1、1极限的思想 2013、9、7极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。 所谓极限的思想，是指用极限概念分析和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为： 对于被考察的未知量，先构思一个与它有关的变量，确认这变量通过“无限过程”的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。 极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。 产生
2、与发展（1）由来. 与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法归谬法来完成了有关的证明。 到了 16 世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思2考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。 （2）发展：极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16 世纪的欧洲处于资本主
3、义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。 起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量 S 与时间的改变量 t 之比 S/t 表示运动物体的平均速度，让 t 无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这
4、一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当 n 无限增大时，an 无限地接近于常数 A，那么就说 an 以 A 为极限”。 3这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义。但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础。 正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟 t 是否等于零?如果说是零，怎么能用它去作除法呢?如果它不是
5、零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的无穷小悖论。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。 贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。 （3）完善 ：极限思想的完善与微积分的严格化密切联系。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不
6、十分清楚；对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解；对有限和无限的对立统一关系还不明确。这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系。 4到了 18 世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义。其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量”，它接近于极限的正确定义；然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。事情也只能如此，因为 19 世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念
7、上面的。 首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺，他把函数 f（x）的导数定义为差商 y/x 的极限 f（x），他强调指出 f（x）不是两个零的商。波尔查诺的思想是有价值的，但关于极限的本质他仍未说清楚。 到了 19 世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在分析教程中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限 0，就说这个变量成为无穷小”。 柯西把无穷小视为以 0 为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”
8、的模糊认识，这就是说，在变化过程中，它的值可以是非零，但它变化的趋向是“零”，可以无限地接近于零。 柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望。但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如5“无限趋近”、“要多小就多小”等，因此还保留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密化的程度。 为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓 an=A，就是指：“如果对任何 0，总存在自然数 N，使得当 nN 时，不等式|anA| 恒成立”。 这个定义，借助不等式，通过 和 N 之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之
9、间的联系。因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。在该定义中，涉及到的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。 众所周知，常量数学静态地研究数学对象，自从解析几何和微积分问世以后，运动进入了数学，人们有可能对物理过程进行动态研究。之后，维尔斯特拉斯建立的 N 语言，则用静态的定义刻划变量的变化趋势。这种“静态动态静态”的螺旋式的演变，反映了数学发展的辩证规律。 2.极限思想的思维功能：极限思想在现代数学乃至物理学等学科中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、
10、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，6从量变认识质变，从近似认识精确。无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展。无限个数的和不是一般的代数和，把它定义为“部分和”的极限，就是借助于极限的思想方法，从有限来认识无限的。 “变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”。例如，要求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法是无法解决的，困难在于速度是变量。为此，人们先在小范围内用匀速代替变速，并求其
11、平均速度，把瞬时速度定义为平均速度的极限，就是借助于极限的思想方法，从“不变”来认识“变”的。 曲线形与直线形有着本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于等同起来了”。善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一。直线形的面积容易求得，求曲线形的面积问题用初等的方法是不能解决的。刘徽用圆内接多边形逼近圆，一般地，人们用小矩形的面积来逼近曲边梯形的面积，都是借助于极限的思想方法，从直线形来认识曲线形的。 量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证的关系。量变能引起质变，质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数学研究工作中起着重要作用。对任何一
12、个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变而不是质变；但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就“变”成圆，7多边形面积便转化为圆面积。这就是借助于极限的思想方法，从量变来认识质变的。 近似与精确是对立统一关系，两者在一定条件下也可相互转化，这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍。前面所讲到的“部分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积”，分别是相应的“无穷级数和”、“瞬时速度”、“圆面积”的近似值，取极限后就可得到相应的精确值。这都是借助于极限的思想方法，从近似来认识精确的。 3建立的概念：极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有
13、的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如： （1）函数 在 点连续的定义，是当自变量的增量时，函数值的增量 趋于零的极限。 （2）函数 在 点导数的定义，是函数值的增量与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。 （3）函数 在 上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。 （4）数项级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义的。 8（5）广义积分 是定积分 其中 为任意大于 的实数）当 时的极限，等等。 4解决
14、问题的极限思想 ：极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题），正是由于它采用了极限的思想方法。 有时我们要确定某一个量，首先确定的不是这个量的本身而是它的近似值，而且所确定的近似值也不仅仅是一个而是一连串越来越准确的近似值；然后通过考察这一连串近似值的趋向，把那个量的准确值确定下来。这就是运用了极限的思想方法。 其他一、0.999999=1？ （以下一段不作证明，只助理解原因：小数的加法的第一步就是对齐数位，即要知道具体哪一位加哪一位
15、才可操作，下文中0.33333的加法使用小数点与小数点对齐并不可以保证以上标准，所以对于无限小数并不能做加法。既然不可做加法，就无乘法可言了。） 谁都知道 1/3=0.333333，而两边同时乘以 3 就得到1=0.999999，可就是看着别扭，因为左边是一个“有限”的数，右边是“无限”的数。 100.999999 -10.999999=9=90.999999 90.999999=1 二、“无理数”算是什么数？ 我们知道，形如根号 2 这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的，它的每一位都只有在不停计算之后才能确定，且无穷无尽，这种没完没了的数，大大违背人们的思维习惯。 结合上面的一些困难，
16、人们迫切需要一种思想方法，来界定和研究这种“没完没了”的数，这就产生了数列极限的思想。 类似的根源还在物理中（实际上，从科学发展的历程来看，哲学才是真正的发展动力，但物理起到了无比推动作用），比如瞬时速度的问题。我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示，若时间差趋于零，则此比值就是某时刻的瞬时速度，这就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移差求比值，就是 00，这有意义吗（这个意义是指“分析”意义，因为几何意义颇为直观，就是该点切线斜率）？这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释，极限的思想应运而生。 真正现代意义上的极限定义，一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的，他当时是一位中学数学教师，这对我
17、们今天中学教师界而言，不能不说是意味深长的。 三、刘徽的“割圆术“ 设有一半径为 1 的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为 A1，再作内接正十二边形，其面积记为 A2，内接二十四边形的面积记为 A3，如此将边数加倍，当 n 无限增大时，10An 无限接近于圆面积，他计算到 3072=6*2 的 9 次方边形，利用不等式 An+1AAn+2(An+1)-An(n=1，2，3)得到圆周率=3927/1250 约等于 3.1416 Word 中创建极限公式在 Microsoft Word 中可以创建极限公式，以 Word2010 软件为例
18、介绍操作方法： 第 1 步，打开 Word2010 文档窗口，切换到“插入”功能区。在“符号”分组中单击“公式”按钮（非“公式”下拉三角按钮）。 第 2 步，在 Word2010 文档中创建一个空白公式框架，在“公式工具/设计”功能区中，单击“结构”分组中的“极限和对数”按钮。在打开的极限和对数结构列表中选择合适的极限和对数形式，例如选择“极小值”选项。 第 3 步，在空白公式框架中将插入极限和对数结构，分别单击公式占位符框并输入具体数值即可。用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想叫极限思想。极限思想反映上的是一个变量与另一个已知量的一种无限逼近，以至于用这个已知变量来反映这个变量的终极值
19、。数学史上微积分产生的过程是人类对极限思想认识的逐步加深逐渐明确的过程，极限思想是微积分学中最基本的数学思想，而微积分是以一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分，无线就是极限，极限思想是微积分的基础。微积分是科学应用联系着发展起来的在微积分中，常常运用到极限的东西，可以11说两者是缺一不可的，所以极限和微积分是密不可分的相辅相成的作用。极限是：（1）如果当 X 的绝对值无限增大（即 x 时,函数 fx的值无限接近于一个确定的常数 A，那么 A 就叫函数 fx在 x 时的极限。2如果当 x 仅取正值（或仅取负值）而绝对值无限增大，即 x +或 x+时，函数 f(x)无限接近于一
20、个确定的常数A，那么 A 就叫做函数 f（x）在 x +(或 x -时的极限。而极限是研究微积分的主要方法，极限思想、极限方法在微积分中非常重要。概括来说，极限就是研究在自变量的某一变化过程下，因变量随之变化的终极结果。极限是微积分中最基本、最重要的概念 ,它从数量上描述变量在无限变化过程中的变化趋势，用极限作工具求一个量时 ,先用己知方法求这个量的近似值 ,然后在某一个无限变化过程中 ,考察近似值的变化趋势 ,从而根据近似值的变化趋势确定出这个量的精确值，是构成微积分的基础，函数与极限在微积分中扮演了相当重要的角色。有了函数的概念，极限才得以发展，而有了极限的发展，微分与积分才得以产生。微积
21、分之所以能够解决初等数学无法解决的问题，正是由于它采用了极限的思想，极限思想贯穿了整个微积分的始终，微积分中12的几乎所有的概念都离不开极限。如：连续，导数，定积分的定义，级数的敛散性。微积分学是一门研究无限的动态学科，而无限的研究结果正是依赖极限思想，通过有限的研究方法得到的。只要真正掌握了极限思想，整个微积分学就容易学习，并能取得较高的理论水平。微积分是研究函数的微积分以及有关观念和应用数学的分支。微积分建立在实数、函数和极限的基础上。它最总要的思想是微远和无限逼近。一元微分中，可微必可导，可导的充要条件是函数在X 某个领域内有定义，左右导数为函数在 X 的极限值。导数的定义及充要条件都涉
22、及极限思想。极限思想揭示了变量与常量、无线与有线的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规则在数学领域中的应用。 康托尔等建立了严格的实数理论，才是微积分学得以严密。微积分的创立，极大地推动了微积分的发展，过去很多初级数学无法解决的问题，运用微积分，往往迎刃而解。这展示出了微积分学的非凡威力。而微积分学的基础是极限思想。所以，极限是微积分中的基础，两者缺一不可。 极限概念是数学上的一个长期困扰着人们的概念，可以说，数学的发展过程就是人们对极限的不断认识的过程。特别是对于微积分而言，极限是一个贯穿始终的重要概念，微积分从创立到发展都紧密困扰着对极限认识的深入和提高。13微积分的极限理论的核心是：如
23、果一个数列或函数无限地接近于一个常数，我们就说这个常数是这个数列或函数的极限。由于可用原数列或函数减去极限常数而构造新的数列或函数，问题就可变为：“一个数列或函数无限地接近于 ”，也就是微积分学的精髓无穷小量。微积分它是一种数学思想， 无限细分 就是微分， 无限求和就是 积分 。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。、极限概念的提出早在公元五世纪，亚里士多德首先发现无穷的数学概念，提出潜无穷与实无穷两种无穷思想；英国数学家约翰 沃利斯首先使用了“”这个符；更重要的是，微积分从创立到发展，就是对无穷理解的发展过程。随着微积分学的产生，极限概念被明确提出，但含糊不清
24、，直至 世纪，由 柯西、魏尔斯特拉斯等人的工作，以及实数理论的建立，才使极限理论建立在严密的理论基础之上。、极限论的完善极限论的完善与微积分的严格化密切联系，它的引入与完善是出于社会实践的需要，是几代人数学家不断完善的结果。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚；对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解；对有限和无限的对立统一关系还不明确。这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这14种“零”与“非零”，相互转化的辩
25、证关系。为了解决这个问逻辑问题，使分析基础严密化，柯西研究了极限定义，并创造性地用极限理论把微积分学中的定理加以严格的系统的证明，使微积分学有了较坚实的理论基础，魏尔斯特拉斯又给出精确描述数列极限的“”方法和函数极限的“”方法，把微积分奠基于算术和代数的基础上，极限概念成为微积分大厦的坚实基础。而无穷小作为极限为 的变量，不再是一个困扰人们的问题。至此，微积分的基础问题圆满解决。为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯脱拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓 ，就是指：“如果对任何 ，总存在自然数 ，使得当 时，不等式 恒成立。 ” 这个定义借助不等式，通过 和 之间的关系
26、，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍不显得陈旧。在该定义中，涉及到的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不求助于运动的直观。、极限论的思维功能极限论在现代数学乃至物理等学科中有广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定蹬。极限论揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限论，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识准确。无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无15限是有限的发
27、展。无限个数目的和不是一般的代数和，把它定义为“部分和”的极限，就是借助极限法，从有限认识无限。 “变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是 “数学科学的有力杠杆之一”，例如，要求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法是无法解决的，困难在于这时速度是变量。为此，人们先在小范围内用匀速代替变速，并求其平均速度，把瞬时速度定义为平均速度的极限，就是借助极限论，从 “不变”认识“变”。量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证关系。量变能引起质变，质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数学研究工作中起重要作用。对任何一个圆内接正多边形来说，
28、当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变，不是质变。但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就“变”成圆，多边形面积变转化为圆面积。这就是借助极限理论从量变认识质变。极限的发展过程综述到 年，现在大学且学习的大部分微积分内容已经建立起来。第一部微积分课本出版于 年，是洛比达写的。年，欧拉论述了二重积分。年，拉格朗日考察了三重积分。年，波尔查诺给出了级数的现代定义。世纪 年代出现了一个伟大的数学成就，它就是把微积分的理论基础牢固地建立在极限的概念上。柯西于 年在分析教程一书中，发展了可接受的极限理论。现在课本中的极限、连续性定义、把导数看作差商的极限、把定积分16看做和的权限等等，实质上都是柯西给出的。进一步完成这一工作的是威尔斯特拉斯，他给出了现在使用的精确的极限定义，并同狄德金、康托于 世纪 年代建立了严格的实数理论，使微积分有了坚固可靠的逻辑基础。极限思想贯穿整个微积分的始终，极限思想的把握关系到对微积分思想的确立，微积分理论的掌握和运用，以及数学思维的建立。
