1、中国地质大学（北京）继续教育学院 2012 年 09 课程考试第 1 页（共 6 页）线性代数模拟题（开卷）一单项选择题1设 为 阶矩阵，且 ，则 （ C ） 。An2AA B C D421n12n2 维向量组 （3 s n）线性无关的充要条件是（ C ） 。， 21A 中任意两个向量都线性无关s， 21B 中存在一个向量不能用其余向量线性表示s， C 中任一个向量都不能用其余向量线性表示s， 21D 中不含零向量s， 3下列命题中正确的是（ D ） 。A任意 个 维向量线性相关 B任意 个 维向量线性无关n1n1C 个 维向量线性无关 D任意 个 维向量线性相关任意4n 元非齐次线性方程组
2、AX=B 有唯一解的充要条件是（ B ） 。Ar(A)=n Br( A)=r(A,B)=n Cr(A)=r( A,B)n Dr(A)=r( A,B) 5矩阵 A 的特征值为 1,2,3，则其行列式|A |为（ A ） 。A6 B18 C36 D726方阵 A 与 B 相似，则下列说法错误的是（ A ）A方阵 A 与 B 有相同的特征向量 B方阵 A 与 B 有相同的特征值C方阵 A 与 B 有相同的行列式 D方阵 A 与 B 有相同的迹7三元非齐次线性方程组 AX=B 的解向量 满足321,，则其导出组 AX=0 的一个解为（ C ）TT),42(,)10(3221 A B C DT),(,
3、T),4( T)1,43(二填空题中国地质大学（北京）继续教育学院 2012 年 09 课程考试第 2 页（共 6 页）1 18 。3202若齐次线性方程组 只有零解，则 应满足 。0321x12且3当 k= k=4 时，向量组 线性相关。),(),12(1k4 ，则 A-1= 。201A2015矩阵 A 的特征值分别为 1, -1, 2, 则|A 2+2I|= 24 。6写出二次型 对应的对称矩阵3212321321 6454),( xxxxf 。32415三计算题1问 取何值时，下列向量组线性无关？ 。a12312,aa解：中国地质大学（北京）继续教育学院 2012 年 09 课程考试第
4、3 页（共 6 页）21122()12 ()001 ()aaaaa即 时向量组线性无关.21a或2求 的全部特征值和特征向量。320A解： 0)3(232002AI特征值 。,321对于 ，特征向量为 ；,21010211AI 0,1k对于 ,特征向量为 。,23 10120I 0,k3求行列式 的值。10aa解：中国地质大学（北京）继续教育学院 2012 年 09 课程考试第 4 页（共 6 页）52432101010()10 =1aaaa4已知矩阵 ，求 。30,312BA1)(AB解：因为 ， ,11)(AB2301 5152295152 01010 1013210901 103212I
5、，所以 5152291A 103569)(11AB5求向量组 的极大无关组，),021,(),67,(),1(32 )6,4(并用极大无关组表示其余向量。解：中国地质大学（北京）继续教育学院 2012 年 09 课程考试第 5 页（共 6 页），0713600714 001241201354621274A因此，极大无关组为 且 。321,3214766已知矩阵 ，求正交矩阵 T 使得 为对角矩阵。2AA1解：1) 首先求其特征值： ，0)1(4212| 2AI其特征根为： .4,13212) 求各特征值的特征向量，当 时求得特征向量为 ，21 TT)1,0(),1(将其正交化得 ， 再将其单位
6、化得TT),2(,)01(TT),61(,),2(当 时特征向量为 ，将其单位化得 .43T),( T)31,(3）所得正交矩阵 ，316201T为对角矩阵.411AT中国地质大学（北京）继续教育学院 2012 年 09 课程考试第 6 页（共 6 页）四证明题1设 n 阶方阵 A 满足 ，求证 A 和(A-I )都可逆并求其逆。02I证明：因为 ，所以有2，)(II即 ，由定义可知 A 和(A- I)都可逆，且IA)(21.2)(,2112设 n 阶方阵 A 满足 ，求证 A-2I 和 A+I 都可逆。03I证明：因为 ，故 ，即2 I232，由定义可知 A-2I 和 A+I 都可逆。II)(2
