1、11.已知函数 f（x）= sin（ x）2sin 2 +m（ 0）的最小正周期为 3，当x0，时，函数 f（x）的最小值为 0（1）求函数 f（x）的表达式；（2）在ABC 中，若 f（C）=1，且 2sin2B=cosB+cos（AC） ，求 sinA 的值解：（） 依题意：函数 所以 ，所以 f（x）的最小值为 m依题意，m=0（） ， 在 RtABC 中， ， 0sinA1， 2.已知函数 （其中 0） ，若 f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为 （I）求 y=f（x）的单调递增区间；（）在ABC 中角 A、B、C 的对边分别是 a，b，c 满足（2ba）cosC=ccosA，
2、则2f（B）恰是 f（x）的最大值，试判断ABC 的形状【解答】解：（），= ，f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为 ，T=， ，=1， 得： ，函数 f（x）单调增区间为 ；（）（2ba）cosC=ccosA，由正弦定理，得（2sinBsinA）cosC=sinCcosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C） ，sin（A+C）=sin（B）=sinB0，2sinBcosC=sinB，sinB（2cosC1）=0， ，0C， ， ， ，根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值 ymax=1，此时 ，即 ， ，ABC 为等边三角形3.已知函数
3、 f（x）= sinx+cos（x+ ）+cos（x ）1（0）， xR，且函数的最小正周期为 ：（1）求函数 f（x）的解析式；（2）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，若 f（B）=0， = ，且3a+c=4，试求 b 的值【解答】解：（1）f（x）= sinx+cos（x+ ）+cos（x ）1= = T= ，=2则 f（x）=2sin（2x ）1；（2）由 f（B）= =0，得 或 ，kZB 是三角形内角，B= 而 =accosB= ，ac=3又 a+c=4，a 2+c2=（a+c） 22ac=1623=10b 2=a2+c22accosB=7则 b= 4.已知函
4、数 （1）求 f（x）单调递增区间；（2）ABC 中，角 A，B，C 的对边 a，b，c 满足 ，求 f（A）的取值范围【解答】解：（1）f（x）= + sin2x= sin2x cos2x=sin（2x ），令 2k 2x 2k+ ，kZ，得到 +kx +k，kZ，4则 f（x）的增区间为 +k， +k（kZ）；（2）由余弦定理得：cosA= ，即 b2+c2a 2=2bccosA，代入已知不等式得：2bccosA bc，即 cosA ，A 为ABC 内角，0A ，f（A）=sin（2A ），且 2A ， f（A） ，则 f（A）的范围为（ ， ）5.在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分
5、别是 a，b，c，已知 A 为锐角，且bsinAcosC+csinAcosB= a（1）求角 A 的大小；（2）设函数 f（x）=tanAsinxcosx cos2x（0） ，其图象上相邻两条对称轴间的距离为 ，将函数 y=f（x）的图象向左平移 个单位，得到函数 y=g（x）图象，求函数 g（x）在区间 ， 上值域解：（1）bsinAcosC+csinAcosB= a，由正弦定理可得：sinBsinAcosC+sinCsinAcosB= sinA，A 为锐角，sinA0，sinBcosC+sinCcosB= ，可得：sin（B+C）=sinA= ，A= （2）A= ，可得：tanA= ，f（
6、x）= sinxcosx cos2x= sin2x cos2x=sin（2x ） ，5其图象上相邻两条对称轴间的距离为 ，可得：T=2 = ，解得：=1，f（x）=sin（2x ） ，将函数 y=f（x）的图象向左平移 个单位，得到图象对应的函数解析式为 y=g（x）=sin2（x+ ） =sin（2x+ ） ，x ， ，可得：2x+ ， ，g（x）=sin（2x+ ） ，16.已知向量 ，向量 ，函数（）求 f（x）单调递减区间；（）已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，A 为锐角，c=4，且 f（A）恰是 f（x）在 上的最大值，求 A，b，和ABC的面积 S解：（）=
7、 +1+ sin2x+= sin2x cos2x+2=sin（2x ）+2， ，所以：f（x）的单调递减区间为： 6（） 由（1）知： ， 时， ，由正弦函数图象可知，当 时 f（x）取得最大值 3，（7 分） ， （8 分）由余弦定理，a 2=b2+c22bccosA，得： ，b=2，（10 分） （12 分）7.已知函数 cossin6fxx.（）作出 f在一个周期内的图象；（） abc， ， 分别是 ABC 中角 ， ， 的对边，若 33 12afAb， ， ，求ABC的面积.xf7利用“五点法”列表如下：3x0 232236237653y0 1 0 104 分画出 fx在 5 3， 上
8、的图象，如图所示：（）由（） 3sin2fA，在 ABC 中， 0，所以 3A.由正弦定理可知 siniabB，即 1sini3，所以 1sin2，9 分又 203B， 6， 2C， 31Sab.因此 AC 的面积是 3.12 分88.已知函数 f（x）=（m+2cos 2x）cos（2x+）为奇函数，且 f（ ）=0，其中mR，（0，）（）求函数 f（x）的图象的对称中心和单调递增区间（）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 f（ + ）= ，c=1，ab=2 ，求ABC 的周长【解答】解：（）f（ ）=（m+1）sin=0，（0，） sin0，m+1=0，即 m=1，
9、f（x）为奇函数，f（0）=（m+2）cos=0，cos=0，= 故 f（x）=（1+2cos 2x）cos（2x+ ）=cos2x（sin2x）= sin4x，由 4x=k，kZ 得：x= k，kZ，故函数 f（x）的图象的对称中心坐标为：（ k，0） ，kZ，由 4x +2k， +2k，kZ 得：x + k， +k，kZ，即函数 f（x）的单调递增区间为 + k， + k，kZ，（）f（ + ）= sin（2C+ ） ，C 为三角形内角，故 C= ，c 2=a2+b22abcosC= = ，c=1，ab=2 ，a+b=2+ ，a+b+c=3+ ，即ABC 的周长为 3+ 99.已知向量 =
10、（ sin ，1） ， =（cos ，cos 2 ） ，记 f（x）= （）若 f（x）=1，求 cos（x+ ）的值；（）在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足（2ac）cosB=bcosC，求 f（2A）的取值范围【解答】解：（）向量 =（ sin ，1） ， =（cos ，cos 2 ） ，记f（x）= = sin cos +cos2 = sin + cos + =sin（）+ ，因为 f（x）=1，所以 sin（ ）= ，所以 cos（x+ ）=12sin 2（ ）= ，（）因为（2ac）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinAsinC）cosB=si
11、nBcosC所以 2sinAcosBsinCcosB=sinBcosC所以 2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，sinA0，所以 cosB= ，又 0B ，所以 B= ，则 A+C= ，即 A= C，又 0C ，则 A ，得 A+ ，所以 sin（A+ ）1，又 f（2A）=sin（A+ ） ，所以 f（2A）的取值范围（ 10.已知向量 ，函数 f（x）= 10（1）求函数 f（x）的最小正周期及在 上的值域；（2）在ABC 中，若 f（A）=4，b=4，ABC 的面积为 ，求 a 的值【解答】解：（1）向量，函数 f（x）= =2+ sin2x+2cos2x=3+ sin2x+
12、cos2x=3+2sin（2x+ ） ，可得函数 f（x）的最小正周期为 =，x ，即有 2x+ （ ， ，可得 sin（2x+ ）（ ，1，则在 上的值域为（2，5；（2）在ABC 中，若 f（A）=4，b=4，ABC 的面积为 ，可得 3+2sin（2A+ ）=4，即 sin（2A+ ）= ，由 0A，可得 2A+ ，可得 2A+ = ，即 A= ，由 = bcsinA= 4csin = c，解得 c=1，则 a2=b2+c22bccosA=16+18 =13，即 a= 11.已知函数 f（x）=2sin（x+ ）cosx（1）若 0x ，求函数 f（x）的值域；11（2）设ABC 的三个
13、内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A 为锐角且 f（A）=，b=2，c=3，求 cos（AB）的值【解答】解：（1）f（x）=2sin（x+ ）cosx=（sinx+ cosx）cosx=sinxcosx+ cos2x= sin2x+ cos2x+=sin（2x+ ）+ ；由 得， ， ， ，即函数 f（x）的值域为 ；（2）由 ，得 ，又由 ， ， ，解得 ；在ABC 中，由余弦定理 a2=b2+c22bccosA=7，解得 ；由正弦定理 ，得 ，12ba，BA， ，cos（AB）=cosAcosB+sinAsinB= 12已知向量 （xR） ，设函数 f（x）=1（1）求函
14、数 f（x）的单调增区间；（2 已知锐角ABC 的三个内角分别为 A，B，C，若 f（A）=2，B= ，边 AB=3，求边BC【解答】解：由已知得到函数 f（x）= 1=2cos 2x+2 sinxcosx1=cos2x+ sin2x=2cos（2x ） ；所以（1）函数 f（x）的单调增区间是（2x ）2k，2k，即xk ，k+ ，kZ；已升级到最新版（2）已知锐角ABC 的三个内角分别为 A，B，C，f（A）=2，则 2cos（2A ）=2，所以 A= ，又 B= ，边 AB=3，所以由正弦定理得 ，即 ，解得 BC=13. 23()sinsifxx.13（1）求函数 ()fx的单调递减区
15、间；（2）在 ABC中，角 ,的对边分别为 ,abc，若 ()12Af， BC的面积为 3，求 a 的最小值.试题解析:（1） 131()cos2insi(2)6fxxx，令 262kk，解得 53kk， Z， ()fx的单调递减区间为 5,6（ Z）.14.已知 f（x）= ，其中 =（2cosx， sin2x） ， =（cosx，1） ，xR（1）求 f（x）的单调递减区间；（2）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，f（A）=1，a= ，且向量 =【解答】解：（1）由题意知3 分y=cosx 在 a2上单调递减，令 ，得f（x）的单调递减区间 ，6 分（2） ， ，又
16、 ， ，即 ，8 分14 ，由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA=（b+c） 23bc=7.10 分因为向量 与 共线，所以 2sinB=3sinC，由正弦定理得2b=3cb=3，c=2.12 分15.已知函数 f（x）=2sin（x+ ）cosx（1）若 0x ，求函数 f（x）的值域；（2）设ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A 为锐角且 f（A）= ，b=2，c=3，求 cos（AB）的值【解答】解：（1）f（x）=2sin（x+ ）cosx=（sinx+ cosx）cosx=sinxcosx+ cos2x15= sin2x+ cos2x+=sin（
17、2x+ ）+ ；由 得， ， ， ，即函数 f（x）的值域为 ；（2）由 ，得 ，又由 ， ， ，解得 ；在ABC 中，由余弦定理 a2=b2+c22bccosA=7，解得 ；由正弦定理 ，得 ，ba，BA， ，cos（AB）=cosAcosB+sinAsinB= 16.在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，f（x）=2sin（xA）cosx+sin（B+C）（xR），函数 f（x）的图象关于点（ ，0）对称16（）当 x（0， ）时，求 f（x）的值域；（）若 a=7 且 sinB+sinC= ，求ABC 的面积【解答】解：（）f（x）=2sin（xA）cosx+sin
18、（B+C）=2（sinxcosAcosxsinA）cosx+sinA=2sinxcosxcosA2cos 2xsinA+sinA=sin2xcosAcos2xsinA=sin（2xA），由于函数 f（x）的图象关于点（ ，0）对称，则 f（ ）=0，即有 sin（ A）=0，由 0A，则 A= ，则 f（x）=sin（2x ），由于 x（0， ），则 2x （ ， ），即有 sin（2x ）1则值域为（ ，1；（）由正弦定理可得 = = = ，则 sinB= b，sinC= c，sinB+sinC= （b+c）= ，即 b+c=13，由余弦定理可得 a2=b2+c22bccosA，即 49=b
19、2+c2bc=（b+c） 23bc，17即有 bc=40，则ABC 的面积为 S= bcsinA= 40 =10 17.已知函数 f（x）=2 sinxcosx3sin 2xcos 2x+3（1）当 x0， 时，求 f（x）的值域；（2）若ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 = ，=2+2cos（A+C），求 f（B）的值【解答】解：（1）f（x）=2 sinxcosx3sin 2xcos 2x+3= sin2x3 +3= sin2xcos2x+1=2sin（2x+ ）+1，x0， ，2x+ ， ，sin（2x+ ） ，1，f（x）=2sin（2x+ ）+10，3；（
20、2） =2+2cos（A+C），sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即 sinC=2sinA，由正弦定理可得 c=2a，又由 = 可得 b= a，18由余弦定理可得 cosA= = =，A=30，由正弦定理可得 sinC=2sinA=1，C=90，由三角形的内角和可得 B=60，f（B）=f（60）=218.设函数 f（x）=cos（2x ）+2cos 2x（1）求 f（x）的最大值，并写出使 f（x）取得最大值时
21、x 的集合；（2）求 f（x）的单调递增区间；（3）已知ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f（B+C）= ，b+c=2，求 a 的最小值【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=cos（2x ）+2cos 2x=cos2xcos +sin2xsin +2cos2x= cos2x sin2x+1+cos2x= cos2x sin2x+1=cos（2x+ ）+1，当 2x+ =2k 即 x=k （kZ）时，f（x）取得最大值 2，此时 x 的集合为x|x=k ，kZ；（2）由 2k+2x+ 2k+2 可解得 k+ xk+ ，f（x）的单调递增区间为得 k+ ，k+
22、，kZ；19（3）由（2）可得 f（B+C）=cos（2B+2C+ ）+1= ，cos（2B+2C+ ）= ，由角的范围可得 2B+2C+ = ，变形可得B+C= ，A= ，由余弦定理可得 a2=b2+c22bccosA=b 2+c2bc=（b+c） 23bc=43bc43（ ） 2=1当且仅当 b=c=1 时取等号，故 a 的最小值为 119.已知函数 ，xR（1）求函数 f（x）的最大值和最小正周期；（2）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别 a，b，c，且 c=3，f（C）=0，若 sin（A+C）=2sinA，求 a，b 的值【解答】解：（1） （3 分） ， ，f（x）的最大值为
23、0，最小正周期是 （6 分）（2）由 ，可得0C，02C2， ，sin（A+C）=2sinA，由正弦定理得 （9 分）由余弦定理得 c=39=a 2+b2ab由解得 ， （12 分）2020已知向量 3sin2,cos,12cosmxnx，设函数 fxmn.（1）求 fx在 0,4上的最值；（2）在 ABC中， ,abc分别是角 ,ABC的对边，若 4,1fAb， BC的面积为 3，求 的值.minmax4,5fxf；（2） 12si34,sin266fAA135,63sin2ABCSbc2co3aAa.21.已知函数 f（x）= sin2x+ sin2x（1）求函数 f（x）的单调递减区间；
24、21（2）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f（ ）= ，ABC 的面积为 3，求 a 的最小值【解答】解：（1）f（x）= sin2x+ sin2x= + sin2x= sin（2x）+ ，2k+ 2x 2k+ ，kZ，解得：k+ xk+ ，kZ，函数 f（x）的单调递减区间为：k+ ，k+ ，kZ（2）f（ ）= ，即： sin（2 ）+ = ，化简可得：sin（A ）= ，又A（0，） ，可得：A （ ， ） ，A = ，解得：A= ，S ABC = bcsinA= bc=3 ，解得：bc=12，a= = =2 （当且仅当 b=c 时等号成立） 故 a 的最小值
25、为 2 22.已知函数 f（x）=2sinxcosx+2 ，xR（1）求函数 f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形 ABC 中，若 f（A）=1， ，求ABC 的面积【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx+=sin2x+22=2sin（2x+ ） ，函数 f（x）的最小正周期为 ，由 2k 2x+ 2k+ ， （kZ） ，得 ，函数 f（x）的单调增区间是k ，k （kZ） ，（2）由已知，f（A）=2sin（2A+ ）=1，sin（2A+ ）= ，0A ， ，2A+ = ，从而 A= ，又 = ， ，ABC 的面积 S= = = 23.已知向量 =（sinx，1）
26、，向量 =（ cosx， ） ，函数 f（x）=（ +） （1）求 f（x）的最小正周期 T；（2）已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，A 为锐角，a=2 ，c=4，且f（A）恰是 f（x）在0， 上的最大值，求 A 和 b【解答】解：（1）向量 =（sinx，1） ，向量 =（ cosx， ） ，23f（x）=（ + ） =sin2x+1+ sinxcosx+ = +1+ sin2x+= sin2x cos2x+2=sin（2x ）+2，=2，函数 f（x）的最小正周期 T= =；（2）由（1）知：f（x）=sin（2x ）+2，x0， ， 2x ，当 2x = 时，f
27、（x）取得最大值 3，此时 x= ，由 f（A）=3 得：A=，由余弦定理，得 a2=b2+c22bccosA，12=b 2+164b，即（b2） 2=0，b=224.在 ABC中， cb,分别是角 CBA,的对边，且满足 CBcbaos.（1）求角 的大小；（2）设函数 23sin2cossin2)( Cxxxf ，求函数 )(xf在区间,0上的值域.2425.已知函数 2()sincosin(0)fxxx在 x处取最小值.（1）求 的值；（2）在 ABC中， ,abc分别为内角 ,ABC的对边，已知 31,2,()abfA，求角 .试题分析：（1）利用三角恒等变换公式化简函数解析式得 ()
28、sin)fx，由在25x处取最小值及 0查求得 2；（2）由 3()2fA可得 6，再由正弦定理求出 sinB，从而求出角 的值，即可求角 C.（2）因为 3()2fA，所以 3cos2A，因为角 A为 B的内角，所以 6A.又因为 1,ab，所以由正弦定理，得 siniab，也就是 sin12iABa，因为 b，所以 4或 3.当 4B时， 7612C；当 3时， 34.26.已知函数 2()3sini(0)xfx的最小正周期为 3.（1）求函数 ()fx在区间 ,4上的最大值和最小值；（2）已知 ,abc分别为锐角三角形 ABC中角 ,的对边，且满足,()31fA， 2sinab，求 的面
29、积.答案及解析：2626.(1) min()31fx， max()1f；(2) 3.试题分析：(1)利用三角恒等变换相关公式化简函数解析式得 ()2sin()6f，由周期为 3，可求 的值，由三角函数性质可求函数的最值.(2)由 3iabA及正弦定理可求得 3sin2B，从而是求出解 B的值，由 ()1fA可求出角 4及角 51246C，由正弦定理求出边 a，即可求三角形面积.27.已知函数 （）求函数 f（x）的单调递增区间；（）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c已知 ，a=2， ，求ABC 的面积【解答】解：（） =sin2xcos+cos2xsin +cos2x=
30、sin2x+ cos2x= （ sin2x+ cos2x）= sin（2x+ ） 令 2k 2x+ 2k+ ，kz，求得 k xk+ ，函数 f（x）的单调递增区间为k ，k+ ，kz（）由已知 ，可得 sin（2A+ ）= ，因为 A 为ABC 内角，由题意知 0A，所以 2A+ ，因此，2A+ = ，解得 A= 27由正弦定理 ，得 b= ，由 A= ，由 B= ，可得 sinC= ，S= absinC= = 28.已知函数 f（x）=Asin（x+） （A0，0，| ，xR） ，且函数f（x）的最大值为 2，最小正周期为 ，并且函数 f（x）的图象过点（ ，0） （1）求函数 f（x）解
31、析式；（2）设ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 f（ ）=2，c= ，求 a+2b的取值范围【解答】解：（1）根据题意得：A=2，=4，即 f（x）=2sin（4x+） ，把（ ，0）代入得：2sin（ +）=0，即 sin（ +）=0， +=0，即 = ，则 f（x）=2sin（4x ） ；（2）由 f（ ）=2sin（C ）=2，即 sin（C ）=1，C = ，即 C= ，由正弦定理得： = =2R，即 =2R=1，a+2b=2RsinA+4RsinB=sinA+2sinB=sinA+2sin（ A）=sinA+2sin cosA2cos sinA=sinA+ co
32、sAsinA= cosA， cosA1，即 cosA ，28a+2b 的范围为（ ， ） 29.已知函数 f（x）=2cos 2x+cos（2x+ ）（1）若 f（）= +1，0a ，求 sin2 的值；（2）在锐角ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边；若 f（A）= ，c=3，ABC的面积 SABC =3 ，求 a 的值【解答】解：（1）化简可得 f（x）=2cos 2x+cos（2x+ ）=1+cos2x+ cos2x sin2x= cos2x sin2x+1= cos（2x+ ）+1，f（）= cos（2+ ）+1= +1，cos（2+ ）= ，0 ，02+ ，sin（2
33、+ ）= = ，（2）f（x）= cos（2x+ ）+1，f（A）= cos（2A+ ）+1= ，cos（2A+ ）= ，29又A（0， ），2A+ （ ， ），2A+ = ，解得 A=又c=3，S ABC = bcsinA=3 ，b=4由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA=13，a=30.已知函数 （ ， ） ，且13cos3cossin3)( xxxf 0Rx函数 的最小正周期为 f（1）求函数 的解析式；)(xf（2）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，ABCCabc0)(Bf，且 ，求 的值3 4cab【参考答案】 （1） ()3sincos12sin16fxx
34、x， 3 分又 T，所以， 2， 5 分所以， ()sin16fxx 6 分（2） ()2si0fB，故 1sin26B，所以， 6k或 526Bk（ Z） ，因为 B是三角形内角，所以 39 分30而 3cos2BACaB，所以， 3ac， 11 分又 4，所以， 10，所以， 7cos22Bab，所以， 7a 14 分31.已知函数 .2()sin2)cos1()6fxxR（）求 的单调递增区间；f（）在 中，三个内角 的对边分别为 ，已知 ，且ABC,ABC,abc12fA外接圆的半径为 ，求 的值.3a试题解析：（） 2 分xxxxf 2cos21sin31cos2)6sin() = 3 分i3)6i(由 Z)得， Z) 5 分kxk(262 kxk(63 的单调递增区间是 Z) 7)(f (6,3（） ， ，21)6sin()Af A062于是 外接圆的半径为 ， 由正弦定理523BC3，得 ， sinaRA2sin32aA32.在 中， 分别是角 A，B，C 的对边，已知 ，且（1）求 的大小；
