1、24.3 正多边形与圆教学目标：1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；4、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系。难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形。过程：一、情境创设：观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？提问：1等边三角形的边、角各有什么性质？2正方形的边、角各有什么性质？二、探索活动：活动一 观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念概念： 叫做正多边形。（注：各边相等与各角相等必须同时成立）提问：矩形是正
2、多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？如果一个正多边形有 n(n3)条边，就叫正 n 边形等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形活动二 用量角器作正多边形，探索正多边形与圆的内在联系1、用量角器将一个圆 n（n3）等分，依次连接各等分点所得的 n 边形是这个圆的内接正 n 边形；圆的内接正 n 边形将圆 n 等分；2、正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的中心。活动三 探索正多边形的对称性问题：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出它的对称轴；如果是中心对称图形，找出
3、它的对称中心。问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆圆心就是正多边形的中心。分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形要将圆六等分呢？你知道为什么吗？思考：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？结论：正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形有 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的 ；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。活动四 利用直尺与圆规作特殊的正多边形问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形。
4、思考：如何作正八边形正三角形、正十二边形？拓展 1：已知：如图，五边形 ABCDE 内接于O，AB=BC=CD=DE=EA求证：五边形 ABCDE 是正五边形拓展 2：各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形？三、典型例题例 1 已知正六边形 ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是 a，求正六边形的周长和面积 （ 分析：要求正六边形的周长，只要求 AB 的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接 OA，过 O 点作 OMAB 垂于 M，在 RtAOM中便可求得 AM，又应用垂径定理可求得 AB 的长正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的 ） 例 2 利用你手
5、中的工具画一个边长为 3cm 的正五边形四、课堂练习1、正方形 ABCD 的外接圆圆心 O 叫做正方形 ABCD 的_2、正方形 ABCD 的内切圆O 的半径 OE 叫做正方形 ABCD 的_3、若正六边形的边长为 1，那么正六边形的中心角是_度，半径是_，边心距是_，它的每一个内角是_4、正 n 边形的一个外角度数与它的_角的度数相等五、课堂小结1、正多边形的概念、正多边形与圆的关系以及正多边形的对称性；2、利用直尺与圆规作一些特殊的正多边形。FDECBAOM303030第8第A正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边
6、心距正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角正 n 边形的每个中心角都等于 五、课堂作业：课时作业纸内容：正多边形与圆 班级 姓名 日期 月 日 一、填空题（每题 3 分，共 30 分）1如图，小亮从 A 点出发，沿直线前进 10 米后向左转 30，再沿直线前进 10 米，又向左转 30，照这样走下去，他第一次回到出发地 A 点时，一共走了 米2如图， 是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点 O（ 与 点重合） 假设硬币的直径为 1 个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点 恰好与数轴上点 重合，则点 A对应的实数是_3如图，将边长为 8
7、cm 的正方形 ABCD 的四边沿直线 l 想右滚动(不滑动)，当正方形滚动两周时，正方形的顶点 A 所经过的路线的长是 cm4如图， 、 、 、 相互外离，它们的半径都是 1，顺次连结四个圆心得到四边形 BCD，则图中四个扇形（阴影部分）的面积之和等于_ （结果保留）5中央电视台大风车栏目图标如图甲，其中心为 O，半圆 ACB 固定，其半径为 2r，车轮为中心对称图形，轮片也是半圆形，小红通过观察发现车轮旋转过程中留在半圆ACB 内的轮片面积是不变的（如图乙） ，这个不变的面积值是_6已知圆锥的侧面展开图是一个半园，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是 7学生小颖自制一个无底圆锥形纸帽，圆锥
8、底面圆的半径为 5cm，母线长为 16c，那么围成这个纸帽的面积（不计接缝）是_ 2（结果保留三个有效数字） ACBO（甲） （乙）OBCA（1） （2）（第 5 题） （第 8 题）AB C(B) DAB C(D)(A)DlACD（第 2 题） （第 3 题） （第 4 题）O BA8图（1） 、图（2）是两种方法把 6 根圆形钢管用钢丝捆扎的截面图设图（1） 、图（2）两种方法捆扎所需钢丝绳的长度是 a、b（不记接头部分） ，则 a、b 的大小关系为：a_b（填“ ” 、 “”或“” ） 9如图，底面半径为 1，母线长为 4 的圆锥，一只小蚂 蚁若从 A 点出发，绕侧面一周又回到 A 点，
9、它爬行的最短路线长是_10如图，O 1 的半径 O1A 是O 2 的直径，O 1 的半径 交 于点 B，则 C和 的长度的大小关系是 二、选择题（每题 3 分，共 24 分）11已知正三角形外接圆半径为 3，这个正三角形的边长是（ ） 2 4 512等边三角形的外接圆的面积是内切圆面积的（ ）2 倍 3 倍 4 倍 5 倍13如图，一块含有 30 角的直角三角形 ABC，在水平桌面上绕点 C 按顺时针方向旋转到 ABC的位置若 BC 的长为 15cm，那么顶点 A 从开始到结束所经过的路径长为（ ） A 10cm B 310cm C 15cm D 20cm14如图， C 的边长都大于 2，分别
10、以它的顶点为圆心，1 为半径画弧（弧的端点分别在三角形的相邻两边上） ，则这三条弧的长的和是（ ） 4 6 15如图，分别以直角ABC 的三边 AB、BC 、CA 为直径向外作半圆，设直线 AB 左边阴影部分面积为 S1，右边阴影部分面积为 S2，则（ ）AS 1 S 2 BS 1 S 2 CS 1S 2 D无法确定16将如右图所示的圆心角为 90的扇形纸片 AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与 OB 重合 (接缝粘贴部分忽略不计) ，则围成的圆锥形纸帽是（ ）17如图，小丽要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为 9cm，底面圆的直径为 10cm，那么小丽要制作的这个圆锥的侧面展开
11、扇形的纸片的圆心角度数是（ ）A150 B200 C180 D24018如图，在半径为 R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个（第 9 题）（第 10 题）ABC ABCBA（第 13 题） （第 14 题） （第 15 题）内切圆中作内接正方形，依此作到第 n个内切圆，它的半径是（ ）A 2()nR B 1()2n C 1()2R D 12()nR三、解答题（共 46 分）19 （8 分）右图的花环状图案中,ABCDEF 和 A1B1C1D1E1F1 都是正六边形.（1）求证:1=2；（2）找出一对全等的三角形并给予证明20 （10 分）如图 1、2、3、n，M、N 分
12、别是O 的内接正三角形 ABC、正方形ABCD、正五边形 ABCDE、正 n 边形 ABCDE的边 AB、BC 上的点，且BM=CN，连结 OM、ON（1）求图 1 中MON 的度数；（2）图 2 中MON 的度数是_，图 3 中MON 的度数是_；（3）试探究MON 的度数与正 n 边形边数 n 的关系（直接写出答案） 21 （10 分）如图 1， MN分别表示边长为 a的等边三角形和正方形， P表示直径为a的圆图 2 是选择基本图形 P，用尺规画出的图案， 2348Sa阴 影 ACBMNO图AB CDOMN图 2AB CDOM NE图 3AB CDOMNEFG图 n9cm10cmA1ABC
13、 DEF2B1C1 D1E1F11（第 17 题） （第 18 题） （第 19 题）（1）请你从图 1 中任意选择两种基本图形，按给定图形的大小设计一个新图案，还要选择恰当的图形部分涂上阴影，并计算阴影的面积；（尺规作图，不写作法，保留痕迹，作直角时可以使用三角板）（2）请你写一句在完成本题的过程中感受较深且与数学有关的话22 （8 分）如图是两个半圆，点 O为大半圆的圆心， AB是大半圆的弦关与小半圆相切，且 24AB问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由23（10 分）如图，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取” 一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径 AB = cm12，高 BC = cm8，求这个零件的表面积 （结果保留 ）图 2aMN图 1
