1、1专题 1 函数的性态研究 （3 课时）林贤数【考点透视】1、函数的性质主要涉及函数的定义域、对应法则，值域（最值） 、奇偶性、单调性、周期性、对称性以及反函数的概念及性质。在高考试题中常以选择题、填空题的形式出现，有时也以函数内容为主的综合性解答题的形式进行考查。函数是一种思想，它重在渗透。函数的图象是函数的直观体现，运用函数的图象研究函数的性质是高考命题的热点之一。函数由定义域和对应法则所确定，函数的值域由函数的定义域所确定，函数的单调区间是定义域的子集，奇（偶）函数的定义域必须关于原点对称，在解题时，应重视定义域在解决函数问题中的作用。函数的综合运用主要是指综合运用函数的知识，思想和方法
2、解决问题。近年来，高考试题中经常在函数与其他方面知识的交汇点编制试题，这样的试题通常以中高档题的形式出现。对函数以及函数思想方法应用的考查是数学高考的一大热点和亮点。解函数综合题首先要仔细审题，弄清题意，然后把握问题的本质，展开广泛的联系，再是要运用转化和化归、分类讨论等数学思想，将一个较为复杂的问题转化为一次、二次函数的问题加以解决。解函数综合问题，还必须要加强对向量、导数等新增内容与函数的交汇问题的剖析和训练，熟练掌握用导数的工具来研究函数的有关性质，因为这将是高考考查的一个新的着眼点。2、五年科学归纳时间 题号 分值 题型 高考要求考试内容 能力等级1 5 选择 理解 映射的概念 A6
3、5 选择 应用 实际问题的应用 C19 6 解答 应用 函数的单调性 C200021 12 解答 应用 应用题、函数的最值 C10 5 选择 掌握 单调性 B200122 12 解答 应用 函数的性质 C9 5 选择 掌握 单调性 A10 5 选择 掌握 函数图象 B13 4 填空 掌握 对数的性质 B200216 4 填空 应用 函数的性质 C3 5 选择 理解 函数概念 B200319 12 解答 应用 指数函数的单调性 C2004 2 5 选择 理解 函数的奇偶性 B24 5 选择 理解 反函数 B3、合理预测单调性、性质会在解答题中出现。分值会在 1015 分左右。一、 2004 高考
4、题汇总【高考风向标】以客观题的形式考查函数的概念、性质和图象。（一）选择题1 (2004. 天津卷)若函数 在区间 上的最大值是最小)10(log)(axf 2,a值的 3 倍，则 =( A )a(A) (B) (C) (D) 424122. （2004.江苏）设 k1，f(x)=k(x-1)(xR) . 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y=f(x)的图象与 x 轴交于 A 点，它的反函数 y=f -1(x)的图象与 y 轴交于 B点，并且这两个函数的图象交于 P 点. 已知四边形 OAPB 的面积是 3，则 k 等于 ( B )(A)3 (B) (C) (D)32 43 653(2004
5、.全国理)已知函数 （ )(.)(.1lg)( afbfxf 则若B ）Ab Bb C D1b4(2004.全国理)函数 的反函数是 （ B ）)1(xyAy= x22 x+2(xf(cos1)C f(cos 32)f(sin2)10 （2004. 重庆理）一元二次方程 有一个正根和一个负210,()axa根的充分不必要条件是： （ C ）A B C D0a0111 （2004. 辽宁卷）对于 ，给出下列四个不等式 D1a )(log)1(logaa)(log)1(logaa 其中成立的是A与 B与 C与 D与12 （2004.湖南理）设 是函数 的反函数，若)(1xf )1(log)2xf，
6、则 的值为 （ B ）8)(1)(bfaf baA1 B2 C3 D 3log213 （2004.湖南理）设函数 则,)(,0)4(.,0,)(2 ffxcxf 若关于 x 的方程 解的个数为 （ C ）xf)(A1 B2 C3 D414 （2004.湖南理）设 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当)(,xgf时， 且 则不等式 的解集是 （ 0x0)()(xgf ,0)(xgfD ）A B),3(),( )3,(0,(C D4（二）填空题15 （04. 上海春季高考）方程 的解 _.21)3(lgxx16 （04. 上海春季高考）已知函数 ，则方程 的解)24(lof 4)(1xf_.1
7、x x1(x0)，17 （2004. 福建理）设函数 f(x)= a (x=0). 在 x=0 处连续，则实数 a 的值为 1/2 .18 （2004. 福建理）如图 1，将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为 2/3 时，其容积最大.19、 （2004.上海理）若函数 f(x)=a 在0,+)上为增函数,则实数2bxa、b 的取值范围是 a0 且 b0 .20、 （2004. 人教版理科）设函数 ，则使得 的1,4)()2xxf 1)(xf自变量 的取值范围为（ ）xA、 B、 C、 D、10,2,
8、1,02,0,2,0二、错解分析1已知函数的值域。222()logl(1)log(),1()xf xpxf求 的 定 义 域 ;(2)求 fx误解（1） 2loglog1)(,f pp()x的 定 义 域 为 (-,)（2）2222221 (1)logllog()log()4f xpxx()l().4pp2),logfx的 值 域 为 -+1-错因剖析 求函数的定义域不能随意化简函数，一定要确保函数解析式的5等价变形，其次求函数的值域一定要考虑到函数的定义域。2已知函数 上是增函数，求实数 a 的取值21log()yxa在 区 间 (-,2)范围。误解： 220,40,4.xaa则 解 得又
9、2()ax在 时 是 减 函 数 2,2.a即综上所述 4.错因剖析 本题不需要 上20xax对 一 切 实 数 恒 成 立 ,只 要 在 x(-,)有 20.xa就 可 以 了3试比较下面两个问题的差别：（1）若函数 的定义域为 R，求 a 的取值范围；2log()yxa（2）若函数 的值域为 R，求 a 的取值范围。2错解：（2） 0三、焦点透视考试大纲强调数学科命题，注重“对数学基础知识的考查” ， “注重学科的内在联系” 。高考数学试题已形成“重基础、出活题、考能力”的格局。因此在第二轮复习中要注重各知识板块进行纵横联系，寻找其共同点，从学科整体意义上建构盘根错节的知识网络，从而使学生
10、明确知识的运用情境及其来龙去脉，使学生对基础知识做到深刻理解、熟练掌握和灵活运用，以致在解决问题的活动中达到“该出手时就出手” 。【高考风向标】以解答题的形式综合考查二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、分式函数、分段函数的定义、性质、图象及应用。注重知识板块的综合考查。聚焦一：函数内综合的板块函数的性质和图象相结合的综合板块是我们要关注的重点之一。单调性是复习的重点，指数函数、对数函数具有融合函数性质、指数函数、对数函数的运算、指数函、对数不等式于一体，是一个好载体。例 1(苏)、已知函数 f(x)的图象与函数 。1()2(0,1)hxA的 图 象 关 于 点 对 称（1）求 f(x)的解析
11、式；（2）若 且 g(x)在区间（0，2）上为减函数，求实数 a 的取()agxfx值范围。【思路导引】：对称的问题可以通过图象或求轨迹中坐标转移代入法来求解，单调性可以根据定义或求导的方法。6解：（1）设 图象上的点，它关于 A（0，1）对称的点为0(,)()Axyhx为P（x、y）在 y=f(x)上00001222yyx代 入得： 1x()f（2） 在区间（0，2）上为减函数。()ag法一：由基本不等式 13xa即 可法二： 22()1)(0(,2).gxaxA在 上 恒 成 立2.a恒 成 立 3链接题：已知函数 f(x)的图像与函数 的图像关于点 A（0，1）对称：1()2hx求 f(
12、x)的解析式.若 求实数 a 的取值范围.().()gxfaxgA且 在 区 间 0,上 为 减 函 数 ,解：（1） 1（2） 2()gxax在 (,2上 为 减 函 数 开 口 向 上即 可 4a链接题：函数 22()(4)84(),()1.fxaxaxRgfxx与 的 图 像 关 于 直 线 对 称（I）求 g(x).（II）如果关于 x 的不等式 (),.ga的 解 集 是 全 体 实 数 求 的 最 大 值解：（1） 22()2)4)(84gfxax48x a22a（2） 0.恒 成 立 22(41)0xx2(41)18aa72180a126amax16例 2、设 .24,(),()
13、1xRfxfA为 奇 函 数 且（1）试求 f(x)的反函数 f1 (x)的解析式及 f1 (x)的定义域；（2）设 求实数 k 的取值范2()log,()23xfxgk若 时 恒 成 立围。【思路导引】：求函数的解析式及反函数；恒成立的问题利用单调性。解：（1） 2().1xaf为 奇 函 数 (0)f20a21xfy12xy121()logxf (,)（2） 21,log3xxk时 l 恒 成 立 .首先 10k().1恒 成 立恒成立22()xxx259k503k链接题：设 a、b、 ，且 定义在区间（b，b）内的函数cR2,a1()lg.2xf是 奇 函 数（1）求实数 b 的取值范围
14、；（2）讨论函数 f(x)的单调性。解：（1） 0(,)由 1()lg02axfxf2214axa22lg1f x(,)10,b（2） ()11()llg()2fxx,上 为 减 函 数 证 明 略链接题：8设函数 ，其中()log(1)afxx01.a（1）证明 f(x)是（a，+）上的减函数；（2）解不等式 f(x)1.解：（1） 01x增 函 数 ()fx减 函 数（2） ax0a或又 log(1)laa(1)10axx,解 集 为例 3、定义在 R 上的函数 ()(2)(,1,.fxffx3满 足 且 当 时 ,=（1）求 f(x)在1，5上的表达式；（2）若 |(), .AxfaRA
15、a求 实 数 的 取 值 范 围【思路导引】：函数的奇偶性、周期性、求解析式同时存在，可以结合图象来辅助研究。略解：（1）T=4 31,()xfx时3,5()4f时（2）若 f(x)a 有解，只要 a0，求动点 P(x, )的轨迹 C；p（2） 过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 L 与轨迹 C 交于不同的两点 A,B，若|AB|2p，求实数 a 的取值范围。【思路导引】创新题，理解信息题的含义，数形结合来解题。略解：（1）y 2=2px (2)-p/23，求点 P 到直线AA距离的最小值及取得最小值时点 P 的坐标；（3）命题“若定义在 R 上的奇函数 f(x)的图象上存在有限个不动点
16、，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，试给予证明，并举出一例；若不正确，试举一反例说明。略解：（1） 22330()xaxbab有 相 异 号的实根。 12x340,ba且03ab且（2） 的方程为 x28=0(,)(,)A 381, 3lyxfx设 0(,)P0()00 00 0111|3| 6|(3)6|3842222xxxd等号当且仅当 00,4(4,)P（3）若 y=f（x）为奇函数，则必有 f(0)=0， 为不动点(0,)又 00 0,()(,).fxx若 为 的 不 动 点 则 也 为 不 动 点必成对出现的共奇数个如： 3(,)1(,)yx的 不 动 点【热点冲刺】 （4）函数与
17、方程、不等式网络。例 11、已知函数 2()(0).faxbcb且（1）若 ，试求 f(x)的解析式；|(0)|1|1f（2）令 的图像在 x 轴上截得的弦的长度为 ，,(),()gxgfx若 又 l17且 ，试确定02lcb的 符 号 .解：（1） |()|01,1|()|1,facfc若 则 必 有 ()11() 2()bafabaf b bf=与 不 同 点 或2()1fx（2） 21211()0,|()42cgablxxa21,()cfxca2240,2,1bbl又 又 对 称 轴 为则必有 (0),.fc为 正 数四、思维能力训练（所有题目均选自 2004 全国各地模拟卷）思维能力训
18、练（一）1若函数 的定义域是 则该函数的值域是（ ）2xy1,23PA、2，4，6 B、2，4，8 C、1，2，log 32 D、0,1,log 232周长为定值 的扇形，它的面积 S 是它的半径 R 的函数，则函数的定义a域是（ ）A、 B、 C、 D、(,)(,2)(,)21a(0,)21a3将函数 的图像 C 向左平移一个单位后，得到 的图像3yxa yfxC1，若曲线 C1关于原点对称，那么实数 的值为（ ）aA、1 B、1 C、0 D、34函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数，又是以 2 为周期的周期函数，若 f(x)在-1，0上是减函数，那么 f(x)在2，3上是（ ）A、增函数
19、 B、减函数 C、先增后减的函数 D、先减后增的函数5已知函数 的最大值为 7，最小值为1，则此函数的解2431mxny析式为（ ）A、 B、27x22434371xxyy或18C、 D、25431xy2254314351xxyy或6设 是奇函数，那么 ab 的值是()lg0)x xbfa是 偶 函 数 ,g()=_.7已知函数 f(x)的图象与 的图象关于直线 y=x 对称，令 h(x)()2x=f（1|x|） ，则关于函数 h(x)有下列命题：h(x)的图象关于原点（0，0）对称；h(x)的图象关于 y 轴对称；h(x)的最小值为 0；h(x)在区间（1，0）上单调增。其中正确的命题是_（
20、把正确命题的序号都填上） 。8 已知 f(x)是 R 上的奇函数，且_。()(),(12)(32fxfff则9在函数 若 a、b、c 成等比数列，且 f(0)=4，则xab中 ,f(x)有最_值（填“大”或“小” ） ，且该值为_。10已知 的反函数是 ,设点()2f1()yfx12(,)(,PxayQ图象上不同的三点。13(2,)Rayx是（I）若存在正实数 x 使 成等差数列，试用 x 表示 a；123,（II）在（I）的条件下，如果实数 x 是惟一的，求 a 取值范围。11设函数 22()1().fxnx（1）求 f(x)的单调区间；（2）若 ,e当 时 不 等 式 f()0 时 f(x
21、)是增函数，当 x1 时 f(x)没有反函数。其中正确命题的序号是_。 （注：把你认为正确的序号都填上）7已知 y=f(x)是偶函数，当 x0 时 当 时，记 f(x)的4().fx3,1x最大值为 m，最小值为 n，则 mn=_。8已知实数 z=m 满足不等式 试判断方程31log()0,2x有无实根，并给出证明。2230y209.设函数 f(x)的定义域为 R，对于任意实数 x，y 总有()(),0fxyfyx当 时 1；（）证明：f(x)在 R 上单调递减，并举两个满足上述条件的函数 f(x)；（）若 2|()1(),|(1),MyfafNyfaxyxR.,Na且 试 求 的 取 值 范 围10已知 11,)(,()432.2tttttxyf（1）求 f(x)的表达式及定义域、值域；（2）设平行于 y 轴的直线交函数 y=f(x)的图象于 P 点，交直线 y=2x1于 Q 点，求|PQ|的最大值。
