1、,一、向量组的秩和最大无关组,3.2 向量组的秩和最大无关组,二、等价向量组,一、向量组的秩和最大无关组,设 A 为一 n 维向量组( A 0), 则 A 的任一线性无关 部分组所含向量个数不多于 n 个.,提示:,这是因为,当 s n 时, n 维向量组 a1, , as 线性相关.,A 的线性无关部分组所含向量个数存在最大值:,存在正整数 r, 使得 A 中有 r 个向量线性无关, 而 A 中 任意多于 r 个向量(若存在的话)线性相关.,向量组的秩,设 A 为一向量组, A 的线性无关部分组所含向量个数 的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A).,规定0的秩为 0.,向量组
2、的最大无关组,设向量组 A 的秩为 r, 如果 a1, , ar 为 A 的一个线性 无关部分组, 那么称 a1, , ar 为 A 的一个最大无关组.,最大无关组的性质,设 A 为一向量组, 则部分组 a1, , ar 为 A 的一个最大 无关组的充分必要条件是,(2) A 中任一向量可由 a1, , ar 线性表示.,(1) a1, , ar 线性无关;,必要性:,提示:,则向量 b 可由 a1, , ar 线性表示.,设向量组 a1, , ar 线性无关,若 a1, , ar, b 线性相关,从略.,向量组的最大无关组,设向量组 A 的秩为 r, 如果 a1, , ar 为 A 的一个线
3、性 无关部分组, 那么称 a1, , ar 为 A 的一个最大无关组.,最大无关组的性质,设 A 为一向量组, 则部分组 a1, , ar 为 A 的一个最大 无关组的充分必要条件是,(2) A 中任一向量可由 a1, , ar 线性表示.,(1) a1, , ar 线性无关;,于是,设 b1, , bs 为 A 中向量, s r.,充分性:,存在数 kij , 使得,故 b1, , bs 线性相关.,因此 r 为秩, a1, , ar 为最大无关组.,例1 设 x1, , xn-r (r = R(A)为 n 元方程组 Ax = 0 的一个 基础解系, S 为 Ax = 0 的解集, 则,因为
4、基础解系线性无关,且 S 中的任一向量可由基础解系,线性表示,所以基础解系是 S 的一个最大无关组.,n 元方程组 Ax = 0 的解集 S 的秩等于 n - R(A).,Ax = 0 的解集 S 的一个最大无关组也即基础解系.,证明,若 x 满足 Ax = 0,则 ATAx = 0.,若 x 满足 ATAx = 0,则 xTATAx = 0,即 (Ax)T(Ax) = 0,设 aT = (a1, , an ), 则,提示:,综上可知 Ax = 0 与 ATAx = 0 同解.,从而 Ax = 0.,例2 证明,设其解集为 S, 则,其中 n 为未知元的个数.,初等行变换保持矩阵的列向量组的线
5、性关系.,证明,设矩阵 A 经初等行变换化为矩阵 B.,设矩阵 A 的列向量组有一线性关系,因矩阵 A 与 B 行等价,故方程组 Ax = 0 与 Bx = 0 同解.,由此可知也有,定理1,记,易知 b1, b2, b3, b4, b5 的秩为3,定理1,初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系.,例3 设,且有,且有,行最简形矩阵的秩等于它的列向量组的秩.,矩阵的秩等于它的(行)列向量组的秩.,注: R(a1, , am) 既表示向量组的秩, 也表示矩阵的秩.,一个最大无关组为 b1, b2, b4,因此 a1, a2, a3, a4, a5 的秩为3,一个最大无关组为 a1, a2, a4
6、,秩与最大无关组的一个算法,化矩阵 A 为行最简形 A0, 通过观察 A0, 便知 A 的列向 量组的秩和一个特定的最大无关组, 以及 A 的其余列向量 在该最大无关组下的线性表示.,易知 b1, b2, b3, b4, b5 的秩为3,例3 设,且有,且有,一个最大无关组为 b1, b2, b4,因此 a1, a2, a3, a4, a5 的秩为3,一个最大无关组为 a1, a2, a4,解,且有,例4 设,(1) 求 a1, a2, a3, a4 的秩和一个最大无关组;,(2) 求其余向量在此最大无关组下的线性表示.,化矩阵 (a1, a2, a3, a4) 为行最简形:,向量组 a1,
7、a2, a3, a4 的秩为2,一个最大无关组为a1, a2,若向量组 B 中的任一向量都可由向量组 A中的向量线 性表示, 就称向量组 B 可由向量组 A 线性表示.,等价向量组,可以相互线性表示的两个向量组, 称等价向量组.,向量组的等价具有反身性、对称性和传递性.,向量组的线性表示具有传递性:,线性表示,若向量组 C 可由向量组 B 线性表示, 向量组 B 可由向 量组 A 线性表示, 则向量组 C 可由向量组 A 线性表示.,二、等价向量组,向量组与其最大无关组等价.,若 R(A) R(A, B) r,证明,设 a1, , ar 为向量组 A 的一个最大无关组.,向量组 B 也可由 a
8、1, , ar 线性表示.,因此 a1, , ar 为向量组 (A, B) 的一个最大无关组,因向量组 A 可由 a1, , ar 线性表示,线性表示的传递性知,向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充分必要条件是,定理3,其中 (A, B) 表示向量组 A 与 B 的并集构成的向量组.,必要性:,故由向量组,从而,当然向量组 B 可由 a1, , ar 线性表示,的一个最大无关组,充分性:,则 a1, , ar 为向量组(A, B),从而向量组 B 可由向量组 A 线性表示.,定理4,向量组 A 与向量组 B 等价的充分必要条件是,向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充分必要条件是,定理3,其中 (A, B) 表示向量组 A 与 B 的并集构成的向量组.,所以 R(A) R(A, B) 2.,证明,记 A = (a1, a2), B = (b1, b2, b3), 则,易知 b1, b2 线性无关,于是,可知 R(B) 2.,因此,从而向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价.,作 业习题3.2:1. 3. 4. 5. 9.,
