1、6.6 环,6.6.1 环 的 定 义6.6.2 环 的 性 质,6.6.1 环 的 定 义,设R是一个非空集合, 其中有加“+”、乘“ ”两种 二元代数运算，称（R,+, ）为一个环，如果 1) a+b=b+a， 2) a+（b+c）=（a+b）+c， 3) R中有一个元素0，适合a+0=a， 4) 对于R中任意a,有-a, 适合a+（-a）=0， 5) a （b c）=（a b） c， 6) a （b+c）=(a b)+(a c)，（a+b） c=(a c)+(b c)。,环的例,所有整数在整数的加法与乘法下作成一个环，叫做整数环。 域上的所有n阶矩阵在矩阵的加法与乘法下作成一个环，叫做n
2、阶矩阵环。 域上的所有多项式在多项式加法与乘法下作成一个环，叫做多项式环。 整数模n的所有剩余类集合在剩余类加法与乘法下作成一个环。 所有有理数、所有实数、所有复数在数的加法与乘法下都分别作成环，常称为有理数域、实数域、复数域。,性质1 用数学归纳法，分配律可以推广如下：a（b1+bn）=(ab1) +(abn) ，（a1+am）b= (a1b)+(amb)，,6.6.2 环 的 性 质,环 的 性 质,性质2 a（c-b）=(ac)-(ab)，（c-b）a=(ca)-(ba)。 证明：由a（c-b）+(ab)=a（c-b+b）=ac， 得a(c-b)=(ac)-(ab)。同理，(c-b)a=
3、(ca)-(ba)。 性质3 a0=0，0a=0。 证明：由性质2，令b=c=0，得 a（0-0）=(a0)-(a0)=0，（0-0）a=(0a)-(0a)=0， 即,a0=0，0a=0。,性质4 a（-b）= -（ab）， （-a）b = -（ab），（-a）（-b）=ab。 证明：由性质2，令c=0，即得 a（-b）= -（ab），（-a）b = -（ab）。 因此， （-a）（-b） =-(-a)b)= -（-（ab）=ab。 性质5 对任意整数m，都有 a（mb） = （ma）b = m（ab）。,环 的 性 质,性质6 am+n=aman，（am）n=amn。性质7 在交换环中，有第
4、三指数律：（ab）n=anbn。性质8 在交换环中二项式定理成立： (a+b)n = an + nan-1b + an-2b2 + + bn。 用数学归纳法证明.,环 的 性 质,如果环R不只有一个元素而且有一个元素 1适合对任意a R，1a = a1 = a 则称R为含壹环。 例. 整数环为含壹环，所有偶数在数的加法和乘法下作成的环不是含壹环。,含壹环,性质9 含壹环R的壹是唯一确定的。 证明：若1、1为R的两个壹，则1=11=1。 性质10 设环R有1，则10。 证明：取aR,且a0,则a0=0,而a1=a,故10。 性质11 任意环R均可扩充成一个含壹环R+。 证明：令R+=a+m| a
5、R，mZ。规定： （a+m）+（b+n）=（a+b）+（m+n）; （a+m）（b+n）=（ab+na+mb）+mn。 则R+为环，其壹为0+1。,含壹环性质,定义. 若R是环,S是R的非空子集,若S在R的 加法和乘法下仍是环,则称S是R的子环。 结论：R本身以及0是R的两个平凡子环。 定理6.6.1 环R的子集S作成子环必要而且只要，（1） S非空；（2） 若aS，bS，则a-bS;（3） 若aS，bS，则abS。,子环,对于环来说，若大环有壹，子环未必有壹.如，整数环含1，但其子环偶数环不含1。 即使子环有壹，其壹未必与大环的壹一致.见教材224页矩阵环的例子。,子环与大环的关系,定义.
6、若R是环，a，b R，如果a0， b0，但ab=0，则称a，b为零因子。如 果R没有这样的元素，则说R无零因子。 无零因子的环称为消去环。 例. 整数环是消去环，矩阵环不是消去环， 有零因子。比如，,消去环,性质12 环R是消去环 iff R中消去律成立。 证明：必要性。如果a0,且ab = ac,那么 ab-ac = 0,即 a（b-c）= 0。因环R中无零因子, 而a0,故必有 b-c= 0，即b = c，因此，左消去 律成立，同理可证右消去律也成立。 充分性。设消去律成立，即由a0,ab = ac可 推出b = c。若ab=0,而a0,则ab = a0,因而由 消去律可得 b = 0。故
7、R无零因子,R是消去环。,消去环的性质,性质13 在消去环R中，不为0的元素在加法下的周期相同。 证明： (1) 若不为0的元素在加法下的周期都为0，则得证。 (2) 否则，R中存在非零元素a，a的周期不是0，设为m，即ma = 0。 任取R中非零元b，,消去环的性质,则， a(mb) = (ma)b = 0b = 0， 又由a0，且R无零因子知，mb=0，所以b的周期不是0，设为n，则n|m。另一方面，(na)b=a(nb)=a0= 0，又由b0,且R无零因子知，na=0。而a的周期为m,故m|n。 因此，m=n。 由b的任意性知，在消去环R中，不为0的元素在加法下的周期都与a的周期相同。,
8、消去环的性质,性质14 在消去环R中，不为0的元素在加法下的周期或为0或为质数。 证明：设aR，a0，且a的周期为n，故 na = 0。(1) 若n=0，则得证。 (2) 否则，只需证n是质数。,消去环的性质,用反证法。设n不是质数，则n = n1n2， 且n11， n21。故1n1 n，1n2n。 显然， n1a， n2a R，由a的周期为n知， n1 a0，n2a0。而（n1 a）（n2a） = （n1 n2）（a a）= （na）a = 0 a = 0， 故n1 a，n2a为零因子，与R无零因子矛盾。 因此，原假设不对，n是质数。,消去环的性质,整区 有壹无零因子的交换环。 理解整区定义
9、是含壹环（至少两个元素）、消去环、交换环。想证明(R,+,）是整区，需要证明： （R,+）是Abel群; （R,）是半群，有壹，且交换律、消去律成立（无零因子）;对+有分配律.,整区,例. 整数环、有理数环、实数环、复数环都是整区。例. 实数域上的所有n阶矩阵在矩阵的加法与乘 法下作成的n阶矩阵环不是整区：不是交换环，不 是消去环。例. 整数模4的所有剩余类集合Z4在剩余类加法 与乘法下作成一个有壹的交换环，但不是整区： 不是消去环。,体,体 设R为环，如果去掉0，R的其余元素作成一个乘法群，则称环R为体。 理解体的定义：是含壹环（至少两个元素） 、消去环，任意非零元素在乘法下有逆，未必是交换环，因此未必是整区。 想证明(R,+,）是体，需要证明：（R,+）是Abel群;（R*,）是群; 对+有左右分配律。 例. 整数环不是体。有理数环、实数环、复数环都是体。 可见，整区未必是体。,结论：假定R是无零因子的有限环，且不只有一个元素， 则R必是一个体。 证明：只需证明环R中所有非零元做成乘法群。 由R中不只有一个元素，知R*非空。 任取a,bR*，即a0，b0，由R无零因子，知ab0，即abR*。 由环R对乘法适合结合律知,R*对乘法亦适合结合律。 由R无零因子知，R*中消去律成立。 由R有限，知R*有限。所以环R中所有非零元做成乘法群，因而是体。,
