1、6.6 环,6.6.1 环 的 定 义6.6.2 环 的 性 质,6.6.1 环 的 定 义,设R是一个非空集合，其中有加法乘法两 种代数运算，R叫做一个环，如果 1) a+b=b+a， 2) a+（b+c）=（a+b）+c， 3) R中有一个元素0，适合a+0=a， 4) 对于R中任意a,有-a,适合a+（-a）=0， 5) a（bc）=（ab）c， 6) a（b+c）=ab+ac，（a+b）c=ac+bc。,环的例,所有整数在整数的加法与乘法下作成一个环，叫做整数环。 所有矩阵在矩阵的加法与乘法下作成一个环，叫做矩阵环。 实数域上的所有多项式在多项式加法与乘法下作成一个环，叫做多项式环。
2、整数模n的所有剩余类集合在剩余类加法与乘法下作成一个环。 所有有理数、所有实数、所有复数在数的加法与乘法下都分别作成环，常称为有理数域、实数域、复数域。,性质1 用数学归纳法，分配律可以推广如下：a（b1+bn）= ab1+abn，（a1+am）b = a1b+amb，,6.6.2 环 的 性 质,环 的 性 质,性质2 a（c-b）=ac-ab，（c-b）a=ca-ba。 证明：由a（c-b）+ab=a（c-b+b）=ac， 得a(c-b)=ac-ab。同理，(c-b)a=ca-ba。 性质3 a0=0，0a=0。 证明：由性质2，令b=c=0，得 a（0-0）=a0-a0=0，（0-0）a
3、=0a-0a=0， 即,a0=0，0a=0。,性质4 a（-b）= -（ab）， （-a）b = -（ab），（-a）（-b）=ab。 证明：由性质2，令c=0，即得 a（-b）= -（ab），（-a）b = -（ab）。 因此，（-a）（-b） = -（-（ab）=ab。 性质5 对任意整数m，都有 a（mb） = （ma）b = m（ab）。,环 的 性 质,性质6 am+n=aman，（am）n=amn。性质7 在交换环中，有第三指数律：（ab）n=anbn。交换环:乘法适合交换律的环。性质8 在交换环中二项式定理成立： (a+b)n = an + nan-1b + an-2b2 + +
4、 bn。 用数学归纳法证明.,环 的 性 质,如果R不只有一个元素而且有一个元素1 适合对任意a R，1a = a1 = a 则称R为含壹环。 例. 整数环为含壹环，所有偶数在数的加法和乘法下作成的环不是含壹环。,含壹环,性质9 含壹环R的壹是唯一确定的。 证明：若1、1为R的两个壹，则1=11=1。 性质10 设环R有1，则10。 证明：取aR,且a0,则a0=0,而a1=a,故10。 性质11 任意环R均可扩充成一个含壹环R+。 证明：令R+=a+m| aR，mZ。规定： （a+m）+（b+n）=（a+b）+（m+n）; （a+m）（b+n）=（ab+na+mb）+mn。 则R+为环，其壹
5、为0+1。,含壹环性质,定义. 若R是环,S是R的非空子集,若S在R的 加法和乘法下仍是环,则称S是R的子环。 结论：R本身以及0是R的两个平凡子环。 定理6.6.1. 环R的子集S作成子环必要而且只要，（1） S非空；（2） 若aS，bS，则a-bS;（3）若aS，bS，则abS。,子环,定义. 若R是环，a，b R，如果a0， b0，但ab=0，则称a，b为零因子。如 果R没有这样的元素，则说R无零因子。 无零因子的环称为消去环。 例. 整数环是消去环，矩阵环不是消去环， 有零因子。比如，,消去环,性质12 R是消去环 iff R中消去律成立。 证明：必要性。如果a0,且ab = ac,那
6、么 ab-ac = 0,即 a（b-c）= 0。因环R中无零因子, 而a0,故必有 b-c= 0，即b = c，因此，消去 律成立。 充分性。设消去律成立，即由a0,ab = ac可 推出b = c。若ab=0,而a0,则ab = a0,因而由 消去律可得 b = 0。故R无零因子,R是消去环。,消去环的性质,性质13 在消去环R中，不为0的元素在加法下的周期相同。 证明： (1) 若不为0的元素在加法下的周期都为0，则得证。 (2)否则，任取R中非零元素a，b，设a的周期为m， b的周期为n，故 ma = 0，nb = 0。,消去环的性质,则一方面，a(mb) = (ma)b = 0b =
7、0，又由a0，且R无零因子知，mb=0。而b的周期为n，故 n|m。另一方面，(na)b=a(nb)=a0= 0，又由b0,且R无零因子知，na=0。而a的周期为m,故 m|n。 因此，m=n。,消去环的性质,性质14 在消去环R中，不为0的元素在加法下的周期或为0或为质数。 证明：设aR，a0，且a的周期为n，故 na = 0。(1) 若n=0，则得证。 (2) 否则，只需证n是质数。,消去环的性质,用反证法。设n不是质数，则n = n1n2， 且n11， n21。故1n1 n，1n2n。显然， n1a， n2a R，由a的周期为n知， n1 a0，n2a0。而（n1 a）（n2a） = （
8、n1 n2）（a a）= （na）a = 0 a = 0， 故n1 a，n2a为零因子，与R无零因子矛盾。 因此，原假设不对，n是质数。,消去环的性质,整区 有壹无零因子的交换环例.整数环,有理数环,实数环,复数环都是整区。 体 如果去掉0，R的其余元素作成一个乘法群，则称环R为体。 结论：体有壹而且无零因子，任意非零元素有逆 域 交换体 有理数域、实数域、复数域都是域。 在域中，ab-1可以写成 。,整区、体、域,子体、子域,定义. 体K的一个子环，若仍为体，则 叫子体；若又为域，则叫K的子域，同样，对于域F，也可以有F的子环 和子域。,四元数 取三个符号i，j，k，以实数a，b，c，d为系
9、数而作形式的线性组合a + bi + cj + dk。 四元数间运算的规定： （1）加法运算(a1 + b1i + c1j + d1k)+(a2 + b2i + c2j + d2k)=(a1 + a2)+(b1 + b2)i+(c1 + c2)j+(d1+d2)k。,四元数体,（2）乘法运算： 先规定i，j，k之间的乘法： i2 = j2 = k2 = -1,ij = k,jk = i,ki = j；ji = -k,ik = -j,kj = -i。 四元数相乘-按组合律展开再化去i，j，k的乘积而且并项 （a1+b1i+c1j+d1k）（a2+b2i+c2j+d2k） = a1a2 + a1b
10、2i + a1c2j + a1d2k+ b1a2i - b1b2 + b1c2k - b1d2j+ c1a2j - c1b2k - c1c2 + c1d2i+ d1a2k + d1b2j - d1c2i - d1d2 = a1a2 - b1b2 - c1c2 - d1d2 +（a1b2 + b1a2 + c1d2 - d1c2）I +（a1c2 + c1a2 + d1b2 - b1d2）j+（a1d2 + d1a2 + b1c2 - c1b2）k,在上面加法和乘法之下，所有四元数作成一个环。 任意非0四元数有逆 设四元数u = a +bi + cj + dk，定义其共轭四元数为 = a bi cj - dk 则u = a2+b2+c2+d2。 若u0（即若u0+0i+0j+0k），则u0，而 u-1 =,四元数体,
