1、初中数学竞赛专题中位线一、内容提要1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰5. 有关线段中点的其他定理
2、还有：直角三角形斜边中线等于斜边的一半等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合对角线互相平分的四边形是平行四边形线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。二、例题例 1. 已知：ABC 中，分别以 AB、AC 为斜边作等腰直角三角形 ABM和 CAN，P 是 BC 的中点。求证： PMPN （1991 年泉州市初二数学双基赛题）证明：作 MEAB，NF AC ，垂足 E，F ABM、CAN 是等腰直角三角形 AEEBME，AFFCNF， 根据三角形中位线性质 PE ACNF，PF ABME 2121PEAC，PF AB PEBBACPFC 即PEMPFN P
3、EMPFN PM PNAB CMNPE F例 2.已知ABC 中，AB 10，AC7，AD 是角平分线， CMAD 于M，且 N 是 BC 的中点。求 MN 的长。 分析：N 是 BC 的中点，若 M 是另一边中点， 则可运用中位线的性质求 MN 的长， 根据轴称性质作出AMC 的全等三角形即可。 辅助线是：延长 CM 交 AB 于 E（证明略） 例 3.求证梯形对角线的中点连线平行于两底，且等于两底差的一半。已知：梯形 ABCD 中，AB CD，M、N 分别是 AC、BD 的中点求证：MNABCD ，MN （ABCD ）21分析一：M 是 AC 中点，构造一个三角形，使 N 为另一边中点，以
4、便运用中位线的性质。连结 CN 并延长交 AB 于 E（如图 1）证BNEDNC 可得 N 是 CE的中点。 （证明略）分析二：图 2 与图 1 思路一样。分析三：直接选择ABC，取 BC 中点 P 连结 MP 和 NP，证明 M，N，P三点在同一直线上，方法也是运用中位线的性质。例 4. 如图已知：ABC 中，AD 是角平分线，BECF，M、N 分别是BC 和 EF 的中点 求证：MNAD 证明一：连结 EC，取 EC 的中点 P，连结 PM、PNMP AB，MP AB，NPAC，NP AC2121BECF ， MPNP3=4= MN-80MPN BAC180 （两边分平行的两个角相等或互补
5、）1=2= ， 2= 32P-1NPAC MNAD 证明二：连结并延长 EM 到 G，使 MGME 连结 CG，FG 4321AB CDE FMNP321NA BCDE A BCD EA BCDM N MM N E7101 2AB CDMN则 MNFG，MCGMBECGBECF BBCG ABCG ，BAC FCG180 CAD （180 FCG）21CFG （180 FCG）=CAD MNAD 例 5. 已知：ABC 中，ABAC，AD 是高，CE 是角平分线，EFBC于 F，GE CE 交 CB 的延长线于 G 求证：FD CG 41证明要点是：延长 GE 交 AC 于 H， 可证 E 是
6、 GH 的中点 过点 E 作 EMGC 交 HC 于 M， 则 M 是 HC 的中点，EMGC，EM GC 21由矩形 EFDO 可得 FDEO EM GC 4三、练习 1.已知 E、F、G、H 是四边形 ABCD 各边的中点 则四边形 EFGH 是形 当 ACBD 时，四边形 EFGH 是形 当 ACBD 时，四边形 EFGH 是形 当 AC 和 BD时，四边形 EFGH 是正方形形。2.求证：梯形两底中点连线小于两边和的一半。3.已知 AD 是锐角三角形 ABC 的高，E，F，G 分别是边 BC，CA，AB 的中点，证明顺次连结 E，F，G，H 所成的四边形是等腰梯形。4. 已知：经过AB
7、C 顶点 A 任作一直线 a,过 B，C 两点作直线 a 的垂线段 BB ， 和 CC， ，设 M 是 BC 的中点，求证：MB ， MC ， 5.如图已知ABC 中，ADBE，DM EN BC求证 BCDMEN6.如图已知：从平行四边形 ABCD 的各顶点向形外任一直线 a 作垂线段AE，BF ，CG ， DH。MjAB CGDE FNO21AB CG DEFHMAB CD ME NA BCDEFGH求证 AECGBFDH 7.如图已知 D 是 AB 的中点，F 是 DE 的中点，求证 BC2CE8.平行四边形 ABCD 中，M ，N 分别是 BC、CD 的中点，求证 AC 平分MN9.已知
8、ABC 中，D 是边 BC 上的任一点，M ，N，P，Q 分别是BC，AD，AC，MN 的中点，求证直线 PQ 平分 BD。10.等腰梯形 ABCD 中，AB CD，ADBC，点 O 是 AC 和 BD 的交点，AOB60 ，P，Q，R 分别是 AO，BC，DO 的中点，求证PQR 是等边三角形。 11.已知：ABC 中，AD 是高，AE 是中线，且 AD，AE 三等分BAC ，求证：ABC 是 Rt。12.已知：在锐角三角形 ABC 中，高 AD 和中线 BE 相交于 O，BOD60 ，求证 ADBE 13.如图 已知：四边形 ABCD 中，ADBC， 点 E、F 分别是 AB、CD 的中点
9、，MNEF 求证：DMNCNM 练习题参考答案1. 平行四边形菱形矩形相等且互相垂直2. 取一条对角线的中点，利用三角形两边差小于第三边3. DGEF AB21DA BCFEMNR60OA BCDP QS(9)AB CDMNPRAoBCDaGHE D1 FF(7)ABC ED8 ODA BCMN4. 过点 M 作 a 的垂线,必平分 B， C，5. ABC 的中位线也是梯形 BCD， D 中位线6. 同上，有公共中位线7. 取 BC 中点 G，连结 DG8. 连结 BD 交 AC 于 O，易证四边形 MCNO 是平行四边形9. 证四边形 MPNS 是平行四边形10. COD 是等边三角形，CR DO，RQ BC，2111. 作 EFAC，EF ED EC，C30 ，2112. 作 EFBC 于 F，AD，BE 都等于 2EF13. 过 AC 的中点 O 作 MN 的平行线，则 OEOF，
