1、,多元微积分,第一节 黎曼积分(续),黎曼积分的性质,设 为 R3 中的可度量的几何形体，,则,黎曼积分应具有一些极限所具有的性质,这就是说，,性质1,回想上节课讲的质量计算以及在均匀变化时,质量 = 密度几何形体的度量值,就可以理解这个性质。,二重积分：相当于以D为底，高为 1 的平顶柱体体积 V= | D |。,计算,解,这相当于质量问题中的,(均匀分布),故,常数因子提出来？,极限中有这个性质没有？,比较一下：,以D 为底高为 4 的平顶柱体体积,性质2,(线性性质),该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形,数 f (X) , g (X) 进行分割 , 代替 , 求和 , 取极限得,由
2、极限的运算法则，有,证,性质3,(对积分区域的可加性),观察，比较这两个图形，看将 D 分成 D1+ D2 时应满足什么条件？,两次,叙述性质3,想一想：,行！,行！,行！,可以将性质3中的 任意分成有限个只有公共边界的部分：,性质4,(保号性),在一元函数中我们讲过函数极限的保号性和连续函数的保号性（它实际上也是函数极限的保号性）。,黎曼积分是经过分割代替求和取极限来定义的，它的定义式也是一个极限式，所以极限的保号性性质也会在黎曼积分中反映出来。例如，定积分中就讲过这个性质。,叙述性质4,设,则,性质4的推论 1,设,则,性质4,推论 1,推论 2,绝对值不等式,推论 1 和推论 2 的详细
3、叙述和证明请看书。,看就看,看就看,估值定理,极值，有界性,性质5,(估值定理),则有,.,.,二维空间,两个圆柱体之间,设,则,即,由这个式子，你能得到一个什么样的结论？,若,是有界闭区域，,则函数,在,上必取到它的最大值和最小值各一次。,设,则,即,连续函数的介值定理,看看你得到的结论是不是下面叙述的形式。,由这个式子，你能得到一个什么样的结论？,性质6,(积分中值定理),性质6,(积分中值定理),/,能不能确保中值定理中的,如果在区域上恒有,则可保证,还不能,存在U( X0 ) ,使得f (X)0。,保号性,行了,至少存在一点X0 ,使得f (X)0。,性质6的推论1,你能根据刚才的分析
4、证明这个推论吗？,证,而,故由连续函数的保号性可知：,使,令,则,且,用积分的保号性性质: 0,用积分中值定理: 0,自己在纸上画一下 的图形,从而,由积分对区域的可加性 (性质3) , 得,现在由这个推论反过去想: 如果函数在的任意一个小区域上的积分均为零，则函数在上应是什么形式？,从而,由积分对区域的可加性 (性质3) , 得,现在由这个推论反过去想: 如果函数在的任意一个小区域上的积分均为零，则函数在上应是什么形式？,性质6的推论2,设,若,有,则,实践出真知,学生自己做,设,若,有,则,实践出真知,学生自己做,什么结果？,性质6的推论2,性质6的推论3,设,若,有,则,解,记,令,解方程组得驻点：,此时,而,其中，,故,从而,又,故,
