1、,第七章 第五节,空间曲面及其方程,本节主要内容,一、空间曲面方程的概念,二、几种常见曲面的方程,1、球面,2、柱面,3、旋转曲面,水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被 看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,曲面的实例：,11,例1 xOy坐标面的方程 : z=0,解析几何的两类基本问题: (1)已知几何图形,求其方程; (2)已知方程分析图形的形状及其位置.,下面再考察两例曲面方程,与 xOy坐标面平行的平面的方程 : z=c,根据题意有,化简得所求方程,解,下面再考察两例曲面方程,解,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,球面的方程,上、下半球面的方程分别是：,
2、由上述方程可得球面的一般式方程为：x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （*） 反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到,球心在原点的上、下 半球面的方程分别是：,解,根据题意有,所求方程为,例4 方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,柱面：,平行于定直线,并沿曲线C移动的直线L形成的轨迹称为柱面，定曲线C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线。,本课程只研究母线平行于坐标轴，准线在坐标,面上的柱面。,柱面举例,
3、抛物柱面,平面,设柱面其准线为xoy面上,如图,故柱面方程：,例3 方程 表示怎样的曲面？,从柱面方程看柱面的特征：,实 例,椭圆柱面 / 轴,双曲柱面 / 轴,抛物柱面 / 轴,椭圆柱面：,方程 称为母线平行于z轴的椭圆柱面。,方程 称为母线平行于z轴的双曲柱面;,双曲柱面：,方程 x2=2py 称为母线平行于z轴的抛物柱面。,抛物柱面：,例4 方程x+y-1=0在空间直角坐标系中表示怎样的曲面？,解：,方程x+y-1=0在空间直角坐标系中代表一个平面，这平面实际上也是一个柱面，是以xoy平面上的直线x+y-1=0为准线，而母线平行于oz轴的柱面。,例5 方程 x2= 4z 表示怎样的柱面？
4、,解：,方程中仅含x、z，故此柱面的母线平行于y轴，它们的准线为xoz平面上的抛物线x2=4z,这类柱面为抛物柱面。,旋转曲面：,一平面曲线C绕同一平面上的定直线L旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。曲线C称为旋转曲面的母线，直线L称为旋转曲面的轴。,旋转过程中的特征：,如图,将 代入,得方程,方程,例6 yoz坐标面上的直线 ,绕z轴旋转，试求所得旋转曲面方程。,因为是yoz坐标面上的直线 绕z轴旋转，故将z保持不变，y 换成 ,则有:,例6题解：,即所求旋转曲面方程:,上式表示的曲面称为圆锥面，点o称为圆锥的顶点。,解,圆锥面方程,例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,
5、旋转双曲面,旋转椭球面,旋转抛物面,旋转椭球面:,由方程,表示由xoz平面上的椭圆 绕z轴旋转而 成的，叫做旋转椭球面。,旋转抛物面:,它可以看作xoy面上的抛物线x2=2pz绕z轴旋转而成的旋转曲面，这曲面叫做旋转抛物面。,p=q时,椭圆抛物面方程：,变为：,曲面方程的概念,旋转曲面的概念及方程的求法.,柱面的概念(母线、准线).,小结,思考题,指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？,思考题解答,平面解析几何中,空间解析几何中,斜率为1的直线,方程,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的
6、轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条
7、定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称
8、为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,这条定直线叫旋转 曲面的轴,返回,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线
9、 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面
10、的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,返回,
