1、4 函数的极值与最大（小）值,首页,一 极值判别,二 最大值与最小值,一 极值判别,函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征.,费马定理（定理5.3）已经告诉我们，若函数 在点 可,导，且 为 的极值点，则 =0，这就是说可导函数在点 取极值的必要条件是 =0.,注 定理5.3说明可导函数的极值只能在其驻点 处取到，,即 是驻点只是可导函数 在点 取得极值的必要条件，而不是充分条件，如 ， 是其驻点，但并不是 的极值点.,首页,设 在点 连续，在某邻域 内可导.,（I）若当 时 ，当 时 ，则在点 取得极小值.,（II）若当 时 ，当 时 ，则在点 取得极大值.
2、,注1 由定理6.10易看出，函数单调区间的分界点驻点、不可导的点是可能的 极值点(只是可能的极值点! 未必一定,是,如 是函数 的驻点，但非极值点)，求函数极值的第一步：先将可能的极值点找出来； 第二步：用第一充分条件进行判断.,首页,定理6.10,（极值的第一充分条件）,注2 定理6.10 为判定极值的充分条件而非必要条件. 考察例子,它有极大值 由于,当 充分小且 时, 的符号决定于 的符号, 而 在的 充分小的领域内, 无限次改变正、负号,因此 不满足定理6.10的条件.由此可见, 若 在点 取极大值, 则在点 的充分小的领域内, 不一定在点 左侧上升, 右侧下降.,首页,（）若 ，则
3、 在 取得极小值.,(析),由条件及 在 处的二阶泰勒公式,知,又因 ，故存在正数 ，当 时，,所以当 时，,（1）式取 负值 .,从而 ，对任意 有,定理6.11,（极值的第二充分条件）,设 在 的某邻域 内一阶可导，在 处二阶可导，且 .,（）若 ，则 在 取得极大值.,同号，,即 在 取极大值.,同样对 ,可得 在 点取极小值 .,因此 不满足定理6.10的条件.,注,定理6.11 判定极值的充分条件而非必要条件.,考察例子,显然, 它有极小值,由于,易见， 为 的稳定点， 为 的不可导点，这两点是否是极值点，需作进一步讨论,现列表如下（表中表示递增，表示递减）：,例1,求 的极值点与极
4、值.,解,在（-，+）上连续，且当 时，有,由上表可见：点 为 的极大值点，极大值 (0)=0；为 的极小值点，极小值 (1)=-3（图6-7）,依定理6.11， 为 的极小值点，极小值 (6)=108.,例2,求 的极值点与极值.,解,当 时，,令 ,求得稳定点 ，,又因,（）当n为奇数时， 在 处不取极值.,定理6.12,（极值的第三充分条件）,设 在 的某邻域内存在直到n-1阶导函数，在 处n阶可导且则,（）当n为偶数时， 在 处取得极值，且当 时取极大值， 时取极小值.,该定理的证明类似于定理6.11，我们将它留给读者.,由于 为奇数，由定理6.12知 在 不取极值.,例3,试求函数
5、的极值.,解,由于 ，,因此 是函数的三个稳定点,的二阶导数为,由此得 所以 时取得极小值.,求三阶导数,有,为极小值.,再求四阶导数,有 因为 为偶数，故 在 取得极大值.,综上所述， 为极大值，,但因,所以无法应用定理6.12对它作出判别.,注,定理6.12仍是判定极值的充分条件而非必要条件,考察函数,很显然，它在 处取极小值0.,一般地，函数的最值不一定就是其极值，但如果函数的最值是在区间内部的点处取到，则此最值点必是极值点. 换句话说，函数的极值有可能就是其最值，在有限区间的情形，只需再考察一下区间端点处能否取到最值.,二 最大值与最小值,在生产实践中，常常需要解决在一定条件下怎样使最
6、小投入、最大产出，最低成本、最大效益等,在数学上，这就是某一函数（通常称为目标函数）的最大值与最小值问题.,下面先给出求闭区间上函数最值的方法.,1,当函数 f (x)在闭区间a ,b上连续，在开区间(a ,b)内可导，且至多有限多个驻点时，可按下述步骤求函数在闭区间a,b上的最值：, 进行比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值,故称此方法为比较法., 求出函数f (x)在驻点、不可导点、区间的端点的函数值(即找出所有可能的最值点)；,（3）若 是极大值，这极大值就是其最大值；若 是极小值，这极小值就是其最小值.,2,求开区间上函数的最值稍复杂些，,因为开区间上的连续函数甚至可以没有最值，常
7、需要利用导函数f 的符号，即f 的单调性，以及自变量趋于区间端点时函数的极限，对f 的全局性态作大致的分析，进而确定函数的最值,但有一个特殊情况下，可确定开区间上函数的极值必是最值：,如果,（1） 目标函数 在所讨论的区间 （开或闭，有限或无限）内处处可微；,（2） 在区间 内部只有一个驻点 ,则在驻点 取得极值 ;,由于,因此,例4,求函数 在闭区间上 的最大值与最小值.,解,函数 在闭区间 上连续，故必存在最大最小值,所以函数 在 处取得最小值0，在 和处取得最大值5（图6-9）.,又因 ，所以由导数极限定理推知函数在 处不可导求出函数 在稳定点 不可导点 以及端点 的函数值,设船速为x(
8、km/h)，据题意每航行1km的耗费为,令,在生产实践和科学实验中，我们常会遇到求函数的最大值或最小值问题.,例5,一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为10（km/h），燃料费为每小时6元，而其他与速度无关的费用为每小时96元，问轮船的速度为多少时，每航行1km所消耗的费用最小？,解,由已知当x=10时， 故得比例系数 所以有,=7.2（元）.,求得稳定点 .,由极值第一充分条件检验得 是极小值点.,由于在 上该函数处处可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点.,所以求得当船速为 20（km/h）时，每航行1km的耗费为最少，其值为,如图6-10所示，剪去
9、正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒子，问剪去小方块的边长为何值时，可使盒子的容积最大.,例6,即正方形四个角各剪去一块边长为 的小正方形后，能做容积 最大的盒子.,解,设每个小方块边长为x，则盒子的容积为,令,在 内解得稳定点 并由 知道为极大值.,由于 在 内只有唯一一个极值点，且为极大值点，因此该极大值就是所求的最大值., 由问题的实际意义能够判定所求最值存在且必在内取到， 则可断言 就是所求的最值，而不必再先用定理 ( 或 符号)去判定是不是极值了.,注,在研究实际问题的最值时，其步骤还可作如下简化处理：,若, 目标函数 在其定义区间 上处处可微；, 在区间 内部有唯一的驻点 ；,
