1、1数列知识点和常用的解题方法归纳一、 等差数列的定义与性质定 义 ： 为 常 数 ，adandn n1 1()等 差 中 项 ： ， ， 成 等 差 数 列xAyAxy2前 项 和nSanadn112性 质 ： 是 等 差 数 列n（ ） 若 ， 则 ；1mpqaamnpq（ ） 数 列 ， ， 仍 为 等 差 数 列 ；2212akbnnSSn， ， 仍 为 等 差 数 列 ；3（ ） 若 三 个 数 成 等 差 数 列 ， 可 设 为 ， ， ；3ad（ ） 若 ， 是 等 差 数 列 ， 为 前 项 和 ， 则 ；4 21abTnabSTnn m（ ） 为 等 差 数 列 （ ， 为 常
2、 数 ， 是 关 于 的 常 数 项 为52Sabnnn0 的二次函数）S an n n的 最 值 可 求 二 次 函 数 的 最 值 ； 或 者 求 出 中 的 正 、 负 分 界2项，即：当 ， ， 解 不 等 式 组 可 得 达 到 最 大 值 时 的 值 。adaSnn1 100当 ， ， 由 可 得 达 到 最 小 值 时 的 值 。ann110如 ： 等 差 数 列 ， ， ， ， 则SaSnnnn83112（ 由 ， an1213又 ， Sa3322 nnn1213128n27）2二、等比数列的定义与性质定 义 ： （ 为 常 数 ， ） ，aqqaqn n 1 10等 比 中
3、项 ： 、 、 成 等 比 数 列 ， 或xGyGxyxy2前 项 和 ： （ 要 注 意 ）nSnaqn1()!性 质 ： 是 等 比 数 列an（ ） 若 ， 则 1mpqaamnpq（ ） ， ， 仍 为 等 比 数 列2232SSnn三、求数列通项公式的常用方法 1、公式法2、 ；naS求由 （ 时 ， ， 时 ， ）aSnaSnn121 13、求差（商）法如 ： 满 足n n2512解： aa514时 ， ， n 2212时 ， ， ，得 ： na an1 ann14()练习数 列 满 足 ， ， 求aSnnnn11534（ 注 意 到 代 入 得 ： Snnn1 1又 ， 是 等
4、比 数 列 ，Snn144naS2311时 ， 4、叠乘法例 如 ： 数 列 中 ， ， ， 求anan n113解： aanann2131 123， 又 ， n5、等差型递推公式由 ， ， 求 ， 用 迭 加 法afaan n110()fann22331时 ， 两 边 相 加 ， 得 ：()ffn12()() afn03()练习数 列 ， ， ， 求aannnn112（ ）a236、等比型递推公式cdcdn1 010、 为 常 数 ， ， ，可 转 化 为 等 比 数 列 ， 设 axnnacn1令 ， ()xdc1 是 首 项 为 ， 为 公 比 的 等 比 数 列acadcn1 dcn
5、n11 adnn11练习数 列 满 足 ， ， 求aannn119344（ ）ann84317、倒数法，例 如 ： ， ， 求aannn112由 已 知 得 ： 121aannn， 21an21an为 等 差 数 列 ， ， 公 差 为，1n an2三、 求数列前 n 项和的常用方法1、公式法：等差、等比前 n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如 ： 是 公 差 为 的 等 差 数 列 ， 求adan kn1解： 由 1101aadkkk 11dknkn 11231aaadnn练习求 和 ： 23123n（ ， ）aSnn3、错位相减法：若 为 等
6、 差 数 列 ， 为 等 比 数 列 ， 求 数 列 （ 差 比 数 列 ） 前 项babnnn n和 ， 可 由 求 ， 其 中 为 的 公 比 。Sqqnn如 ： xxn123413nxn24512121： xSxnxnxn2时 ，Snn1312时 ，4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。aaSnnn1212相 加111annn练习已 知 ， 则fxffff()()()()22341（ 由 fxxx()1112222 原 式 ffff()()()1234）例 1 设a n是等差数列，若 a2=3，a =13，则数列 an前 8 项的和为（ ）7A128 B80 C6
7、4 D56 （福建卷第 3 题）略解： a 2 +a = a +a =16， a n前 8 项的和为 64，故应选 C718例 2 已知等比数列 满足 ，则 （ ）n12236， 7aA64 B81 C128 D243 （全国卷第 7 题）答案：A例 3 已知等差数列 中， ， ，若 ，则数列 的前 5 项和na2651a2nbnb等于（ ）A30 B45 C90 D186 （北京卷第 7 题）略解：a -a =3d=9， d=3，b = ，b =a =30， 的前 5 项和等于 90，5212510n故答案是 C6例 4 记等差数列的前 项和为 ，若 ，则该数列的公差 （ ）nnS24,0S
8、dA2 B3 C6 D7 （广东卷第 4 题）略解： ,故选 B.4213Sd例 5 在数列 中， ， ， ,其中 为na542n22naab *nNab常数，则 （安徽卷第 15 题）b答案：1例 6 在数列 中， ， ，则 （ ）n111l()nnnA B 2l2()C D （江西卷第 5 题）l答案：A例 7 设数列 中， ，则通项 _ （四川卷第na11,nana16 题）此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住 中1n系数相同是找到方法的突破口1,na略解： ， ，112,na1na121na， ， ， ， 将以上各式23n 322相加，得 ，11nann 1122n故应填
9、 +1()2例 8 若( x+ )n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中 x4项的系数为( )A6 B7 C8 D9 (重庆卷第 10 题)答案：B使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例 4 以前的例题例 5 考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例 6、例 7 考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例 8 则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用重庆卷第 1 题，浙江卷第 4 题，陕西卷第 4 题，天津
10、卷第 4 题，上海卷第 14 题，全国卷第 19 题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习例 9 已知a n是正数组成的数列，a 1=1，且点（ ） （n N*）在函数 y=x2+11,a7的图象上. ()求数列a n的通项公式； () 若数列b n满足 b1=1，b n+1=bn+ ，求证：2abnbn+2b 2n+1. （福建卷第 20 题）略解：（）由已知，得 an+1-an=1，又 a1=1,所以数列a n是以 1 为首项，公差为 1的等差数列故 an=1+(n-1)1=n.()由（）知，a n=n， 从而 bn+1-bn=2n，b n=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+
11、（b 2-b1）+b 1=2n-1+2n-2+2+1=2n-1. b nbn+2-b =(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2= -2n0, b nbn+2b 21 2对于第（）小题，我们也可以作如下的证明： b2=1,bnbn+2- b =(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b =2n+1bn+1-2nbn+1-2n2n+12 n（b n+1-21212n+1）=2 n（b n+2n -2n+1）=2 n（b n-2n）=2 n（b 1-2）=-2 n0， b n-bn+2b2n+1.例 10 在数列 中， ， （）设 证明：数列a1a 1a是等差数列；（）求数列 的前 项
12、和 （全国卷第 19 题）n nnS略解：（） = = = =1，则 为等差数列，1nb12n12nnnb， ， 1bnna（） ，0121()nnSA A两式相减，得122()nn = 01121n ()2n对于例 10 第（）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数可以用迭代法，但不可由 b2-b1=1，b -b =1 等有限个的验证归纳得到 为等差数32 nb列的结论，犯“以偏盖全”的错误第（）小题的“等比差数列” ，在高考数列考题中出现的频率很高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前 n 项和时给出，是“等比差数列”求和时最重要的方法一般地，数学学习中
13、最为重要的内容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示例 9、例 10 是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江卷第 18 题，江苏卷第 19 题，辽宁卷第 20 题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力考虑到文、理科考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主例 11 等差数列 的各项均为正数， ，前 项和为 ， 为等比数
14、列, na13annSb，且 () 求 与 ； () 求和： （江1b264,S390bnb121n8西卷第 19 题）略解：() 设 的公差为 ， 的公比为 ，依题意有nadnbq解之，得 或 (舍去，为什么？)故223(6)4,90.Sbdq2,8;6,540.3dq1(1),nnab（） ， 35(2)(2)nS1211435()n n 1(3245) ()212(1)“裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法使用解答题形式考查数列的试题，其内容还往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前 n 项和的一般方法，并且往往不单一考查数列，而是与其他内容相综合，以体现出对解决综合问题的考查
15、力度数列综合题对能力有较高的要求，有一定的难度，对合理区分较高能力的考生起到重要的作用例 12 设数列 的前 项和为 ， （）求 ；（）证明： na2nnSa14,a是等比数列；（ ）求 的通项公式 （四川卷第 21 题）12na略解：（） ，所以 由 知，11,2S1,2nnS得， 1nnS2nnaS11na ， ，2226,8a 333 386,44320a（）由题设和式知， ， 1122nnnaS1n是首项为 2，公比为 2 的等比数列12na（） 21112nnnnnaaaa 12n此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等推移脚标，两式相减是解决含有 的递推公
16、式的重要手段，使其转化为不含 的递推公式，从nS nS9而有针对性地解决问题在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点同时，还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向例 13 数列 满足na（I）求 ，并求数列,2,01a22(1cos)4sin,1,3na 43,的通项公式；（II）设 ， ， n 132kkS 242kTa，求使 的所有 k 的值，并说明理由 （湖南卷第 20 题）(2kkSWT)NkW略解：（I） 22311(cos)4sin4,aaa222(1cos)4sin4,aa一般地, 当 时，(nkN=即22212121)()cssi ,k k k21.k所以数列 是首项为 0、公差为 4 的等差数列，因此 当21ka 4().a时， 所以数列 是首项()nN=22222(cos)sin,kka2ka为 2、公比为 2 的等比数列，因此 故数列 的通项公式为2.k2(1),(),.nkaN（II）由（I）知，=1321kkSa 04(1)2(),k 242kkTa2,k 1.kkkSWT于是， .10,2,3,4,25,6W下面证明: 当 时， 事实上, 当 时， k1k6k即 又 所以当 时，11()()()02kkkkW .k61,故满足 的所有 k 的值为 3,4,5
