1、中国地质大学（北京）继续教育学院 2012 年 09 课程考试第 1 页（共 4 页）微积分二模拟题（开卷） 一 计算题1. 求定积分:解:2. 分别绕 x轴与 y轴旋转产生的旋转体的体积。解:作椭圆图形，由于图形与坐标轴对称，故只考虑第一象限内的曲边梯形绕坐标轴旋转所产生的旋转体的体积.椭圆绕 x轴旋转产生的旋转体的体积3解：4 求 的偏导数。yxyxz2422)3(解：.ln51xd 45lnlnll )(n)( 1551515 xdxxx 例 1 求 椭 圆 22bya 例1 20320202 4)()( abxabdxabdyVax (2)椭圆绕 y轴旋转产生的旋转体的体积 badyd
2、yxVy 202202 34)(的 收 敛 半 径 和 收 敛 域 。求 级 数 123)(nnx.31,)(31 ).31,(31,3 3limli1221 径 为因 此 ， 原 级 数 的 收 敛 半 是 收 敛 的 交 错 级 数 ，时 ， 原 级 数当 ， 收 敛 区 间 为径因 此 ， 原 级 数 的 收 敛 半 时 ， 原 级 数 发 散 。即时 ， 原 级 数 收 敛 ； 当即当直 接 利 用 比 值 判 别 法 ： nxRxxnunn)3ln()3(2)3)(24( ln)3ln()3(4)3)(24(6 ln62426ln,224142 2242124 1yxyxyxyx u
3、vuzuzy yxyxyxyx uvuzuz yvxvyxvz uzuzvu yxyxvyxyxv 则 ， 可 得， 则设中国地质大学（北京）继续教育学院 2012 年 09 课程考试第 2 页（共 4 页）5计算 ， 其中区域 D是 所围成的区域。解：6. 求定积分:解：7. 求不定积分解: 令 ,arctnxu8. 判定 级数的 敛散性.p解：(1)当 p1 时， 由 发散，所以级数 发散当 p1时，它的各项均不大于级数Ddxy2 2xy与,10|),(2x 0631022 401)(ddyxdxyDD21.dxadxa21)(dxa121Cxa|ln|l C|lndvx2dxt )(ar
4、ctnta2 dxx221arctnxx)1(arcn22 .)t(1t2 C ppnpn31,1n1n pppppn 158716541321 ppppp.rtad中国地质大学（北京）继续教育学院 2012 年 09 课程考试第 3 页（共 4 页）的对应项，而后一级数是几何级数，公比所以收敛，因此，级数 收敛.9. 判定级数 的敛散性.解：故：当| x|1时，级数发散；当 x=1, -1时，一般项不趋于 0, 发散。10.计算函数 在点 处的全微分.xyez)1,2(解:所求全微分11求微分方程 的通解.xyd解: 分离变量得两边积分得即( C 为任意常数 )二. 证明题1. 证明 不存在
5、12pq1np1nx，由 于 xnunn 1limlilim1,xy,xyez,2)1,(exz,2)1,(eyz.2ezxy)1()(lnl11为 任 意 常 数其 中 CCexy1令xy2630limyxy中国地质大学（北京）继续教育学院 2012 年 09 课程考试第 4 页（共 4 页）证: 取 其值随 k的不同而变化，故极限不存在2. 求证证:,3kxy2630limxy626303likxy,12k5)3(lim)2,1),( yxyx0故 恒 成 立 ，时 ， 就 有故 ， 当再 由由 5)3()2()1(02)()(1 213235)3(22 yxyxyyxx yxy5)(li),1),( yyx
