1、四边形四边形以及由它衍生出来的平行四边形、矩形、菱形、正方形与梯形一、知识总结与梳理（一）四边形的“全家福”（二）知识要点1、平行四边形（1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）平行四边形的性质平行四边形的邻角互补，对角相等；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积；两平行线间的距离处处相等（3）平行四边形的判定方法定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；判定方法 1：两组对角分别相
2、等的四边形是平行四边形；判定方法 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；判定方法 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；判定方法 4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形2、矩形（1）矩形的定义有一个内角是直角的平行四边形是矩形（2）矩形的性质具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形；又是中心对称图形，还是旋转对称图形；（3） 、矩形的判定方法定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；判定方法 1：有三个角是直角的四边形是矩形；判定方法 2：对角线相等的平行四边形是矩形3、菱形（1）菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（2）菱形的性质具有
3、平行四边形的一切特征；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形（3）菱形的判定方法定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；判定方法 1：四条边都相等的四边形是菱形；判定方法 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、正方形（1）正方形定义有一组邻边相等并且有一个角的平行四边形叫做正方形；正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；既是矩形又是菱形的四边形是正方形（2）正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切特征边四边相等、邻边垂直、对边平行；角四角都是直角；对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；是轴对称
4、图形，有 4条对称轴 （3）正方形的判定方法：根据定义；一组邻边相等的矩形是正方形；一个角是直角的菱形是正方形5、梯形（1）梯形的定义；（2）梯形的性质及其判定；梯形是特殊的四边形所具有四边形所具有的一切性质，此外它的上下两底平行一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形，但要判断另一组对边不平行比较困难，一般用一组对边平行且不相等的四边形是梯形来判断（3）等腰梯形的性质和判定： 性质：等腰梯形在同一底边上的两个内角相等，两腰相等，两底平行，两对角线相等，是轴对称图形，只有一条对称轴（底的中垂线就是它的对称轴）判定方法：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线
5、相等的梯形是等腰梯形（4）直角梯形有一个角是直角的梯形叫做直角梯形（ 5）解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：“作高”：使两腰在两个直角三角形中“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中“廷腰”：构造具有公共角的两个三角形“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形几种特殊四边形的特征边 角 对角线 对称性平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平 分且相等 轴对称中心对称菱形 对边平行四边都相等 对角相等两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角轴对称中心对称正方形 对
6、边平行四边相等 四个角都是直角两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角轴对称中心对称等腰梯形 两底平行两腰相等 同一底上的两个角相等 两条对角线相等 轴对称二、典型例题解析例 1 如图，已知平行四边形 ABCD，AE 平分DAB 交 DC 于 E，BF 平分ABC交 DC 于 F，DC=6cm，AD=2cm ，求 DE、EF 、FC 的长例 2 如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AD5，AB 7，BC 12，求B 的度数例 3 如右图，在矩形 ABCD 中，AB=20cm，BC=4cm，点 P 从 A 开始沿折线 ABCD 以 4cm/s 的速度运动，点 Q 从 C 开始沿 CD
7、边 1cm/s 的速度移动，如果点 P、Q分别从 A、C 同时出发，当其中一点到达点 D 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，t 为何值时，四边形 APQD 也为矩形？例 4 已知梯形 ABCD，如图所示，其中 ABCD，现要求添加一个条件例如ADBC，使梯形 ABCD 是等腰梯形，那么除了 ADBC 外，还可添加一个什么条件，能使梯形 ABCD 是等腰梯形？甲、乙、丙、丁四名同学分别添加了一个条件甲：AB；乙：B D180；丙AD ；丁：梯形是轴对称图形你认为哪些同学的条件符合要求？理由是 你能另外添加一个其他的条件，使梯形 ABCD 是等腰梯形吗？例 5 阅读下面操作过程，回答
8、后面的问题：在一次数学实践探究活动中，小强过A，C 两点画直线 AC 把平行四边形 ABCD 分割成两个部分（如图（1） ） ，小刚过 AB，CD的中点画直线 EF，把平行四边形 ABCD 也分割成两个部分（如图（ 2） ） （1）这两种分割方法中面积之间的关系为：S 1_S2，S 3_S4；（2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有_条，请在图（3）的平行四边形中画出一种；（3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？课堂练习一、填空题1、若一个平行四边形一个内角的平分线把一条边分成 2 厘米和 3 厘米的两条线段，则该平行四边形的周长是_厘米或_厘米.2
9、、以不共线的 A、B、C 三点为其中的三个顶点，作形状不同的平行四边形，一共可以作_个.3、若矩形的面积 S=16 cm2,其中一边是 a=2 cm,则另一边 b=_ cm.24、直角三角形斜边上的中线与高线的长分别是 6 cm、5 cm，则它的面积是_ cm 2.5、在ABC 中，ADBC 于 D，E、F 分别是 AB、AC 的中点，连结 DE、DF ，当ABC满足条件_时，四边形 AEDF 是菱形(填写一个你认为恰当的条件即可 ).6、如图，矩形 ABCD 中(AD2)，以 BE 为折痕将ABE 向上翻折，点 A 正好落在 DC 的A 点，若 AE=2，ABE=30，则 BC=_.7、已知
10、直角梯形一条腰的长为 5 cm，它与下底成 30的角，则该梯形另一腰的长为_ cm.8、已知 O 是 ABCD 的对角线的交点，AC=38 mm，BD=24 mm,AD=14 mm，那么BOC的周长等于_.二、选择题1、不能判定四边形 ABCD 为平行四边形的题设是（ ）A.AB=CD,AD=BC B.AB CDC.AB=CD,ADBC D.ABCD,ADBC2、如图， ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，若 AC=8，BD=6，则边 AB 长的取值范围是（ ）A.1AB7 B.2AB 14C.6AB8 D.3AB 43、如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中，不一
11、定正确的是（ ）A.AB=CDB.AC=BDC.当 ACBD 时，它是菱形D.当ABC=90时，它是矩形4、如图(1)所示，用一块边长为 2 的正方形 ABCD 厚纸板，按下面的做法做一套七巧板：作对角线 AC，分别取 AB、BC 的中点 E、F，连结 EF；连结 BD，交 EF 于 G，交 AC 于H；将正方形 ABCD 沿画出的线剪开，现把它们拼成一座桥，如图(2) 所示，这座桥阴影部分的面积是（ ）A.8 B.6 C.4 D.55、正方形的对角线与边长之比为（ ）A.11 B. 1 C.1 D.21226、若四边形 ABCD 中，ABC =124，且D=108，则A+C 的度数等于（ ）
12、A.108 B.180 C.144 D.2167、在梯形 ABCD 中，ADBC，四边形 A B C D 是平行四边形，则AB CD 与A B C D 的值可能分别是（ ）A .2364 和 463 2 B. 3456 和 3434C .4563 和 4343 D. 5234 和 6543三、解答题1、如图，AEBD ，若 AE=5，BD =8，且ABD 的面积为 24，设 C 在直线 BD 上，则ACE 的面积是多少？2、如图，矩形 ABCD 的两对角线相交于点 O，AOD120，AB4cm,判定AOB 的形状；求对角线的长；求距形的面积。3、如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交
13、于点 O，E、F、G 、H 分别是OA、OB、OC、OD 的中点，顺次连结 E、F、G、H 所得的四边形 EFGH 是矩形吗？说明理由。4、如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8。将矩形 ABCD 沿 CE 折叠后，使点 D 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处。求（1）求 EF 的长；（2）求梯形 ABCE 的面积。5、如图，在ABC 中，点 O 是 AC 边上的一个动点，过点 O 作直线 MNBC，设 MN 交BCA的角平分线于点 E，交BCA 的外角ACG 平分线于点 F（1）试说明 EO=FO；（2）当点 O 在边 AC 上运动时，四边形 AECF 会是矩形吗?若是，请证明;若不是
14、，请说明理由6、如图 11，在ABC 中，C=90，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HFDE，HDE=90）的底边 DE 落在 CB 上，腰 DH 落在 CA 上，且DE=4，DEF=CBA，AHAC=23.（1）延长 HF 交 AB 于 G，则AHG 的面积为 . （2）操作：固定ABC，将直角梯形DEFH 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 方向向右移动，直到点 D 与点 B 重合时停止，设运动的时间为 t 秒，运动后的直角梯形为 DEFH（如图 12）. 探究：在运动中，四边形CDHH 能否为正方形？若能， 请求出此时 t 的值；若不能，请说明理由参考答案：一、填空题：1、72
15、0 2、14 16 3、3 4、4 5、30 6、 AB=AC 或 AD 是2BAC 的平分线，或 AD 是 BC 的中线等中的任一个 7、3 8、 9、 2510、45二、选择题：11、C 12、A 13、B 14、B 15、C 16、B 17、B 18、D 19C 20、D 三解答题：21、解：过 A 作 AFBD 交 BD 于 FS ABD =24，BD=8，AF=6又AEBD ，AF 即为ACE 中 AE上的高S ACE = 65=30 =15212122 解：四边形 AFCE 是平行四边形，理由是：设 AC、BD 相交于点 O四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，DAC=BCAA
16、E、CF 分别平分 DAC、BCAEAO= DAC，21FCO= BCAEAO=FCO，AECF在AOE 和COF 中，EAO=FCO，AOE =COF，OA=OCAOECOF，AE =CF又AECF四边形 AFCE 是平行四边形.26、解：（1）AHAC=23，AC =6AH= AC= 6=423又HFDE ，HGCB，AHG ACB1 分 = ，即 = ，HG= 2 分AHCGB468163S AHG= AHHG= 4 = 3 分122（2）能为正方形4 分HHCD，HCH D，四边形 CDH H 为平行四边形 又C=90 ，四边形 CDH H 为矩形5 分又 CH=AC-AH=6-4=2当 CD=CH=2 时，四边形 CDH H 为正方形此时可得 t=2 秒时，四边形 CDH H 为正方形
