1、第三章对偶线性规划与灵敏度分析,第三章对偶线性规划与灵敏度分析,线性规划的对偶问题 线性规划的对偶理论 对偶解的经济解释 对偶单纯形法 敏感性分析,线性规划的对偶问题,对偶问题的提出 如何将原问题转化为对偶问题 原问题与对偶问题的对应关系,对偶问题的提出,对偶理论是线性规划的内容之一。任何一个线性规划都有一个伴生的线性规划，称之为原规划的对偶规划问题。下面通过实例引出对偶问题，然后给出对偶线性规划的定义 家具厂线性规划模型 该问题站在家具厂管理者的角度追求销售收入最大,例：生产计划问题,胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子售价50元，椅子售价30元，生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。
2、生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。该厂如何生产才能使每月销售收入最大？,家具厂的另一个模型,考虑另一种问题：一个企业家有一批待加工的订单，有意利用该家具厂的资源来加工他的产品，该企业家试图劝说家具厂管理者将资源组给他。 他的目标是什么？ 很明显，目标是他所付的租金最少。,租赁者模型的目标函数,设y1为每个木工工时的租金，y2为每个油漆工工时的租金，则得到租赁者的目标函数是使租金最小化： 租金=木工租金木工工时+油漆工租金 Min 120y1+50y2 租赁者希望所付的租金越少越好。,租赁者模型的约束条件,所付租金应不低于家具厂利用
3、这些资源能获得的利益，模型应有一下约束： 1）生产桌子等价的租金桌子价格4y1+2y2 50 2）生产椅子等价的租金椅子价格3y1+y2 30 租金应大于零y1，y2 0,租赁者的完整模型,家具厂与租赁者所面临的数学模型都是线性规划，它们在结构上具有某些对称性，称后一个线性规划为原规划的对偶问题。,两个模型的区别与联系,联系：都是关于家具厂的模型，使用相同的数据 区别：反应的内容不同，前者站在家具厂立场追求家具厂收入最大；后者则站在家具厂对手的立场上寻求付给家具厂的租金最少。 前一个是原问题，后一个是对偶问题,对偶问题的界关系,用图解法解租赁问题 在最优情况下，家具厂的最优收入应等于租赁者愿意
4、支付的最小租金。 目标函数互为上下界。 租赁者了解家具厂资源可创造的价值，他付给家具厂的租金至少要大于家具厂利用该资源可创造的价值，因此家具厂模型（最大）的解是租赁者模型（最小）的一个下界。,对偶问题的界关系,家具厂了解自己手里的资源可创造的价值，只有当租赁者支付的租金大于该价值时才会出让手中的资源，因此，租赁者模型的解是家具厂模型的一个上界。,例：营养配餐问题,假定一个成年人每天需要从食物中获取3000大卡的热量，55可蛋白质和800毫克的钙，市场上只有四种食品可供选择。它们每公斤所含热量和营养成分以及市场价格见下表。问如何选择才能在满足营养的前提下使购买食品的费用最小。,食物营养表,营养配
5、餐模型,决策变量：xj每天购入j种食品数量 目标函数：每天采购成本最小约束方程：满足每天的营养要求满足3000大卡的人量要求,满足蛋白质摄入量要求：满足钙摄入量要求：非负约束：采购量不能为负值,营养配餐问题的完整模型,某生产减肥食品的公司生产三种可代替食品中热量、蛋白质和钙的营养素，希望产品既有市场竞争力，又能带来最大的利润，需构造模型研究定价问题。 模型变量为营养素单位营养量的价格； 目标函数应反映销售收入最大的目标； 约束反映市场竞争条件：购买与食品营养价值相同的营养素的成本应小于食品价格,变量设置y1：单位热量营养素价格；y2：单位蛋白质营养素价格y3：单位钙营养素价格；,目标函数：满足人一天需要的营养素的销售收入最大：热量需求量单位热量营养素价格+蛋白质需求量单位蛋白质价格+钙需求量单位钙营养素价格max：3000y1+55y2+800y3,约束：购买与猪肉、鸡蛋、大米和白菜营养价值等价的营养素成本应不高于它的价格：,配餐问题与对偶问题的比较 对偶问题的定义见书P47,如何将原问题转化为对偶问题,原问题和对偶问题有很多内在联系，它们之间存在严格的对应关系； 目标函数类型之间的对应关系； 目标函数系数与右边项的对应关系； 约束系数矩阵之间的对应关系； 约束类型与变量类型之间的对应关系；,
