1、第五章 FIR 滤波器的设计附加题1. 一 FIR 数字滤波器的传输函数为 1234()430Hzzz求 、幅度 、和相位 。hn()()解： ()(1),5hnNn234|4301cos(2)cs()5jj jjjjze jHeee1()cos(2)cos()25H或者： ()Nanh 0120rH()()cosNna2. 一个 FIR 线性相位滤波器的 h(n)是实数，且 n6 时，h(n)=0。如果 h(0)=1 且系统函数在和 z = 3 处各有一个零点，求 。30.5jze ()Hz解：根据题设，在零点 的共轭、倒数也是零点，30.5jze因此可分别构建二阶子系统：，113312()
2、.)(.)2j jjjHzezez同理，零点 z = 3 的倒数 z=1/3 也应是零点，可构建：11()3)()zz所以， ，再由 h(0)=1，A=1 。123()()()HzAzH3. 如图所示 h1(n)为 N=8 的偶对称序列，h 2(n)为其循环右移 4 位后的序列。设 H1(k)=DFT h1(n) ，H 2(k)=DFT h2(n) （1）问 | H1(k)| = | H2(k)| 吗？ 与 的关系是什1()k2()么？（2）若 h1(n)、h 2(n)各构成一个低通滤波器，问它们是否是线性相位的？延时分别是多少？（3）两个滤波器的性能是否相同？0 1 2 3 4 5 6 70
3、12340 1 2 3 4 5 6 701234h1(n) h2(n)解：1) 因为 h2(n)8 = h1(n-4)8，所以 H2(k) = H1(k)W84k，因此， |H2(k) |=| H1(k)|， 21()()kk2）h 1(n)、 h2(n)各构成低通滤波器时， 由于满足偶对称，因此都是线性相位的，延时为： 3.52N3）为了判断性能，求各自的频率响应幅度函数，根据线性相位及 N=8，有/21030301()()cos)272()cos)7/(15/2)(cos3/2)(cos/2)NnnnHhnhnhh分别令：h1(0)=h1(7)=1，h 1(1)=h1(6)=2，h 1(2
4、)=h1(5)=3， h1(3)=h1(4)=1；h2(0)=h2(7)=4，h 2(1)=h2(6)=3，h 2(2)=h2(5)=2， h2(3)=h2(4)=1；可得： 12()cos(7/2)cos(5/2)3cos(/2)4cos(/2)43H画图，H1H2H1(w)比 H2(w)阻带衰减小，但通带较 H2(w)宽。4. 用矩形窗设计一线性相位 FIR 低通数字滤波器0()jacjdceH（1）求 hd(n)；（2）求 h(n)，并确定 a 与 N 的关系；（3）讨论 N 取奇数和偶数对滤波器性能有什么影响。解：（1）()sin()11()()22jjnjn cddhnHeed （2
5、）为了满足线性相位，要求 ，加窗后12N()0()()ddNhnhnRothers（3）N 为偶数时，其幅度 关于 奇对称，()H，不能实现高通和带阻滤波特性；()0HN 为奇数时， 关于 偶对称，能实现()0,2各类滤波特性。5. 设计一个线性相位FIR 低通滤波器，给定抽样频率为,通带截止频率为42*1.50(/sec)spirad，阻带起始频率为3，阻带衰减不小于-50db。(/sec)sir解：(1) 通带截止频率为 pifwsp*2.0阻带起始频率为 .4tsif阻带衰减为 50db(2)求 h(n)。其 他0)( cjwajwdeH()sin()11()()22jjnjn cddh
6、need 其中，a 是线性相位所必需的位移，应满足 。21Na而 1()0.32cps3)求窗函数。由阻带衰减 确定窗形状，由过渡带宽确2定 N。由于 ，查表可选汉明窗，其阻带衰减-53db 满50db足要求。所要求的过渡带宽 0.2sp由 Npiw*6.所以 3.i162a2()0.54.cos()nwnN(4）求 h(n)。所以， sin0.3(16)()() *0.54.6cos()032- 1d nhnw（6. 选择合适的窗函数设计 FIR 数字滤波器：通带衰减为 0dB，阻带衰减为-40dB ，通带边缘频率为 1kHz，阻带边缘频率为 2.5kHz，采样频率为 12kHz。（1）求所
7、选窗及 N；（2）选择要用于设计的通带边缘频率；（3）画出滤波器形状。解：（1）阻带衰减为-40dB，查表知汉宁窗符合要求。已知 fs=12kHz，且过渡带宽 ，2.51.fkHz于是 6.26.2sfNN所以， 3.1(/)4.8,5sf取（2）边缘频率 2175dpfkHz（3）d B0- 1 0- 2 0- 3 0- 4 01 2 3k H z7. 设计一低通滤波器，其模拟频率响应的振幅函数为 10|50)ALfHzHj（ 其 他用矩形窗设计数字滤波器，数据长度为 10ms，抽样频率 fs=2kHz,阻带衰减分别为-20dB ，计算出数字滤波器的过渡带宽。解：数字滤波器的截止频率： 25
8、02ccsfw数字滤波器的理想特性 0|/2)jwaDLeHj （ 其 他式中，a 是保证 h(n)为因果序列所加的时移，且a=(N-1)/2 /2()11sin()/2()()2jjnjnddhnHeed 而， )()()( nwhnNd式中 为矩形窗；N 为正确的时宽。w数据长度 tp=NT=10ms,由 T=1/2000s可得 N=20 + 1 =21于是sin()2()()(21)ahun8. 用窗函数法设计第一类线性相位 FIR 高通数字滤波器。已知 3dB 截止频率为 ，阻带最小衰减34radAs=-50dB，过渡带宽 。16解：高通数字滤波器 |()0jaj cdeHothers
9、1()()2121sin()sin()()ccjjnddjjnjjnchneed 由题设知 34c阻带最小衰减 As= - 50dB，查表汉明窗符合。 2()0.54.6cos(),011nwn NN6105.6,=107/N取所以， ()(),016dhnwnn9. 用矩形窗设计一个线性相位高通滤波器() |()0jwajwcdewH其 他求出 h(n)的表达式，确定 a 与 N 的关系。问有几种类型，分别属于哪一种线性相位滤波器。解：（1） () ) ) )()2112 2(1 (jwjnddcjjnjwjncjjwjwcj j jwchnHededeeen （ （ n- （ n-（ n-
10、 （ n-)()ccSa为保证线性相位， 2/)1(Na其 他01)()( NnhnRhndd（2) N 为奇数， 为整数， 对 a 偶对2/)1(Na)(nhd称即有 ()hnn为第一种类型的线性相位滤波器。0 5 10 15 20 25-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.15N 为偶数， 不为整数， 对 a 奇对2/)(Na)(nhd称即有 ()-(1)hnn为第四种类型的线性相位滤波器。0 5 10 15 20 25-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.510.用汉明窗设计一个线性相位带通滤波器00|()0,jwjw
11、c cdewwH 求 h(n)的表达式，设 。51,.0,2.0Nwc 解： dweHnhjnjdd)(21)( deejnwjwjnj cccc 0000 2121 )()()()( 0000)( cccc wnjwnjnjwnj eeeenj )(si()(si()(1 00 cc)os()sin()(2 0wnwc采用汉明窗设计时 其 他0 10)cos()sin()(2)1cos(46.05.)( NnwnNnnh 其中 2-带入 N=51，得 。511.用矩形窗设计一线性相位 FIR 带通数字滤波器00|()jaj ccdeHothers （1）求 N 为奇数时的 h(n)；（2）求
12、 N 为偶数时的 h(n)。解：（1) N 为奇数时，h(n)=h(N-1-n)为第一类滤波器。理想单位冲激相应 hd(n)为：0 001()()212()cos()()1()()0c cjjnddjjn jjncddNhnHededSahnNhnRothers 都关于 偶对称，所以 hd(n)0(),cos()Sann也偶对称，为保证线性相位满足 。12N（2）N 为偶数时，h(n)=h(N-1-n)为第二类滤波器。有和（1）一样的结论。12.用汉明窗设计一线性相位 FIR 带通数字滤波器00|()jaj ccdeHothers（1）求 N 为奇数时的 h(n)；（2）求 N 为偶数时的 h
13、(n)。解：过程同第 5 题，有相似的结论。用汉明窗 Wham(n)取代矩形窗 RN(n)。 2()0.54.6cos()1hamnWnN13.如果一个线性相位带通滤波器的频率响应为 ()()j jBPBPHee（1）证明一个线性相位的带阻滤波器可以表示成 ()()1,0j jBRBPee（2）请用 来表示 。Phn(Rhn证明：（1） ()()j jBPBPHee00,)1ccc而 000,()ccBR c且 又是线性相位，因而 ()()1BRBPj jHee(2）()()1()(212jnBPBPjjnRjjnBPhnHedeedh是线性相位()(a) 令 12N1sin()2() ()B
14、R BPNhhn（b) 令 1()21sin()2()()BPBRBPNhnNhn为 偶 数为 奇 数14.试用频率抽样法设计一个 FIR 线性相位数字低通滤波器，已知 。51,5.0Nwc解：根据题意有其 他01)( cjwd weH则有251130)( NkwIntkHc所以1225sin5()sin51()sin() 2()jwjwkwkwkHe 15.利用频率采样法设计一线性相位 FIR 低通滤波器，给定 N=21，通带截止频率 rad。求出 h(n)，15.0cw为了改善其频率响应应采取什么措施？解：（1）确定希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数 ：)(jwdeHweHjwjwd 1
15、5.0.)(其中 102N（2）采样 1202 1,1()() 0NjkjkjkNddeeHke（3) 求 h(n): kn10()()( NNkdd WHkHIDFTnh ）202201111 2j jnneWe240(10)211 jnjjnee因为 ，njnjnjjj eeee 21)214(21402102140, 所以 22(10)(10)1 2() cos(10)jnjnhnee n 为了改善阻带衰减和通带波纹，应加过渡带采样点，为了使边界频率更精确，过渡带更窄，应加大采样点数N。16.已知 N=7 的 FIR 滤波器冲激响应为：(0)(6)2,(1)5)2,()(4)1hhh画出
16、其线性相位结构图，说明其幅度和相位的特点。解：h(n)满足 h(n)= - h(N-1-n)，因此 FIR 滤波器具有第三类线性相位特性，即，又 N=7 为奇数，其幅度关于1()2N奇对称。0,结构如图：x ( n )z- 1z- 1z- 1z- 1z- 1z- 12- 2y ( n )- 1 - 1 - 117.用窗函数法设计满足图示指标的线性相位 FIR 数字滤波器，并画出其线性相位结构示意图。(各窗函数对应的特性如表所示)| H ( e j w ) |0 d B- 4 2 d B0 . 1 5 0 . 2 5 0 . 3 5 0 . 4 5 0 . 7 5 0 . 8 5 w 01h(n
17、) 呈偶对称， N 为奇数，其线性相位结构图为： 18.利用窗函数法设计一个线性相位 FIR 带阻滤波器，阻带衰减不小于-51dB，其性能指标要求如图所示，并画出其线性相位结构示意图。(各窗口对应的阻带衰减如表所示)0 .30.4.50.6()jdHe 1解： （1） 阻带衰减 ，选汉明窗。51dB过渡带宽： 0.4.30.6.50.1截止频率：10.3.40.352.6clchw2) 求 DTFT 反变换，由此可得 hd(n) 为 12sin()sin()sin()ch cll chjwjnddwj jwjwnclhnHeeded 3)过渡带确定 N:汉明窗其过渡带宽为 6.wN所以 ，取 N=676.01N4）截短，移位（M=(67-1)/2=33）后确定 h(n) 为sin(3).5sin(3)sin(3)0.5h 0.46cos,12.3wN5）最后为 nwhndh(n) 呈偶对称， N 为奇数，其线性相位结构图为：1z1z 1z1z1z 1z(0)h()(2)h3()2Nh()2h()xnyn
