1、人教A版必修四第一章 三角函数1.1任意角和弧度制,任意角和弧度制,执教者:厦门市音乐学校 郑金銮 2011年10月17日,知识回顾:,同学们,我们回顾一下学过的这些角:,知识回顾:,角的定义1: 平面内从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.这种静态定义是从图形形状来定义角，因此角的范围是0, 360,同学们见过不在0360范围的角吗?我们来看一些实例。,同学们现实生活中确定有存在不在学过范围的角,现状生活中：体操、跳水、滑冰、转体720度的高难度动作,直体后空翻转体900度及以上的旋转 时钟的时针、分针转动和调准时间时顺时针、逆时针拨转角度 主从动轮转动角 车的轮子的转动角 风车,风扇叶
2、片等转动,定义2:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.射线OA、OB分别是角的始边和终边，端点O为角的顶点。,思考：这些旋转形成的角该如何表示和区分?,引入新的角定义:,类比初中数的扩展学习，我们可以把这种运动形成的角推广到任意角。为了方便规定： 按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角 按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角 没有作任何旋转形成的角叫做零角,1.任意角:含任意大小的正角，负角，零角。,在初中我们研究了锐角三角函数，为了研究任意角的三角函数，用角和长度定位点，实现几何问题代数化。我们常在直角坐标系内讨论角。把角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴。,角
3、的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角（包含第一、 二、三、 四象限角）,角的终边落在哪坐标轴上，就说这个角是哪坐标轴上角（包含x,y正负半轴上的角）,2象限角和坐标轴上角,用旋转定义的任意角，需要注意三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转量 （当旋转超过一周时，旋转量即超过360，角度的绝对值可大于360 。于是就有720 ， 540，第一象限的角也已经超越原来锐角的范畴.）,角,3终边相同的角, 观察：330 ，750角，它们的终边与30角的终边有何关系？,探究：与30 终边相同的角（含30 角本身）集合用描述法如何表示？ 330=30+(1)360 (k=1) , 30=30+0360
4、 (k=0), 750=30+2360(k=2) (3)结论：,思考：从终边相同的角集合表示中可以悟出什么？,与 终边相同的角（含 本身）集合用描述法又将如何表示？,例1：写出终边落在y轴上的角的集合。,解：终边落在轴正半轴上的角的集合为,S1=| =900+K3600,KZ,=| =900+2K1800,KZ,=| =900+1800 的偶数倍,终边落在轴负半轴上的角的集合为,S2=| =2700+K3600,KZ,=| =900+1800+2K1800,KZ,=| =900+（2K+1）1800 ，KZ,=| =900+1800 的奇数倍,S=S1S2,所以 终边落在轴上的角的集合为,=|
5、 =900+1800 的偶数倍,| =900+1800 的奇数倍,=| =900+1800 的整数倍,=| =900+K1800 ，KZ,根据角的动态定义：角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧。思考：不同的点所形成的圆弧的长度是不同的，但都对应同一个圆心角，探索弧长与其半径之比有什么关系?,1 的角是周角的用1角作单位来度量角的制度叫做角度制 但角的度量单位如同长度，面积，体积等有不同单位一样，也由于数据大，书写不便等有引入不同单位的需要。,设=n,AB弧长为l，半径OA为r， 则可以看出，等式右端不含 半径，表示弧长与半径的 比值跟半径无关，只与的 大小有
6、关。,3弧度,3弧度,弧长等于半径长（l=r)的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.角 的弧度数的绝对值规定等于 . 的正负由 的终边的旋转方向决定。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。, 360= ， 180= rad，,用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集R之间建立一一对应的关系：,正实数,零,负实数,请运用转换公式，填写下表：,60,90,-150,270,3弧度,对比记忆：初中弧长和面积公式：,思考：扇形的弧长和面积共含几个变量，已知几个量,才能求出另外的量呢？,例2. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积
7、是多少？,解：周长=2R=2R+l，所以l=2(1)R.,所以扇形的中心角是2(1) rad.,合 度,扇形面积是,合作探究练习1： 用角度和弧度分别表示:,终边在x轴上的角的集合 终边在坐标轴上的角的集合 终边在第一象限角的集合 终边在y=x直线上的角的集合,.| =k1800 ，kZ | =k ，kZ,.| =k900 ，kZ | =k ，kZ,3.| k 3600 k 3600+900 ，kZ | 2k 2k + ，kZ,4.| =k 1800+450 ，kZ | =k + ，kZ,思考:终边在过直角坐标系原点的直线上角的集合共同特征是怎样的?,合作探究练习2.在0到360度(02）范围
8、内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角？,（1）-120（2） （3） -950 12（4）,所以与-120 角终边相同的角是240 角,它是第三象限角。,所以与 角终边相同的角是 ，它是第四象限角。,所以与-95012 角终边相同的角是12948 角，它是第二象限角。,（2）因为,解（1）因这-120=-1360 +240 ,（3）因为-95012 = -3360+12948,（4）因为,所以与 角终边相同的角是 ， 它是第一象限角。,小结：1.在0到360度（02)内找与已知角终边相同的角， 方法是：用所给角除以3600(2) 所给角是正的：按通常的除法进行； 所给角是负的
9、：度数除以3600(2），商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以便使余数为正值。,2.判断一个角是第几象限角， 方法是：把所给角 改写成 ： 0+k 3600 ( KZ,00 03600) 的形式， 0在第几象限, 就是第几象限角。,0 +k2 ( KZ, 0 02 ),合作探究练习3： (1)在半径为R的圆中，240的中心角所对的弧长为 ，面积为2R 2的扇形的中心角等于 弧度。 (2)一手表现发现走慢十五分钟需调正,分针要转多少弧度?,解：（1）240= ，根据l=R，得,(2)需顺时针转90度,即为,根据S= lR= R2，且S=2R2.,所以 =4.,课堂小结：1.
10、任意角： 角的不同分类：正角、负角和零角象限角和坐标轴上的角 终边相同的角集合表示:2.角度制和弧度制的转化：,1=,1 rad,3.扇形的弧长和面积公式.(角度和弧度制),作业,课后作业：见本节校本作业一张,谢谢同学们配合! 欢迎各位专家和老师提出宝贵意见!,在直角坐标系中任取象限的一个角 ，其 和角所在象限怎样变化？,已知,角的终边相同，那么的终边在（ ）A x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上C x轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上,A,在直角坐标系中，若与终边互相垂直，那么与之间的关系是（ ）A. =+90o B =90oC =k360o+90o+,kZ D =k360o90o+, kZ,D,若是第四象限角，则180是（ ）A 第一象限角 B 第二象限角C 第三象限角 D 第四象限角,C,1)已知扇形的周长为10cm,面积为4cm,求扇形的圆心角的弧度数。（2）已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积取得最大？最大面积是多少？,课堂小结：1.任意角： 角的不同分类：正角、负角和零角象限角和坐标轴上的角 终边相同的角集合表示:2.角度制和弧度制的转化：,1=,1 rad,3.扇形的弧长和面积公式.(角度和弧度制),作业,课后作业：见本节校本作业一张,谢谢同学们配合! 欢迎各位专家和老师提出宝贵意见!,
