1、平面向量的数量积授课教案 张辉授课内容：平面向量的数量积授课类型：复习课授课教师：张辉教学目标：通过物理中“ 功“ 等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。教学重点：平面向量数量积的运算教学难点：平面向量与其他知识点的综合问题的处理命题走向：本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值 59 分。平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为
2、与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。预测 09 年高考：（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；教学过程：一知识点梳理（1）数量积的概念已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则 = cos 叫ababb做 与 的数量积（或内积） 。规定 ；ab0a向量的投影： cos = R，称为向量 在 方向上的投影。投影b| ba的绝对值称为射影；（2）数量积的几何意义： 等于 的长度与 在 方向上的投影的乘ab积。（3）向量数量积的性质向量的模
3、与平方的关系： 。2|乘法公式成立；22abab；22ab平面向量数量积的运算律交换律成立： ；ab对实数的结合律成立： ；babR分配律成立： 。cc向量的夹角：cos = = 。os,ab221yxyx当且仅当两个非零向量 与 同方向时，=0 0，当且仅当 与 反方向时 ab=180 0，同时 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。（4）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量 ，则 = 。12(,)(,)axybab12xy（5）垂直：如果 与 的夹角为 900 则称 与 垂直，记作 。ab两个非零向量垂直的充要条件： O ，平021yx面向量数量积的性质。（6）平面内两点间的距离公式设
4、 ，则 或 。),(yxa22|yxa2|yxa如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 、 ，),(1yx),(2那么 (平面内两点间的距离公式)。2121()(| yxa二：典例解析例 1：已知向量 a=(cosa,sina),b= .那么 a+b(cos,in)ab且与 a-b 的夹角的大小是？分析： ，易得()()cos,abab()()0ab 2例 2：已知 。3,2b（1） 若 a 与 b 的夹角为 ，求015ab（2） 若 a-b 与 a 垂直，求 a 与 b 夹角的大小分析：通常用一个向量与自身做内积来求它的模，当两个向量互相垂直时它们的内积为 0 , 本题主要考察了内
5、积的定义以及学生对向量的内积运算的理解。2222 0()44cos1ababab解 ： 3,231422ab因 为上 式 （ -） +例 3已知 ， ， ，按下列条4,3a1,2b,mab2n件求实数 的值。 （1） ；（2） ； 。n/(3)解析： ,m7,8（1） ；n08374952（2） ；/281(3)mn 084522 。51点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。三练习：1判断下列各命题正确与否：（1） ； （2） ；0a0a（3）若 ，则 ；,bcbc（4）若 ，则 当且仅当 时成立；0（5） 对任意 向量都成立；()()ac,ac（6）对任意向量 ，有 。
6、a2学生完成，教师点评：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚 为零向量，而 为零。a0a02.已知向量 与 的夹角为 ， 则 等于（ ）b12o3,1,bA5 B4 C3 D1点评：选择 B,掌握向量数量积的逆运算 ，以及 。Qbacos|2|a3(2005 广东 12)已知向量 ， ，且 ，则 )3,2(a)6,(xbba/x。点评： ， ， ， 。ba/121yxx44.（06 湖南理，5）已知 且关于 的方程,0|ba x有实根, 则 与 的夹角的取值范围是（ 0|2xab）A B C D6,0,
7、332,点评：选择 B作业： P138 2，3四思维总结1两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）在实数中，若 a0，且 ab=0，则 b=0；但是在数量积中，若 0，且 =0，不能推出 = 。因为其中 cos有可能为 0；ab（2）已知实数 a、b、c(b 0)，则 ab=bc a=c。但是 = ；abc如右图： = | | |cos = | |OA|， c = | |c|cos = abbb| |OA| = ，但 ；bcc(3)在实数中，有( ) = ( )，但是( ) ( )，显abcabc然，这是因为左端是与 c 共线的向量，而右端是与 共线的向量，而a一般 与 c 不共线。a2
8、平面向量数量积的运算律特别注意：（1）结合律不成立： ；abcc（2）消去律不成立 不能得到 ；b（3） =0 不能得到 = 或 = 。ab03 数量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直；4注重数学思想方法的教学数形结合的思想方法。由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。化归转化的思想方法。向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式 ，沟通了向量与实数间的转化关2a系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。分类讨论的思想方法。如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量 在 方向上的投影随着它们之间ab的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；课后记： 在高考复习中，应突出向量的工具性，注重向量与其它知识的交汇与融合，但不宜“深挖洞” 。我们可以预测近两年向量高考题的难度不会也不应该上升到压轴题的水平。
