1、1.1.1 算法的概念,学习目标：了解算法的含义，了解算法的思想.,一、序言,算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始.,从数学发展的历史来看，算法的概念古已有之.比如，在西方数学中很早就有了欧几里德算法，而中国古代数学中蕴含着更为丰富的算法内容和思想，割圆术、秦九韶算法等等都是很经典的算法. 在这一章里，我们将学习算法的概念和程序框图.理解算法的基
2、本结构、基本算法语句.了解一些很有意思的重要算法，体会算法的基本思想.同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力.,（联系章头图）中国古代数学中蕴含了丰富的算法思想，算筹、算盘都是盛行一时的计算工具. 其中算筹在春秋时期已经很普遍；而算盘在明代开始盛行，即使在计算机普及的今天，许多人仍然在使用. 如今，算法已经成为计算机科学的重要基础，同时计算机又是强大的实现各种算法的工具. 算法是解决问题的一种程序性方法. 算法思想是现代人应具备的一种数学素养.,在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想.看下列实例： 例1 写出计算4(7-2
3、)+6的算法步骤. 解：算法步骤如下： 第一步：计算7减去2，即7-2=5； 第二步：4与5相乘，即45=20； 第三步：20与6相加，即20+6=26.,二、引例,例2：写出你在家里烧开水泡茶过程的一个算法. 解：算法步骤如下： 第一步：把水注入电水壶； 第二步：打开电源烧水； 第三步：洗茶壶（杯、碗）； 第四步：找到茶叶，并把茶叶放入茶杯； 第五步：把烧开的水注入茶杯. （以上算法是解决某一问题的程序或步骤）,例3 写出求方程x2-2x-3=0的根的一个算法. 解：算法步骤如下： 第一步：计算=b2-4ac=160; 第二步：将a=1,b= -2,c= -3代入求根公式第三步：得到方程的根
4、x1= -1,x2=3.,解法2：第一步 移项，得x22x3;,第二步 将第一步的结果两边加1配方，得(x1)24;,第三步 将第二步的结果两边开方,得 x-12,或 x-1-2;,第四步 解得方程的根x3,或 x1 .,三、算法(algorthm)的定义(含义)：,1.定义：在数学中，“算法”通常指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.现在,算法通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题. 2.算法的思想：在解决某一类问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，达到探求解决这一类问题的一般性方法，并将解决问题的步骤用具体化、程序化的语言加以表述，这就
5、是算法的思想. 算法思想的一种重要的数学思想，始终贯穿在高中数学的学习过程中，例如，计算一个函数值；求解一个方程；证明一个结论等，我们都需要有一个清晰的思路，一步一步地去完成.算法思想可以更好地培养我们的逻辑推理能力.,算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念. 但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法.比如： 做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧； 竖式笔算是算法；至于乘法口诀；珠算口诀等，更是算法的具体体现. 我们还知道：解一元二次方程的步骤；求解一元一次不等式、一元二次不等式的步骤；解线性方程组的步骤；求两个数的最大公因数的步骤；多
6、项式乘法公式等等，这些都是算法的具体体现.,四、算法的特征（特点）,程序性(顺序性、步骤性、逻辑性、指向性、条理性)：算法从初始步骤开始，分成若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有完成前一步，才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的. 确定性(有效性、精确性)：算法中每一个步骤应当是确定的，而不能应当是含糊的、模棱两可的.即应当能有效地执行，并得到确定的结果. 有穷性(有限性)：一个算法应包含有限的操作步骤，而不能是无限的.即必须在执行有穷次运算后结束. 不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有惟一的一个，可以有不同的算法，这些算法有繁简、优劣之分. 普遍性：很多具体问题，都可以设计合理
7、的算法去解决. 说明：算法必须能在计算机上执行,若没有输出的算法,则计算机在运行后就没有最后的结果,这样的算法是没有意义的.,算法(algorithm)一词源于算术(algorism)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程.后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法. 广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序. 菜谱是做菜肴的算法；洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法；歌谱是一首歌曲的算法.解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等. 算法是机械，有时要进行大量重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”，其最大的优点是可以让计算机
8、来完成.,例1：给出求1+2+3+4+5的一个算法,例1 给出求 的一个算法；,解：算法步骤，按照逐一相加的程序进行.,第一步 计算1+2,得到3;,第二步 将第一步中的运算结果3与3相加,得到6；,第三步 将第二步中的运算结果6与4相加,得到10；,第四步 将第三步中的运算结果10与5相加,得到15；,五、例题讲解,解:我们用消元法求解这个方程组,步骤是:,第二步:解得y=-1,第一步: -2得3y=-3 ,第三步:将y=-1代入，解得,也可用代入消元法求解.,给出求解下列方程组的一个算法.,第一步：(1)B2-(2) B1,得 (A1B2-A2B1)x=B2C1-B1C2. （3）第三步：
9、(2)A1-(1) A2,得 (A1B2-A2B1)y=A1C2-A2C1. （4）第五步：得到方程组的解为,例3( P3)(1)设计一个算法，判断7是否为质数. (2)设计一个算法，判断7是否为质数.,算法分析：依次用26除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数. (1)解：算法步骤如下： S1:用2除7，得到余数1.因为余数不为零，所以2不能整除7. S2:用3除7，得到余数1.因为余数不为零，所以3不能整除7. S3:用4除7，得到余数3.因为余数不为零，所以4不能整除7. S4:用5除7，得到余数2.因为余数不为零，所以5不能整除7. S5:用6除7，得到余数1.因为
10、余数不为零，所以6不能整除7. S6:用2除7，得到余数1.因为余数不为零，所以2不能整除7. 因此，7是质数.,（2）类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法. (1)解：算法步骤如下： S1:用2除35，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除35. S2:用3除35，得到余数2.因为余数不为0，所以3不能整除35. S3:用4除35，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除35. S4:用5除35，得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35. 因此，35不是质数.,例3( P3)(1)设计一个算法，判断7是否为质数. (2)设计一个算法，判断7是否为质数.,探究：你能写出“判断整数
11、n(n2)是否为质数”的算法吗？.,算法分析：根据质数的定义(只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数)，很容易设计出下面的步骤： 第一步：依次从2（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数； 若没有这样的数，则n是质数这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法. 解法二：见课本P4.,例4 两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡1 个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳.试问他们怎样渡过河去？请写出一个渡河方案.,第一步: 两个小孩同船过河去；,第二步：一个小孩划船回来；,第三步：一个大人划船过河去；,第四步：对岸的小孩划船回来；,
12、第五步：两个小孩同船渡过河去；,第六步：一个小孩划船回来；,第七步：余下的一个大人独自划船渡过河去；对岸的小孩划船回来；,第八步：两个小孩再同时划船渡过河去.,渡河方案:,P5. 练习：,1.任意给定一个正实数，设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积. 解:算法步骤为 第一步：输入任意一个正实数r; 第二步：计算以r为半径的圆的面积S=r2; 第三步：输出圆的面积S.,2.任意给定一个大于1的正整数n，试设计一个算法求出n的所有因数.,解：算法步骤为 第一步：依次以2(n-1)为除数去除n，检查余数是否为0. 若是，则是n的因数；若不是，则不是n的因数； 第二步：在n的因数中加入1和n； 第三
13、步：输出n的所有因数.,六、小结与作业：,本节课主要讲了算法的含义，算法通常指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤. 广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序.平时不论我们做什么事都离不开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言. 在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序. 算法具有以下特性：(1)有穷性；(2)确定性； (3)程序性；(4)不惟一性；(5)普遍性. 作业： 1. 写出求12345的算法 . 2.写出求过两点M(-3,-1)、N(2,5)的直线与坐标轴围成面积的一个算法.,1. 写出求12345的算法 .,步骤1：先求12，得到结果2；,步骤2：将步骤1得到的结果2再乘以3，得到6；,步骤3：将步骤2得到的结果6再乘以4，得到结果24；,步骤4：将步骤3得到的结果24再乘以5，得到120.,2.写出求过两点M(-3,-1)、N(2,5)的直线与坐标轴围成面积的一个算法.,第一步：取x1= -3，y1= -1，x2=2，y2=5；,第五步：计算,； 第六步：输出运算结果S.,第二步：计算,第三步：在第二步结果中令x=0得到y的值m， 得直线与y轴交点(0,m)；,第四步：在第二步结果中令y=0得到x的值n， 得直线与x轴交点(n,0)；,
