1、1第一章 证明（二）复习一、本书作为证明的公理：1、平行线的性质公理：两直线平行，同位角相等。2、平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行。3、SAS 4、ASA 5、SSS6、全等三角形的性质公理：全等三角形的对应边相等，对应角相等。7、等式的性质：（基本性质 1，2；等量代换等）8、不等式的性质：9、两点确定一条直线10、两点之间，线段最短二、等腰三角形：1、定义： 2、性质：（1）等边对等角 已知：求证：证明：（2）等腰三角形三线合一（为什么？）还有很多，如：a) 等腰三角形两腰上的高相等。b) 等腰三角形两腰上的中线相等。c) 等腰三角形两底角平分线相等。d) 等腰三角形底边上任一点到
2、两腰的距离和等于一腰上的高。3、判定：（1）定义：（2）等角对等边： 经典课本练习已知：如图，AD 是ABC 的角平分线，且 BD=CD，求证：AB=AC4、等边三角形：（1）定义：（2）已知：如图，ABC 是等边三角形，点 M、N 分别在BC、AC 上，且 BM=CN，AM 与 BN 相交于点 O，求BOM 的度数。（3）如图，点 B、C、E 在同一直线上，ABC 和DCE 都是等边三角形，AE 与 BD相交于点 Q，AC、BD 相交于点 M，AE 与 CD 相交于点 N。求证：a) BCD ACEb) ACNBCM，DCMECNc)AQB=60 Od) MCN 是等边三角形三、直角三角形1
3、、定义：2、性质：（1）两锐角互余（2）勾股定理（3）30 o 角所对的直角等于斜边的一半（4）斜边上的中线等于斜边的一半a)三个正方形如图放置，面积分别为 S1、S 2、S 3，则 S1、S 2、S 3 之间的关系为 _。b)如图，AC 为正方形 ABCD 的对角线，DEAC，且 CE=AC，求ACE 的度数。c)如图， BE、CD 是ABC 的高，点 O 是 BC 的中点，点 G 是 DE 的中点，求证：OGDEd)如图，在ABC 中，AB=AC，BAC=90 o，点 D 为 BC 的中点，点 E、F 分别在2D CBAAB、AC 上，且 DEDF ，求证：DE=DF四、线段的垂直平分线1
4、、定义：2、性质定理：（1）在ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D若BAC=80 o，求ADC 的度数若 AB=a，BC=b，求ADC 的周长（2）已知：直线 L 与 L 同侧的 A、B 两点用直尺和贺圆规在 L 上求作点 P，使 PA=PB（3）已知直线 L 和 L 异侧两点，A 、B，在直线上求一点 P，使 PA+PB 最小。（4）已知直线 L 和 L 同侧两点 A、B，在直线 L 上求一点 P，使 PA+PB 最小。（5）5P 31 做一做。（6）已知线段 a、b，求作：菱形 ABCD，使 AC=a，BD=b（7）已知线段 a、b、h，求作：等腰梯形 ABCD，
5、使 ADBC ，AD=a，BC=b，高AH=h。3、判定定理：已知：如图 AB=AC，DB=DC，点 P 在直线 AF 上。求证：BF=CF五、角平分线1、定义；尺规作法2、性质定理：（1）如图，在梯形 ABCD 中， ADBC，A=B=90 o，ADC 和BCD 的平分线交于点 E，且点 E 在 AB 上。求证：DC=AD+BC若A90 o，上面的结论还成立吗？若成立请给出证明。（2）如图，AD 是ABC 的角平分线，且 AB=AC+CD求证：C=2B3、判定定理：联想3四边形第一节 平行四边形考点导航1平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做_2平行四边形的性质(1)平行四边形的_相等
6、，_相等(2)平行四边形的对角线互相_(3)平行四边形是_对称图形3平行四边形的判定(识别)(1)定义：两组对边分别_的四边形是平行四(2)两组对边分别_的四边形是平行四边形(3)两条对角线_的四边形是平行四边形(4)一组对边_的四边形是平行四边形(5)两组对角分别_的四边形是平行四边形考点例析1、如图， ABCD 的对角线相交于点 O，且ABBC ，过 O 点作 OEAC 交 BC 于 E，如果ABE 的周长为 b，那么 ABCD 的周长是( )Ab B1.5b C2b D3b2、如图所示， ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 的中 点求证：(1) AFD CEB；(2)四边形 AEC
7、F 是平行四边形3、如图，在 ABCD 中，点 E、F 是对角线 AC 上两点，且 AE=CF.求证：EBF=FDE4、如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AB /C 和ABC 关于 AC 所在的直线对称，AD 和B/C 相交于点 O，连接 BB/.(1)请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母） ；（2）求证：AB /OCDO5、如图，在 ABCD 中，AB=6，AD=9，BAD 的平分线交 BC 于点 E，交 DC 的延长线于点 F，BGAE，垂足为G，BG=4 ，则CEF 的周长为（ ）2A8 B9.5 C10 D11.56、请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形
8、 ABCD 是平行四边形，并予以证明（写出一种即可）关系：ADBC AB=CD A=CB+C=180 o已知：在四边形 ABCD 中，_；求证：四边形 ABCD 是平行四边形第二节 矩形、菱形和正方形考点导航1矩形的基本性质(1)具有_所有的性质； (2)矩形的四个角都是_；(3)矩形的对角线_ ； (4)矩形既是_对称图形，又是_对称图形2菱形的基本性质(1)具有_所有的性质； (2)菱形的_相等；(3)菱形的两条对角线_，每条对角线_ ；4图 4 图 5(4)菱形既是_对称图形，又是_ 对称图形3正方形的基本性质(1)正方形具有平行四边形、_、_ 的所有性质；(2)正方形的四个角都是_，四
9、条边都_ ；(3)正方形的两条对角线_，并且互相_ ，每条对角线平分_；(4)正方形既是_对称图形；又是_ 对称图形 4矩形的判定(识别)(1)两条对角线_的平行四边形是矩形；(2)有一个角是_的平行四边形是矩形；(3)_是直角的四边形是矩形5菱形的判定(识别)(1)_的平行四边形是菱形； (2)_都相等的四边形是菱形；(3)对角线_的平行四边形是菱形；(4)对角线互相垂直且_的四边形是菱形6正方形的判定(识别)(1)有一组邻边相等，并且有_的平行四边形是正方形；(2)有一组_的矩形是正方形；(3)有一个角是_- 的菱形是正方形；(4)对角线_的矩形是正方形；(5)对角线_的菱形是正方形考点例
10、析：1、 如图，矩形 ABCD 中，AB=8cm ，CB=4cm，E 是 DC 的中点，BF= BC，则四边形 DBFE 的面积为_。42、如图，在ABC 中，点 D、E、F 分别在边 BC、AB、 CA 上，且 DECA，DFBA，下列四种说法：四边形 AEDF 是平行四边形；如果BAC90 o，那么四边形 AEDF 是矩形；如果 AD 平分BAC，那么四边形 AEDF 是菱形；如果 ADBC 且 ABAC，那么四边形 ACDF是菱形其中，正确的有_( 只填写序号)3、如图，四边形 ABCD 是正方形点 E 是边 BC 的中点 AEF90 o，且 EF 交正方形外角DCG 的平分线 CF 于
11、点 F求证：AEEF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则AMEC ，易证AMEECF，所以 AEEF 4、如图 4，正方形纸片 ABCD 的边长为 8，将其沿 EF 折叠，则图中四个三角形的周长之和为_。5、如图 5，将矩形 ABCD 纸片沿 EF 折叠，使 D点与 BC 边的中点 D/重合，若 BC8，CD6，则 CF=_6、四边形 ABCD 中，E、F 、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点(1)请判断四边形 EFGH 的形状?并说明为什么(2)若使四边形 EFGH 为正方形，那么四边形ABCD 的对角线应具有怎样的性质?7、若从矩形一边上
12、的点到对边的视角是直角，则称该点为直角点如图所示的矩形 ABCD 中，点 M 在 CD 边上，连 AM、BM，AMB90 o，则点 M 为直角点(1)若矩形 ABCD 一边 CD 上的直角点 M 为中点，问该矩形的邻边具有何种数量关系?并说明理由；(2)若点 M、 N 分别为矩形 ABCD 边 CD、AB 上的直角点，5且 AB4，BC ，求 MN 的长38、如图，把一张矩形纸片(矩形 ABCD)按如图方式折叠，使顶点 B 和点 D 重合，折痕为 EF若 AB=3 cm，BC=5 cm，则重叠部分DEF 的面积是_cm29、在边长为 2cm 的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，
13、点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB、PQ，则PBQ 周长的最小值为 _cm(结果不取近似值) 10、四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形，点 G，E 分别是边 AB、BC 的中点，AEF90 o，且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F(1)证明：BAEFEC(2)证明：AGEECF(3)求AEF 的面积第三节 梯形考点导航1等腰梯形的性质(1)等腰梯形同一底上的_相等(2)等腰梯形的两条_相等2梯形中位线的性质梯形的中位线_，并且等于上、下两底和的_。3等腰梯形的判定(识别)(1)两腰_的梯形是等腰梯形(2)同一底上的两个角_的梯形是等腰梯形(3)对角线_的梯形是等腰梯形
14、4梯形的面积；梯形的中位线长度_。考点例析：1、 如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，ADBC，对角线ACBD ，垂足为 O若 CD3，AB5，则 AC 的长为( )A4 B4 C3 D22 52、如图，已知在梯形 ABCD 中，DCAB，ADBC，BD 平分ABC ，A60 o(1)求ABD 的度数；(2)若 AD2，求对角线 BD 的长3、如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABDE，AF DC，E、F 两点在边 BC 上，且四边形 AEFD 是平行四边形(1)AD 与 BC 有何等量关系? 请说明理由；(2)当 ABDC 时，求证： AEFD 是矩形4、如图，在等腰梯形 ABCD 中，ACBD，AC6 cm，则等腰梯形 ABCD 的面积为_cm25、在等腰梯形 ABCD 中，C60 o，ADBC，且 ADDC，E、F 分别在 AD、DC 的延长线上，且 DECF ，AF 、BE 交于点 P（1）求证：AF=BE（2）请你猜测BPF 的度数，并证明你的结论。
