1、正定矩阵的判定姓名：郑莎莎 学号：200640501443 指导老师：李群摘 要： 鉴于正定矩阵的重要性及其应用的广泛性，本文 给出了正定矩阵判定的若干等价条件并逐条予以证明，并 辅助典型例 题。关键词：正定矩阵；正交矩阵；判定；特征值；正定二次型一、利用定义（一） 阶实对称矩阵 称为正定矩阵，如果对于任意的 维实非零列向量 ，都有nAnX。正定的实对称矩阵 简称为正定矩阵，记作 。TXA0 0A例 设 是正定矩阵， 是非奇异实方阵，则 也是正定矩阵。1PTP证明：因为 是实对称阵，故 显然也是实对称阵，又对任何实的非零列向量TA，由于 ( 是非奇阵),故 ,即 是正定阵。P0X0T实对称矩阵
2、 是正定矩阵的充分而且必要条件是对于任意的 维实非零列向量 X=1An, 二次型 是正定二次型。2x0X实对角矩阵 是正定矩阵的充分而且必要条件是 ( , , 1nd id012)。 n实对称矩阵 是正定矩阵的必要而且充分条件是二次型 的秩与符号差都等3AXA于 。二、利用主子式（一） 阶实对称矩阵 的一切顺序主子式都大于 ，则 为正定矩阵。n 0证明：对 作数学归纳法。当 时， ，由条件 ，显然有 1n211fxa1a0是正定的。假设该论断论断对 元二次型已经成立，现在来证 元的情形。1fxn令，11,nnaA 1,na于是矩阵 可以分块写成 。既然 的顺序主子式全大于零，当然 的顺序A1n
3、aA1A主子式也全大于零。由归纳法假定， 是正定矩阵，换句话说，有可逆的 级矩阵1 n使 ，这里 代表 级矩阵。令 ,于是G11nE1n10GC1CA0G1nAa01nnEa再令 ,有120nE212CA10nEG1nna10EG10n令 , ,有12CnaaCA1a两边取行列式， 。由条件， ，因此 。显然2a01a 1a 1 1a这就是说，矩阵 与单位矩阵合同，因之 是正定矩阵。AA例 判断二次型 是否正定。2121nniiifX解：二次型 的矩阵为三角矩阵f1212 的任意的 阶顺序主子式 ，所以矩阵 为正定矩阵，原二次型为Ak102kkAA正定二次型。（二） 阶实对称矩阵 的一切主子式
4、都大于 ，则 为正定矩阵。n证明：设 是 的一个 阶主子矩阵, 由于 的任意一个顺序主子式均为 的一个kiAkkiAA主子式,所以它们都大于 。所以为 正定矩阵。0ki例 证明若 称为正定矩阵，则 的一切主子式都大于 。3 0证明：(反证法)设 是正定矩阵,若存在 阶主子矩阵 A()ijnak11212212,0kk kkkkiiii iiiiaAa 则由于 是阶实对称矩阵,由引理知存在 阶正交矩阵使 ,kiA 12(,)kTi kUdiaguU其中 为 的特征值。由于 ，且 知 的特征值12u ki kiA0ki12k kiA中至少有一个小于 。不失一般性,设 ，令 ,则,k 01uTY,0
5、且 ，YkTi再令，TX12(,)nx当 时， ；当 为其他时， 。则12,kii iixy0i,且 ,0TAkTiY1u这与 为正定矩阵的假设矛盾。A（三） 阶实对称矩阵 的一切顺序主子矩阵都是正定矩阵，则 为正定矩阵。nAA证明：由于 的一切主子矩阵都是正定矩阵, 也是它自身的一个主子矩阵,所以也是正定矩阵。例 取何值时，二次型 是正定二次型。4t 222113345fxxtx解：二次型 对应的矩阵为 ，要使二次型 正定，必须 的各顺f 25AtfA序主子式全大于零，即满足， , 。10d2103125dAt2430t得到 ，所以当 时，二次型 为正定二次型。32t,2tf三、利用标准型（
6、一） 合同于 n阶单位矩阵 ，则 为正定矩阵。AEA证明：若 合同于 ,则存在可逆矩阵 ,使得 。任取BTEB, ,X0Y12,ny则 。于是Y0，TTTABE221ny 0故 为正定矩阵。A例 设 , 是 实对称矩阵， 是正定矩阵，证明：存在实可逆阵 ，使5nAT为对角阵。TB证明：由于 是正定阵，从而合同于 ，即存在实可逆阵 ，使 。而AEPAE仍为是对称阵，从而存在正交阵 ，使PQ,其中 是 的特征值，QPB1n 1,n B令 ，则TTAB1n得证。（二）若 存在正定矩阵 ,使得 ，则 为正定矩阵。2A证明：如果 正定,使得 ,则 为对称可逆矩阵,且有BA2B,TBE即 合同于 ,所以
7、正定。AE（三） 阶实对称矩阵 的所有特征值都大于 ，则 为正定矩阵。n0A证明：设 的全部特征值 全大于零，由引理得12,nA11(,)nTdiagT ,12(,)nTdiag 12,)n 2B其中 。B1因为 为实对称矩阵，且特征值 ， ,所以 为正定矩阵。i0,i例 试证二次型： 为正定二次型。612,nfx 21nix1nijijx证明：设 对应的矩阵为 ，则fA121 计算可得 。所以 的特征值为EA1nA11,nn由于 的特征值全为正，所以 为正定阵，从而 为正定二次型。f（四） 半正定,且 ，则 为正定矩阵。A0A证明：设 的特征值为 ， ， ，由 半正定可知, ， 12 n i
8、01,2in，所以 正定。A例 设 是 阶正定矩阵， 是 阶半正定矩阵，求证: ，当且仅7nBnAB当 或 时等号成立。0B1证明:由 知，存在 阶可逆矩阵 ，使得 ，有APTnE，TTnPBETABP又因为 显然是半正定的，设 ，则有T CijTnEPB1212212nnnncc1ncc其中 是 的所有 阶主子式之和， 。因为 ,它的主子式都非icCi,i 0TCPB负，因此 TnEPB1ncnETTAT所以 TAPTBP由此得 当 或 时显然 成立；当 且 时易知 ，0B1nAB0B1nTPBC0n于是至少有一个 ，此时 的一阶主子式 ， 不能为零，否则ijc0Cicj ijijc2ij，
9、这与 半正定矛盾。于是 ，进一步有 ,从而0C1c0TnE1n成立。AB（五）对任意可逆矩阵 , 都有 正定，则 为正定矩阵。PTA证明：由 正定, 为可逆矩阵,可得 ,即 与 合T 11TPATPA同，而合同不改变矩阵的正定性,所以 为正定矩阵。例 如果 , 都是 阶正定矩阵，证明： 也是正定矩阵。8ABnAB证明：因为 , 为正定矩阵，所以 为正定二次型，且 ，,XXA0,因此X0+ABB0于是 必为正定二次型，从而 为正定矩阵。AB四、以下几个重要结论也常用来判定矩阵 是正定的（一）与正定矩阵合同的矩阵一定是正定矩阵。（二）正定矩阵的逆矩阵必为正定矩阵。证明: 因为正定矩阵与单位矩阵 合
10、同，所以存在可逆矩阵 ，使得EP,取逆矩阵 ,记 ，即有APE 1111APPQ1,则 与 合同，所以 是正定阵。1Q1（三）正定矩阵的任何主子式阵必为正定矩阵。证明：假设 是一个 阶正定矩阵，它的 阶主子式阵Aijank，其中121212kkkka n由于 ，从而知 的任何主子式阵都是正定的。kA0A（四）对于任意的实对称矩阵 ，必有实数 ， ，使得 与 是0EA正定矩阵。证明：实对称矩阵 的特征根都是实数，不妨记其中绝对值最大的一个特征根为A，只要取 ，即可使 是正定阵。这是因为假设 是正交阵，EQ使 1 nQA则+QEAQA 1n1n其中由于 ，可知 是正定阵。当取 时，则 ,0i1,2
11、 EA10是正定矩阵。EA（五）假设 都是正定矩阵，并且 ，则 也必为正定矩阵。,BAB证明：易知 的特征根大于零，当 时， ,说明BA又是对称的，从而可知 是正定的。A例 判断二次型 是否正定。922211330848fxxx解：二次型 对应的矩阵 30124ijAa显然 的元素绝对值最大值者为 ，为非对角元，则 为非正定矩阵，所以A231A二次型 也是非正定的。f五、小结：正定矩阵的判定在矩阵理论中占有重要的地位，因此，对正定矩阵的讨论无论在矩阵理论方面，或是实际应用方面都有重要的意义。参考文献：1Pullman N P.Matrix Theory and its Applications
12、 M.Academic Press,19762 COMPA.Principles and Practice of Mathematics M. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1998.3Johnson C R. Positive definite matrices J. Amer Math Mothly, 1970,77:259-264.4胡跃进,骈俊生.广义正定矩阵的一个不等式J.阜阳师范学院学报(自然科学版),2001,18(1):10-11.5北京大学数学系.高等代数M.2 版.北京:高等教育出版社, 1988.6张禾瑞,郝丙新.高等代数M.3
13、版.北京:高等教育出版社, 1983.7钱吉林.高等代数题解精粹M.北京:中央民族大学出版社，2002.The Determination Of The Positive Definite MatrixName:Zheng Shasha Student Number:200640501443 Advisor:Li QunAbstract: In view of the importance and the wide range of applications of positive definite matrix, this paper gives several equivalent conditions of the of the determintion positive definite matrix, also proves them one by one , and assist some typical examples.Key words: Positive definite matrix; Orthogonal matrix; determinant; Characteristic value; Positive definite quadratic form
