第二讲 初等变换及其应用(一).doc

1、第二讲 初等变换及其应用（一）一、初等变换及记号二、行列式性质及计算（化三角形方法）三、矩阵化简的三种形式（行阶梯形、行最简形、等价标准形）四、矩阵逆、秩、秩子式的计算五、矩阵秩的性质及矩阵等式证明的满秩方法初等变换是线性代数中解计算题型的基本方法. 这一讲和下一讲专门讲初等变换方法解题.1、初等变换及记号初等变换作用在行列式上和矩阵上分行初等变换和列初等变换，变换的方法和记号如下：换行：第 行与第 行交换，记作 ，ijijr换列：第 列与第 列交换，记作 ；ijc倍行：第 行 倍，记作 ，ikir倍列：第 列 倍，记作 ；ic倍行加：第 行 倍加到第 行上去，记作 .jl ijrl倍列加：第

2、 列 倍加到第 列上去，记作 .iijc注：第 3 种初等变换的记号有的书规定写成 ， ，但规定后就不能变，jilrjilc只能用一种； 为 时，可以直接写成 ；,kl1,ijijirc 时， 可看成第 行减去第 行的 倍， 可看成第 列0l1ijl 1l1jiclj减去第 列的 倍；i1l 时， ，ijjirrjiijcc规定： 每次变形对每个元素至多只能改变一次； 每次变形所做的多个初等变换按从上往下的次序.将“行”字改成“方程” ，就是方程组的初等变换。初等变换作用在行列式上，就是行列式的初等变换。初等变换作用在矩阵上，就是矩阵的初等变换。习题 1写出下列初等变换的记号（1） ；（2）

3、；241400357410213（3） ；（4） .4172557130404二、行列式性质及计算（化三角形方法）行列式概念定义 1 由 个数 排成 行 列的如下记号2n(1,2;,)ijanj n，121212nna 称为 阶行列式（其中 表示第 行第 列位置的数，称为第 行第 列元素） ，它表示所nijaijij有取值不同行、不同列的 个数的乘积并按照如下方法带上正号或负号的代数和：每项乘积中的 个数按行号排成标准排列时，其列号排列的奇偶性决定该项的符号：奇排列时为负号，偶排列时为正号，即， （1.3）121212121()12 nnnnNjjjjnnaaaA 其中求和 取遍所有 级排列

4、.而 称为行列式的12nj 12njj 1212()nnNjjja 一般项.特别地，当 时，规定一阶行列式 .1a行列式有时也简记作 ，其值是一个数 .ija行列式性质性质 1 将行列式转置，行列式的值不变.性质 2 行列式的初等变换性质：换行，值反号；倍行，倍值；倍行加，值不变.性质 3 提取一行公因子，即可以把行列式中某一行所有元素的公因子提取出来放到行列式外面作为因子.性质 4 具有如下特征之一的行列式，其值为 .0有一行元素全为 ；0有两行元素对应相等；有两行元素对应成比例.性质 5 拆行拆值，即把一个行列式的某一行拆开成两行所得到的两个行列式的值之和就等于原行列式的值.行列式中元素的

5、余子式和代数余子式的概念.定义 2 在 阶行列式 中，划去元素 所在的第 行和第 列后，余下的元素按原nijaijaij来的相对位置排成的 阶行列式称为 的余子式，记作 ，称 为 的代数余子式，1ij ijMijAija其中 .()ijijiAM例如， 阶行列式41456928703x中， 的余子式和代数余子式分别为2314ax，235625684001M.2323(1)58423A行列式展开性质定理 1 阶行列式 等于任一行的元素与其对应的代数余子式乘积之和，即nijDa12,12,iiinAaAn 推论 1 行列式 中，任一行的数字与另一行中同列数字代数余子式的乘积之ij和等于 ，即 .0

6、120,()ijijinjaij有时，我们把定理1简称为“同行展开等于行列式本身” ，而把推论1简称为“异行展开等于 ”.定义 3 在 阶行列式 中，任取 行 列 ，位于这些行、列交叉处nijDak()kn的 个数字按原来在 中的相对位置排成的 阶行列式 ，称为 的一个 阶子式.划去2k MDk所在的行和列，余下的数字按原来的相对位置排成的 阶行列式并带上符号M，称为 的代数余子式，其中 是 所在的行号， 是 所11()kkijj M1ki 1kj M在的列号.定理 2（拉普拉斯（Laplace）展开定理） 在 阶行列式 中，任取 行nijDak后，所有位于这 行的 阶子式与其代数余子式乘积之

7、和等于 .(1)knk计算行列式的化三角形方法首先，若第 1 个对角元 及其下方（即第 1 列）的数字都等于 ,则行列式等于 ，1a00否则，经过行初等变换把 化成非零，并把其下方的 都化成 ；其次，1ia23in再考虑第 2 个对角元，若第 2 个对角元 及其下方的数字都等于 ，则行列式的值也等2于 .否则，经过初等行变换把 化成非零，并把其下方的 都化成 ；接着0a2i0,i再考虑第 3 个对角元； ；这样，逐步将每个对角元下方都化成了 ，行列式就化成了三角形了.如果在某步，对角元及其下方都为 ，则行列式等于 ，否则，化成了三角形行列式，0由此可计算出原行列式的值.例 1 计算行列式 21

8、435087解 利用初等变换化成三角形行列式：原式 化 下方为 021406387 第 1行 （ -2） 倍 加 到 第 行第 行 （ ） 倍 加 到 第 3行 12a化 下方为 021406=5倍2-3倍4 21a化 下方为 021406=倍3-1倍4 32a.9例 2 计算行列式01234D解 （化 为非零）142310rD1a（化 下方为零）213234()81070r 1a（化 下方为零）421340()3r-82a（化 下方为零）31404-r83a.1()416例 3 计算行列式 234615D解 （化 下方为 0，这时 及其下方都为 0 了）213240781rD1a2a行列式展

9、开方法应用例 4 用行列式展开方法计算行列式3260154D解 .23 310201()51()6244D例 5 对于行列式 324510计算余子式的线性组合 .2123244MM解 21232412324534 10AA243501r254(1)13（注意这里变换的写法，第 1 行变了两次）142,3jr1()4(32)高阶行列式计算中应用初等变换的思考途径例 6 计算 阶行列式n xaDax解 这个行列式的各行（列）元素之和相等，将它们加到一起，再相减就可以化出 0.1(1)2,3(1) jxnaaxcjDaxnax12,3 i xrnax1()nxax这个高阶行列式计算中应用了初等变换的

10、第一个思考途径：同一位置.例 7 计算范德蒙（Vandermonde）行列式（ ）n21231211123nnnnxxxD 解 在 中，从第 行开始，下一行减去上一行的 倍（即上一行的（ ）倍加到n xnx下一行） ，得 123122221 31110()()()()nnnnnnnnnnxxxxD 按第 列展开，并把每列的公因子 提出，得()jx12311 223122131()()()nnnnnnnnnxxDxx 1231()()()nnnnnxxxD注意 比 中少了 ，因此 就可以递推得到1nDnx2211Dx13211221()()()() nnn nijjinx这里的记号 表示全体同类

11、因子的乘积.上述范德蒙行列式的计算中，我们利用了初等变换的第二个思考途径：相邻位置.习题 21. 按行列式定义计算下列行列式（1） ； （2） ，23014D0132D（3）计算 阶行列式 . nxa2. 设 ，利用行列式性质计算 .12133aD11213231324aaD3. 利用行列式性质计算行列式 . 2243631063abcdaabcc4. 利用行列式性质证明 .3()axbyzbxxyzayz5. 用化三角形方法计算下列行列式（1） ；（2） ；（3） .6053142112534206. 用行列式展开方法计算行列式.31254203D7. 对于行列式 ，求余子式和代数余子式的下

12、列线性组合3115243（1） ； （2） . 114M12134A8. 对于行列式 ，计算代数余子式的线性组合 . 23123apbcd 12314A9. 计算行列式 中的余子式和代数余子式的下列线性组合：85190647（1） ，31235A（2） .242M10. 用行列式展开方法计算 阶行列式 . nabDcd 11. 设 ，求方程 的根. 2310()97xfx()0fx三、矩阵化简的三种形式（行阶梯形、行最简形、等价标准形）行阶梯形矩阵特点 可画一条阶梯线，线的下方全为 ；每个台阶只有一行，阶梯线的竖线（每段0竖线对应一个台阶）后面的第一个元素为非零元（叫做非零首元）求法 在 中先

13、找到第 个非零列，经过行初等变换，将其上方元素（非零首元位置）A1化成非零元，而下方所有元素都化成 ，除去这个非零首元所在位置前面所有列和上面所有行外，在剩下的子块中，再找到第 个非零列，经过行初等变换，将其上方元素（非零首元位置）化成非零元，下方所有元素化成 .再除去这个非零首元所在位置前面所有列和0上面所有行之外，考虑剩下的子块.这样一直做下去，直到剩下的子块元素全为 或没有剩0下的子块元素为止.例 8 化矩阵 为行阶梯形矩阵A2413200解1242432131000rA23 1120507r A行最简形矩阵特点 首先它是阶梯形矩阵，其次，它的每个非零首元元素为 且其上方都为 .10求法

14、 先化 为行阶梯形矩阵，再经过行初等变换，化每个非零首元为 且其上方都A为 （这应该是从下面的非零首元开始化起，计算量会少！）0例 9 化例 8 的矩阵 为行最简形矩阵解 接例 8 的解1 1222300715rArA等价标准形矩阵特点 左上角为单位矩阵，其余元素全为 ，即 （或 或00rED(,)r或 ）.0rEr求法 第 步化为行阶梯形矩阵，接着第 步化为行最简形矩阵，最后第 步，经过列123初等变换，化每个非零首元所在行后面全为 ，再将非零首元换到左上角.0例 10 化例 8 的矩阵 为等价标准形矩阵A解 接例 9 的解10102 02354ccErDA习题 3化下列矩阵 为行阶梯形矩阵

15、、行最简形矩阵、等价标准形矩阵（1） （2）24018536A14501036274A四、矩阵逆、秩、秩子式的计算矩阵求逆方法： 对 进行行初等变换，把 化成行最简形 就行了，,AEAE后面的 就变成了 .E1例 11 用行初等变换方法求 ，其中12031解 12321010,30325rAE3221340190131r r1492031r故 .142931A这个方法在不知 可逆时，当对 进行行初等变换，不能把 化成以 为行最A,AEAE简形时，即在化行阶梯形时，某个剩下的子块（以及开始的 ）中前面有零列，这时的非零首元不能在对角线上，这时就已经说明 不可逆了.矩阵的秩与秩子式概念定义 3 在

16、 型矩阵 中，任取 行与 列（ ） ，这些行列交叉位置的mnAk,kmn元素按原来在 中的相对位置排成的 阶行列式称为 的一个 阶子式.A型矩阵的 阶子式共有 个.kkmnC定义 4 非零矩阵 中，不等于 的最高阶子式称为 的秩子式.秩子式的阶数称为0的秩，记作 ，也记作 等等，并规定，零矩阵的秩 ，零A()r,()()Ara(0)r矩阵没有秩子式.例 2 按定义求矩阵 的秩和秩子式，.10243A解 为 型， 阶子式 ，A30阶子式 都是 的秩21012042,4,6,12033A子式， ， ，此外， 中还有 个 阶子式全都等于 .()rAA25C求矩阵的秩和秩子式的方法定理 3 矩阵经初等

17、变换后，其秩不变；非零矩阵经行初等变换后，其秩子式的列位置不变；非零矩阵经列初等变换后，其秩子式的行位置不变.求 的秩的方法： 化 为行阶梯形，非零首元的个数就是 的秩.AAA求 的一个秩子式的方法： （两次行阶梯形方法）化 为行阶梯形，非零首元的列号对应的 的列按原来次序排成矩阵 ，再化 为行阶梯形，这时非零首元的列号在ttTA中确定的子式就是 的一个秩子式 .t例 12 求 的秩和一个秩子式,A203624187A解 3132206012410408677r rA432010623r为非零首元,共 个 ,故 ,非零首元 位于第 列,故2,434()4rA2,41325中第 列排成矩阵A15

18、,2034187At132344220 12800643 87rrTtA341026r非零首元 位于第 列,故 中第 行的子式 为 的一个1,261,234At1,2342034187A秩子式.习题 41. 用行初等变换方法求 ，其中1A；23542. 用定义求矩阵 的秩和秩子式，.012346A3. 用行阶梯形求 的秩和一个秩子式A120314五、矩阵秩的性质及矩阵等式证明的满秩方法（等价标准型的应用）若 中有 阶非零子式，则 ；反之，若 中所有 阶子式全都等于 ，从而Ak()rAkAk0.于是， 的秩 的充分必要条件是： 中至少有一个 阶子式不等()r0r于 ，且所有 阶子式（如果存在的话

19、）全都等于 .01r0很显然， 型矩阵 的秩满足： .mn()min(,)r对于 阶方阵， 即 为可逆矩阵，而 ，就意味着 不可逆.()rAAA矩阵经初等变换后，其秩不变.从而对于可逆矩阵 总成立 ,PQ()()(rrPQr性质 6 矩阵秩的分块性质 ()(,)()ArABrrB注 这里共有 个不等式.证 设 的等价标准型为 ，则有可逆矩阵 和 ，使0,()rErPQ，从而0rEPAQ 1200(,)(,)(,)0 rEBQBPABPAE其中 .12P由 已有 个非零首元了，故 的秩 .由于 也是120rEBr120rBr0QE可逆矩阵知 ，即 的秩 前一块 的秩.(,)()A,)ABA又由

20、及 为可逆矩阵知 （0,EB0E(,)(,)(rBArB为 的前一块） .(,)再由 .(,)()()TTTArrABrArBB最后再根据 的秩为前非零首元个数 后面 中非零首元个数120rEBr2B.及 ，就得到2()rB122()()rPr，2,AAB.()()TTrrrB性质 7 矩阵秩的运算性质 ()TrA 时，0k()krA ()r ()ABr 为 型， 为 型时，mns()()()rABnrArB *()()110 nrnr证 是显然的.由 及 为可逆矩阵，得(,)(,)EABAB0E.),(rrrr仿性质 6 的证明，设 ，从而，0,)rPQA 10rEPBQB为 行，于是112

21、20,rBBEr11()()0rAPr，而 .由 为 行知()()TTBArBrB2()nrA（请思考此不等式！）112()()BrnrA再由 就得到112()BQ.112()()()rABnrrArB当 时， ，故 ；()*0*0当 时， ， 可逆， ，由 得 ；rn1()rn*1A*()rn当 时，一方面， 有元素的代数余子式不等于 ，从而 ，即()1AA0O；另一方面， ，由上面已证的得*r*0,0E，* *0()()(1)()1rrnrAnr即 ，所以 .（这个证明应用的是矩阵乘积秩的性质，请大家自已给出*()1A1另外一个应用齐次线性方程组基础解系性质的证明方法。 ）矩阵秩的应用最后

22、，我们给出矩阵秩的一个应用.对于矩阵 的矩阵方程,mnsAB,其中 为 矩阵XBns称 为其增广矩阵 .(,)对 作行初等变换与 的同解变形是一致的. 因此，由行阶梯形可知，当ABA时， 无解.(,)(rX当 时，化 为行最简形 ，于是 与,)rn(,)B10nEB0AX同解，从而 为唯一解.1EXB1当 时，化 为行最简形，不妨设非零首元位于前 列，则(,)(rArn(,)Ar行最简形为 ，于是 与 同解，从而当 任10r0X12,rXEB2XC意取值时， 为无穷多解.1122XBAC这就证明了矩阵方程 的解只可能是无解、有唯一解和有无穷多解三种情形之一，而矩阵秩 和 的关系也只可能是 、

23、和(,)r(,)(rAB,)(rABn三种情形之一.于是，我们就有了如下定理：(,)rABn定理 4 无解的充分必要条件是 ；X(,)(r 有唯一解的充分必要条件是 ；ABn 有无穷多解的充分必要条件是 .AB(,)(rr而 总有零解 ，因此有如下的推论：XO推论 2 仅有零解的充分必要条件是 ；()n 有非零解的充分必要条件是 .rA矩阵等式证明的满秩方法推论 2 的给出了矩阵等式证明的满秩方法：如果 为 型矩阵， ，且 , 则 .Amn()rnXY如果 为 型矩阵， ，且 , 则 .AmA例 13 设 为 型矩阵且 ， 都是方阵，满足 ，P()rP,B()PBAE试证明： 都是可逆矩阵且 .,AB1BE证 由 为 型矩阵且 及 ，根据满秩方法得mn()rn()AE一方面，从上式得 ,又知 是方阵，这说明矩阵 可逆.()ABEA另一方面，在上式两端，左乘 ，右乘 ，得 ，从而1B,又知 是方阵，这说明矩阵 可逆，且 .()BAE 1E习题 5设 为 型矩阵且 ， ，试计算矩阵Pmn()rPm12, mAdiagaX使 .()AXPE