1、第三节,曲面及其方程,在平面上:,F (x,y)=0 或 y = f(x),平面曲线,1-1,一、曲面方程的概念,求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.,引例:,显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,满足此方程的坐标点都在此平面上.,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程.,定义1.,如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:,(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;,则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
2、,两个基本问题 :,(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)满足此方程的坐标点都在此平面上,求曲面方程.,(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状,( 必要时需作图 ).,故所求方程为,例1. 求动点到定点,方程.,特别,当M0在原点时,球面方程为,解: 设轨迹上动点为,即,依题意,距离为 R 的轨迹,表示上(下)球面 .,例2. 研究方程,解: 配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程 ( A 0 ),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,的曲面.,表示怎样,半径为,的球面.,球心为,一个球面, 或点, 或虚轨迹.,二、柱面,引例. 分析方程,表示怎样的曲面 .,的
3、坐标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,C 叫做准线, l 叫做母线.,定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,C 叫做准线, l 叫做母线.,定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,C 叫做准线, l 叫做母线.,定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线
4、 l 形成,的轨迹叫做柱面.,C 叫做准线, l 叫做母线.,定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,C 叫做准线, l 叫做母线.,定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,C 叫做准线, l 叫做母线.,定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,C 叫做准线, l 叫做母线.,定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,C 叫做准线, l 叫做母线.,定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,C 叫做准线, l 叫做母线.
5、,定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,C 叫做准线, l 叫做母线.,定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,C 叫做准线, l 叫做母线.,定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,C 叫做准线, l 叫做母线.,定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,C 叫做准线, l 叫做母线.,定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,C 叫做准线, l 叫做母线.,定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,
6、的轨迹叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,C 叫做准线, l 叫做母线.,例:分析方程,表示怎样的曲面 .,答:,在空间直角坐标系中表示:,y 轴的柱面.,以 xOz 上的抛物线 为准线 ,而母线平行于,称为抛物柱面.,一般柱面方程的特征,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面上的曲线 l3.,母线,柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2.,母线,定义2. 一条平面曲线,三、旋转曲
7、面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴 .,例如 :,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,给定 yoz 面上曲线 C:,绕 z 轴旋转所成,曲面的方程:,1. 保持z不变;,2. 将方程中另一个变量y 换成,小结：,例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为,的圆锥面方程.,解: 在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,例4. (1)求坐标面 x
8、oz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,又分别称为双叶双曲面和单叶双曲面和.,旋转椭球面,旋转抛物面,(2),(3),内容小结,1. 空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如, 曲线,绕 z 轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .,斜率为1的直线,平面解析几何中,空间解析几何中,方 程,平行于 y 轴的直线,平行于 yoz 面的平面,圆心在(0,0),半径为 3 的圆,以 z 轴为中心轴的 圆柱面,平行于 z 轴的平面,思考与练习,1. 指出下列方程的图形:,
