1、要点梳理 1.任意角（1）角的概念的推广按旋转方向不同分为 、 、 .按终边位置不同分为 和 .（2）终边相同的角终边与角 相同的角可写成 .,第四编 三角函数、解三角形,4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数,正角,负角,零角,象限角,轴线角,(kZ),基础知识 自主学习,（3）弧度制 1弧度的角：_ 叫做1弧度的角. 规定：正角的弧度数为 ,负角的弧度数为，零角的弧度数为 , ,l是以角 作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径. 用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值 与所取的r的大小 ,仅与 . 弧度与角度的换算：360= 弧度；180=弧度. 弧长公式： , 扇形面积公式：S扇形
2、= = .,把长度等于半径长的弧所对的圆心角,无关,角的大小有关,正数,负数,零,2.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义设 是一个任意角，角 的终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为r (r0）,那么角 的正弦、余弦、正切分别是：它们都是以角为自，以比值为 的函数.(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：.,变量,函数值,一全,正、二正弦、三正切、四余弦,3.三角函数线设角 的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M,则点M是点P在x轴上的 .由三角函数的定义知，点P的坐标为 ,即 ,其中 = , 单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在
3、A点的切线与 的终边或其反向延长线相交于点T，则 .我们把有向线段OM、MP、AT叫做 的 、 、 .,OM,MP,AT,余弦线,正弦线,正切线,正射影,4.同角三角函数的基本关系(1)平方关系： .(2)商数关系: .,MP,OM,AT,基础自测 1.若 =k180+45 (kZ)，则 在（ ）A.第一或第三象限 B.第一或第二象限C.第二或第四象限 D.第三或第四象限解析 当k=2m+1 (mZ)时， =2m180+225=m360+225,故 为第三象限角；当k=2m (mZ)时， =m360+45,故 为第一象限角.,A,2.角 终边过点(-1,2),则cos 等于（ ）,解析,C,3
4、.已知角 的终边经过点( ，-1),则角 的最小正值是（ ）,解析,B,4.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）A.1 B.4 C.1或4 D.2或4解析 设此扇形的半径为r，弧长为l，,C,5.已知 为第四象限角，且解 为第四象限角，且,题型一 三角函数的定义已知角 的终边在直线3x+4y=0上,求的值.本题求 的三角函数值.依据三角函数的定义,可在角 的终边上任取一点P(4t,-3t) (t0),求出r,由定义得出结论.,思维启迪,【例1】,解,题型分类 深度剖析,某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定.但若终边落在
5、某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组要分别求解. 知能迁移1 设 为第四象限角,其终边上的一个点是P（x，- ），且解 为第四象限角，x0，且,题型二 三角函数值的符号及判定(1)如果点P(sin cos ，2cos )位于第三象限，试判断角 所在的象限.(2)若 是第二象限角，试判断 的符号.(1)由点P所在的象限可知的符号，进而判断 所在的象限.(2)由 可判断 的范围,把看作一个角，再判断的符号.,解,(1)熟练掌握三角函数的符号法则是解决此类问题的关键.(2)由三角函数符号判断角所在象限,在写角的集合时,注意终边相同的角. 知能迁移2 若 则角 的终边落在 （ ）
6、A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析,C,题型三 三角函数线及其应用在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边的范围,并由此写出角 的集合:作出满足的角的终边,然后根据已知条件确定角 终边的范围.,解 (1)作直线 交单位圆于A、B 两点,连结OA、OB，则OA与OB围 成的区域即为角 的终边的范围, 故满足条件的角 的集合为(2)作直线 交单位圆于C、D两点, 连结OC、OD,则OC与OD围成的区域 (图中阴影部分)即为角 终边的范围. 故满足条件的角 的集合为,本题的实质是解三角不等式的问题： （1）可以运用单位圆及三角函数线； （2）也可以用三角函数图象. 体现了数形结合
7、的数学思想方法.,知能迁移3 求下列函数的定义域：,解,由三角函数线画出x满足条件的终边 范围(如图阴影所示).,利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影),题型四 同角三角函数的基本关系式（12分）已知 是三角形的内角，且（1）求tan 的值；（2） 用tan 表示出来，并求其值.（1）由,解 (1)方法一,2分,3分,6分,方法二,3分,6分,(1)对于 这三个式子,已知其中一个式子的值,其余二式的 值可求.转化的公式为 (2)关于sin x,cos x的齐次式,往往化为关于 tan x的式子.,10分,12分,知能迁移4 分别求 的值：,解,思想方法 感悟提高 方法与技巧 1.
8、在利用三角函数定义时,点P可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|=r一定是正值. 2.在解决 的问题时,常常用到 3.在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.,失误与防范 1.注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角. 2.角度制与弧度制可利用180= rad进行互化,在同一个式子中，采用的度量制度必须一致,不可混用. 3.注意熟记0360间特殊角的弧度表示.,一、选择题 1.若角 和角 的终边关于x轴对称,则角 可以用角 表示为 （ ）A. (kZ) B. (kZ)C. (kZ) D.
9、(kZ)解析 因为角 和角 的终边关于x轴对称,所以 (kZ).所以 (kZ).,定时检测,B,2.已知点P 在第三象限,则角 的终边在第几象限 （ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析 P 在第三象限，由tan 0，得 在第二、四象限，由cos 0,得 在第二、三象限， 在第二象限.,B,3.若扇形圆心角的弧度数为2,且扇形弧所对的弦长也是2,则这个扇形的面积为 （ ）解析 由题意得扇形的半径为 又由扇形面积公式得，该扇形的面积为,A,4.已知角 的终边过点P（-8m，-6sin 30）,且 则m的值为 （ ）解析,B,5.已知角 是第二象限角，且 （ ）A.第一象限角
10、 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析 由 是第二象限角知, 是第一或第三象限角.,C,6.已知 是第一象限角, 等于（ ）,解析,B,二、填空题 7.若点P(m,n)(n0)为角600终边上一点，则 等于 .解析 由三角函数的定义知,8.已知P在1秒钟内转过的角度为（0180），经过2秒钟达到第三象限，经过14秒钟后又恰好回到出发点，则 = .解析 0180且k360+1802k360+270(kZ),则必有k=0，于是90135,又14=n360(nZ)，,9.若角 的终边落在直线y=-x上,则 的值等于 .解析,角 的终边落在直线y=-x上， 角 是第二或第四象限角.,0,三、解答题 10.角 终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a0),角 终边上的点Q与A关于直线y=x 对称,求的值.解 由题意得，点P的坐标为（a,-2a)，点Q的坐标为(2a,a).,11.设 为第三象限角,试判断解,12. 求下列各式的值:解 由已知得,返回,
