1、2019/4/28,简单的线性规划问题,2019/4/28,新知探究：,1、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义,（1）二元一次不等式：,含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式；,（2）二元一次不等式组：,由几个二元一次不等式组成的不等式组；,（3）二元一次不等式的解集：,满足二元一次不等式的有序实数对(x，y)构成的集合；,问题1：在平面直坐标系中，x+y=0 表示的点的集合表示什么图形？,x-y+10 呢？,x+y0 呢?,x+y0 呢?,3、在直线的右上方的平面区域内。,2、在直线的左下方的平面区域内。,在平面直角坐标系中，所有的点都被直线 x + y = 0（如图所示）分成
2、三类：,Y,O,X,1、在直线上。,2019/4/28,例1：画出不等式 x + 4y 4表示的平面区域,(2)（直线定界）:先画直线x + 4y 4 = 0（画成虚线）,(3)（特殊点定域）:取原点（0，0），代入x + 4y - 4，得 0 + 40 4 = -4 0,(4)（取舍）所以原点在x + 4y 4 0表示的平面区域内，不等式x + 4y 4 0表示的区域如图所示。,解： (1)（化成标准式） x + 4y 4 0,例1、画出 x+4y4 表示的平面区域,（1）x +4y4,（2）x-y-40,（3）x-y-40,y 3x+12 x2y,的解集.,例2、用平面区域表示不等式组,0
3、,x,y,3x+y-12=0,x-2y=0,4,8,4,8,12,分析：不等式组表示的平面区域 是各不等式所表示的平面点集的 交集，即为各个不等式所表示 的平面区域的公共部分。,2019/4/28,练习1、 将下列图中的平面区域（阴影部分）用不等式出来（图（1）中的区域不包含y轴）,解,(1) x0,(2) x+y0,(3) 2x+y4,注意：二元一次不等式Ax+By+C0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。,由于对直线同一侧的所有点 (x,y)，把它 代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ，从Ax0
4、+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C0表示哪一侧的区域。,一般在C0时，取原点作为特殊点。,2019/4/28,应该注意的几个问题：,1、若不等式中不含0，则边界应画成虚线，,2、二元一次不等式表示平面区域的判断方法： “直线定界、特殊点定域”,否则应画成实线。,确定步骤： _、_ 若C0，则 _、_.,直线定界,特殊点定域,直线定界,原点定域,2019/4/28,课堂练习2：,1、不等式x 2y + 6 0表示的区域在直线x 2y + 6 = 0的（ ）,（A）右上方 （B）右下方 （C）左上方 （D）左下方,2、不等式3x + 2y 6 0表示的平面区域是（ ）,B,D,2019/4
5、/28,课堂练习2：,3、不等式组,B,表示的平面区域是（ ）,2x+y-60,x + y + 2 0,x + 2y + 1 0,2x + y + 1 0,由图知：平面区 域是边长为 的 正方形。, S = 2,2019/4/28,简单的 线性规划问题,2019/4/28,练习题.,1.在同一坐标系上作出下列直线:,2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7,x,Y,o,2019/4/28,2.作出下列不等式组的所表示的平面区域,2019/4/28,y,2019/4/28,一、提出问题,设z=2x+y,求满足,时,z的最大值和最小值.,2019/4/28,y,直线L
6、越往右平移,t随之增大.,以经过点A(5,2)的直线所对应的t值最大;经过点B(1,1)的直线所对应的t值最小.,线性规划,问题： 设z=2x+y，式中变量满足 下列条件：求z的最大值与最小值。,目标函数 （线性目标函数）,线性约 束条件,任何一个满足不等式组的（x,y）,可行解,可行域,所有的,最优解,线性规划问题,2019/4/28,讲授新课,1. 上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又叫线 性约束条件.,线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也用一次方程表示.,2019/4/28,讲授新课,2. 欲求最大值或最小值的函数z=2x
7、+y叫做目标函数.由于 z=2x+y又是x、y的一次解析式，所以又叫线性目标函数.,3. 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.,2019/4/28,讲授新课,4. 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解. 5. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 6. 使目标函数取得最大值或最小值的可行解，它们都叫做这个问题的最优解.,线性规划,练习1: 解下列线性规划问题：求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下 列条件：,2x+y=0,2x+y=-3,2x+y=3,答案：当x=-1,y=-1时，z=2x+y有最小值3.,当x=2,y=-1时，z=2
8、x+y有最大值3.,2019/4/28,作出直线l0:2x+y=0，再将直线平移，当l0平行线l1过A点时，可使z=2x+y达到最小值，当l0平行线l2过B点时，可使z=2x+y达到最大值.,讲授新课,解：先作出可行域，见图中ABC表示的区域, 且求得,zmin=2(1)+(1)=3， zmax=22+(1)=3.,线性规划,例2 解下列线性规划问题：求z=300x+900y的最大值和最小值，使式中x、y满足下列条件：,x+3y=0,300x+900y=0,300x+900y=112500,答案：当x=0,y=0时，z=300x+900y有最小值0.,当x=0,y=125时，z=300x+90
9、0y有最大值112500.,2019/4/28,讲授新课,解答线性规划问题的步骤：,第一步：根据约束条件画出可行域； 第二步：令z0，画直线l0； 第三步：观察，分析，平移直线l0，从而找到最优解； 第四步：求出目标函数的最大值或最小值.,2019/4/28,例3.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三 种规格, 每张钢板可以同时截得三种规格的小 钢板的块数如下表所示：,今需要A、B、C三种成品分别是15、18、27块， 问各截这两种钢板多少块可得所需三种规格成 品，且使所用钢板张数最少.,规格类型,钢板类型,2.用量最省问题,讲授新课,2019/4/28,讲授新课,解：设需截第一种钢板x张，
10、第二种钢板 y张，则,作出可行域：,目标函数为zxy,2019/4/28,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,2019/4/28,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,2019/4/28,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,2019/4/28,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,2019/4/28,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,2019/4/28,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,2019/4/28,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18
11、,28,16,2019/4/28,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,2019/4/28,讲授新课,y,x,O,2,2,4,8,8,18,28,16,2019/4/28,在可行域内找出最优整数解问题的一般方法是：,3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网络、找整点、平移直线、找出整数最优解。,调整优值法,打网格线法,1.若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）,2.若区域“顶点”不是整点或不包括边界时，应先求出该点坐标，并计算目标函数值Z，然后在可行域内适当放缩目标函数值，使它为整数，且与Z最接近，在这条对应的直线中，取可行域内整点
12、，如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止,2019/4/28,【例1】画出不等式组 表示的平面区域,并回答下列问题:(1)指出x,y的取值范围;(2)平面区域内有多少个整点?,思维启迪 (1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的 平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 ,但要注意是否包含边界.(2)整点是指横、纵坐标均为整数的点. 解 (1)不等式x-y+50表示直线 x-y+5=0上及右下方的点的集合.x+y0 表示直线x+y=0上及右上方的点的集合 ,x3表示直线x=3上及左方的点的集合.,2019/4/28,所以,不等式组 表示的平面区域如图所示. 结合图中可
13、行域得 (2)由图形及不等式组知 当x=3时,-3y8,有12个整点; 当x=2时,-2y7,有10个整点; 当x=1时,-1y6,有8个整点; 当x=0时，0y5，有6个整点； 当x=-1时,1y4,有4个整点;,当x=-2时,2y3,有2个 整点;平面区域内的 整点共有 2+4+6+8+10+12=42个.,2019/4/28,【例4】实数x,y满足（1）若 求z的最大值和最小值，并求z的取值范围； （2）若z=x2+y2，求z的最大值与最小值,并求z的取值范围.(1) 表示的是区域内的点与原点连线的斜率.故 的最值问题即为直线的斜率的最大值与最小值. （2）z=x2+y2的最值表示的是区
14、域内的点与原点的两点 距离的平方的最大值、最小值.,解题思路,2019/4/28,解 作出可行域如图阴影部分所示.表示可行域内任一点与 坐标原点连线的斜率， 4分 因此 的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率 (OA斜率不存在）.zmax不存在，zmin=2, z的取值范围是2，+）. 7分,2019/4/28,(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点的两 点间距离的平方. 9分 因此x2+y2的范围最小为|OA|2（取不到），最大为 |OB|2. 由 得A(0，1)， |OA|2=02+12=1，|OB|2=12+22=5. zmax=5，z无最小值. 故z的取值范围是（1，5.
15、 12分,2019/4/28,5.已知实数x，y满足 则z2xy的最小值 是 1 .,解：由约束条件画出x，y满足的可行域，得三个点A(2,0)，B(5,3)，C(1,3)，当目标函数过点C(1,3)时z取得最小值.,2019/4/28,已知实数x，y满足 (1)若z2xy，求z的最大值和最小值. (2)若zx2y2，求z的最大值和最小值； (3)若z ，求z的最大值和最小值.,2019/4/28,解：不等式组 表示的平面区域如图所示. 图中阴影部分即为可行域. 由 得 A(1,2)； 由 得 B(2,1)；,2019/4/28,由 得 M(2,3).,(1)z2xy，y2xz， 当直线y2x
16、z经过可行域内点M(2,3)时，直线在y轴上的截距最大，z也最大，此时 zmax2237. 当直线y2xz经过可行域内点A(1,2)时，直线在y轴上的截距最小，z也最小，此时 zmin2124. 所以z的最大值为7，最小值为4.,2019/4/28,(2)过原点(0,0)作直线l垂直于直线xy30，垂足为N，则直线l的方程为yx， 由 得 N( )， 点N( )在线段AB上，也在可行域内. 此时可行域内点M到原点的距离最大，点N到原点的距离最小.,2019/4/28,又|OM| ，|ON| ， 即 ， x2y213， 所以，z的最大值为13，z的最小值为 . (3)kOA2，kOB ， 2，
17、所以z的最大值为2，z的最小值为 .,2019/4/28,解：不等式组表示的平面区域 如图所示.A(0， )，B(1,1)，C(0,4). SABC |AC|h,答案：C,1.(2009安徽高考)不等式组 所表示的平面区域 的面积等于 ( )A. B.C. D.,2019/4/28,2.(2009宁夏、海南高考)设x、y满足 则zxy ( )A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值,2019/4/28,解析：不等式组 的平面区域为如图的阴影区域.xy在点A(2,0)处取最小值为2，无最大值.,答案：B,2019/4/28,3.若实数x，
18、y满足 且x2y2的最大值等于34， 则正实数a 的值等于 ( )A. B.C. D.,2019/4/28,解：在平面直角坐标系中画出已知不等式组所表示的平面区域MPA(如图所示)，其中直线axya0的位置不确定，但它经过定点A(1,0)，斜率为a.,2019/4/28,又由于x2y2( )2，且x2y2的最大值等于34， 所以平面区域MPA中的点到原点的最大距离等于 ， 又M( ，3)，OM ， 所以点P( 1,3)到原点的距离最大， 故有( 1)2934，解得a .,答案：B,2019/4/28,解析：由两点式得直线AB、BC、CA的方程并化简为： 直线AB：x2y20，直线BC：xy40
19、， 直线CA：5x2y20. 原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组 为,4.如图，ABC中，A(0,1)，B(2,2)， C(2,6)，则ABC区域所表示的二元一次不等式组为 .,2019/4/28,答案： A,2019/4/28,解析：作出可行域为如图 所示的三角形由t2yx知 过A(1,1)时t取得最大值为1.,答案： B,2019/4/28,4写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是 _,2019/4/28,解析：点(x，y)在如图所示的阴影三角 形中，将z视为直线z5xy在y轴上的 截距，显然直线z5xy过点A(1,0)时， z最大，
20、zmax5105.,答案：5,2019/4/28,答案 B,自主解答 画出可行域如图阴影部分表示直线2xy100过(5,0)点，故只有1个公共点(5,0),2019/4/28,答案： D,解析：如图，作出不等式组表示的可 行域，显然当直线z12x3y经过点 C(1,2)时取得最大值，最大值为a 21328，当直线z23x2y经过点B(0,1)时取得最小值，最小值为b0212，故ab826.,2019/4/28,例3 (2011四川高考)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，
21、派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ( ) A4 650元 B4 700元 C4 900元 D5 000元,2019/4/28,2019/4/28,答案 C,2019/4/28,2019/4/28,2019/4/28,2019/4/28,解：作出可行域如右图中的阴影部分ABC，图中各点的坐标分别为A(4,0)，B(3,4)，C(0,3)，D(1,1)由图可知x2y2的最小值是原点到直线AC：3x4y120的距离的平方，最大值是线段OB的长度的平方；,2019/4
22、/28,2019/4/28,利用线性规划解决实际问题,【例3】 某厂拟生产甲、乙两种试销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元甲、乙产品需要在A、B两种设备上加工，在每台设备A、B上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A、B两种设备每月有效使用时数分别为400和500，如何安排生产可使收入最大？,2019/4/28,2019/4/28,2019/4/28,讲授新课,解题的一般步骤：,1.设立所求的未知数； 2.列出约束条件； 3.建立目标函数； 4.作出可行域； 5.运用图解法，求出最优解; 6.实际问题需要整数解时，适当 调整，确定最优解.,
