1、第九节 常系数非齐次线性微分方程,一、,二、,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,自由项为,一、, 为实数 ,设特解为,其中 为待定多项式 ,代入原方程 , 得,(1) 若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为 m 次多项式 .,Q (x) 为 m 次待定系数多项式,(2) 若 是特征方程的单根 ,为m 次多项式,故特解形式为,(3) 若 是特征方程的重根 ,是 m 次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,即,即,当 是特征方程的 k 重根 时,可设,特解,例1,解,特征方程,特
2、征根,对应齐次方程通解,代入方程, 得,原方程通解为,例2.,的一个特解.,解: 本题,而特征方程为,不是特征方程的根 .,设所求特解为,代入方程 :,比较系数, 得,于是所求特解为,求通解,特征方程,特征根,齐通解,即,代入（*）式,非齐通解为,例3.,解,例4. 求解定解问题,解: 本题,特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,于是所求解为,解得,思考,写出微分方程,的待定特解的形式.,解答,设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,二、,第二步 求出如下两个方程的特解,分析思路:,第一步 将 f (x)
3、转化为,第三步 利用叠加原理求出原方程的特解,第四步 分析原方程特解的特点,第一步,利用欧拉公式将 f (x) 变形,第二步 求如下两方程的特解,是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),故,等式两边取共轭 :,为方程 的特解 .,设,则 有,特解:,第三步 求原方程的特解,利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :,原方程,均为 m 次多项式 .,第四步 分析,因,均为 m 次实,多项式 .,本质上为实函数 ,待定,待定,解,例5,f (x)=exPm1(x)cosx+Pm2(x)sinx 型,所求通解：,解,例6,原方程特解,解,例7,原方程通解,待定,待定,f (x)=e
4、xPm1(x)cosx+Pm2(x)sinx 型,注:,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,练习,时可设特解为,时可设特解为,1 . 设,2. 求微分方程,的通解 (其中,为实数 ) .,3. 已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解 .,4.,求通解,练习,时可设特解为,时可设特解为,提示:,1 . (填空) 设,2. 求微分方程,的通解 (其中,为实数 ) .,解: 特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,3. 已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解 .,解: 将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解:,原方程通解为,4.,求通解,解,相应齐方程,特征方程,齐通解,先求,的特解,设,代入方程,再求,的特解,原方程特解,原方程的特解,所求通解为,P317 1 (1) , (5) , (6) , (10) ;2 (2) , (4) ;3 ; 6,
