的绝对值表示单位面积（体积）的图形经过 A 对应的线性变换后得到的图形的面积（体积），而它的正负则代表了对应的线性变换是否改变空间的定向：行列式为正说明它保持空间定向，行列式为负则说明它逆转空间定向。22 矩阵的行列式是33 矩阵的行列式由 6 项组成。更高维矩阵的行列式则可以使用莱布尼兹公式写出 15，或使用拉普拉斯展开由低一维的矩阵行列式递推得出 16
11、。两个矩阵相乘，乘积的行列式等于它们的行列式的乘积：det(AB) = det(A)det(B)。将矩阵的一行（列）乘以某个系数加到另一行（列）上不改变矩阵的行列式，将矩阵的两行（列）互换则使得其行列式变号。用这两种操作可以将矩阵变成一个上三角矩阵或下三角矩阵，而后两种矩阵的行列式就是主对角线上元素的乘积，因此能方便地计算。运用行列式可以计算线性方程组的解矩阵 A 的行列式有时也记作 | A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如： ），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子
12、式）。例如，一个矩阵：，行列式 也写作 ，或明确的写作：，即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代对于简单的 2 阶和 3 阶的矩阵，行列式的表达式相对简单，而且恰好是每条主对角线（左上至右下）元素乘积之和减去每条副对角线（右上至左下）元素乘积之和（见图中红线和蓝线）。 2 阶矩阵的行列式： 27 3 阶矩阵的行列式：三阶矩阵的行列式为每条红线上的元素的乘积之和，减去蓝线上元素乘积之和。但对于阶数 的方阵 A，这样的主对角线和副对角线分别只有 n 条，由于A 的主、副对角线总条数 的元素个数 因此，行列式的相加项中除了这样的对角线乘积之外，还有其他更多的项。例如 4 阶行列式中，项 就不是任何对角线的元素乘积。不过，和 2、3阶行列式情况相同的是， n 阶行列式中的每一项仍然是从矩阵中选取 n 个元素相乘得到，且保证在每行和每列中都恰好只选取一个元素，而整个行列式恰好将所有这样的选取方法遍历一次。另外， nn 矩阵的每一行或每一列也可以看成是一个 n 元矢量，这时矩阵的行列式也被称为这 n 个 n 元矢量组成的矢量组的行列式
