1、一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,三、重积分的性质,第一节,一、二重积分的定义及可积性,重积分的概念与性质,第七章,二、三重积分的概念,解法: 类似定积分解决问题的思想:,引例:,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“分割, 近似求和, 取极限”,1) 分割-“大化小”,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2) 近似-“常代变”,在每个,3) 求和“近似和”,则,中任取一点,小曲顶柱体,4)“取极限”,令,2. 平面薄片的
2、质量,有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .,度为,设D 的面积为 ,则,若,非常数 ,仍可用,其面密,“分割,近似,求和, 取 极限”,解决.,1)“分割”,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,相应把薄片也分为小区域 .,2)“近似”,中任取一点,3)“求和”,4)“取极限”,则第 k 小块的质量,两个问题的共性：,(1) 解决问题的步骤相同,(2) 所求量的结构式相同,“分割, 近似，求和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,一、二重积分的定义,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I , 使,可积 ,在D上的二
3、重积分.,积分和,是定义在有界区域 D上的有界函数 ,(1) 如果 在D上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域D ,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,注:,引例1中曲顶柱体体积:,引例2中平面薄板的质量:,二重积分存在定理:,若函数,定理2.,(证明略),定理1.,在D上可积.,限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积.,在有界闭区域 D上连续,则,若有界函数,在有界闭区域 D 上除去有,二、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想, 采用,引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的,物质,求分布在 内的物质的,可得,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,解决方法:,质量
4、 M .,密度函数为,定义. 设,存在,若对 作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在上的三重积分.,下列“乘,积和式” 极限,称为体积元素,在直角坐标系下常写作,注:,三、重积分的性质(以二重积分为例),( k 为常数), 为D 的面积, 则,特别, 由于,则,5. 若在D上,6. 设,D 的面积为 ,则有,7.(二重积分的中值定理),证: 由性质6 可知,由连续函数介值定理, 至少有一点,在闭区域D上, 为D 的面积 ,则至少存在一点,使,使,连续,因此,例1. 比较下列积分的大小:,其中,解: 积分域 D 的边界为圆周,它与 x 轴交于点 (1,0) ,而域 D 位,从而,于直线的上
5、方, 故在 D 上,例2. 判断积分,的正负号.,解: 分积分域为,则,原式 =,猜想结果为负但不好估计 .,舍去此项,例3. 估计下列积分之值,解: D 的面积为,由于,积分性质5,即: 1.96 I 2,内容小结,1. 重积分的定义,2. 重积分的性质,(与定积分性质相似),思考题,将二重积分、三重积分的定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.,同：都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关 不同：定积分：积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数；二重积分：积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数,思考题解答,被积函数相同, 且非负,思考与练习,解:,由它们的积分域范围可知,1. 比较下列积分值的大小关系:,2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则,的大小顺序为 ( ),提示: 因 0 y 1, 故,故在D上有,备用题,1. 估计,的值, 其中 D 为,2. 判断,的正负.,
