1、引言空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。但是也可以研究一些非二次特殊曲面。本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。1.柱面定义 1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图 1） ，曲线 作 叫做准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。特别地，若取准线 为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。下面分几种情形讨论柱面的方程。1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程选取合适
2、的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。设柱面的母线平行于轴，准线为 面上的一条曲线，其方程为：zOxy,0fyz又设 为柱面上一动点（图 2） ，则过点 与,Pxyz P轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线z的交点记为 ，因点 在准线上，故其坐,0M标应满足准线方程，这表明柱面上任一点 的,Pxyz坐标满足方程 ,fxy反过来，若一点 的坐标满足方程 ，过 作 轴的平行,Pz,0fxyPz x zy O ,Px ,0Mx图 2图 1uv线交 面于点 ，则点 的坐标 满足准线 的方程 ，OxyM,0xy,0,fxyz这表明点 在准线 上，因此直线 是柱面的母线 (因为直线 的方向向PMP量
3、为 )，所以点 在柱面上。0,|,1z综上所述，我们有如下结论：母线平行上于 轴，且与 面的交线为 的柱面方程为：zOxy,0,fxyz（1）,0f它表示一个无限柱面。若加上限制条件 ，变得它的一平截段面。azb同理，母线平行于 轴，且与 面的交线为 的柱面方程xy,0,gyzx为 ；母线平行于 轴，且与 面的交线为 的柱面,0gyzOzxhy方程为 。hx定理 1：凡三元方程不含坐标 中任何一个时必表示一个柱面，它的母,xyz线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。应该注意，如果母线不平行于坐标，柱面方程就要包含所有的坐标。例 1：以 面上的椭圆 ，双曲线 和抛Oxy21,0xyzab21,0x
4、yzab物线 为准线，母线平行于 轴的柱面方程分别为2,0yPz2221,1,xyxyPxabab它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面，由于它们的准线是二次曲线，故又统称为二次柱面，其图形见（图 3） 。例 2：证明，若柱面的准线为zxyoxy zooyx z图 3,0:fxyz母线方向为 ，则柱面方程为,Vlmnr（2）,0lmfxzyzn证：设 为准线 上一点，则过此点的柱面母线的参数方程为：1,0Py（ 为叁数） 1,xlz当点 遍历准线 上的所有点，那么母线就推出柱面，消去参数 ，由式1 中最后一个式子得 ，代入其余两个式子，有zn11,l mxlxzyyznn因点 在准线上，代入
5、 ，即得(2)式1P1,0f若柱面的准线为 1:xzy母线方向为 ,0Vlmnuv则柱面方程为： （3）1:,lfxyz若柱面的准线为： 2,0:fx母线方向为 ,Vlmnluv则柱面方程为 （4）2:,0fyxzll1.2 柱面的一般方程设柱面的准线 是一条空间曲线，其方程为12,0:Fxyz母线方向为 ，在准线 上任取一点 ，则过点 的母线方程,lmn11,Pxyz1P是： （ 为叁数）11,xyzn这里 是母线上点的流动坐标。因点 的坐标应满足：,yz 1112,0,0FxyzFxyz2,lmn从上面这两组式子中消去参数 ，最后得一个三元方程(5),0Fxyz这就是以 为准线，母线的方向
6、数为 的柱面方程。 ,lmn例 3：柱面的准线是球面 与平面 的交线，母线方221xyz0xyz向是 ，求柱面的方向。1,解：设 是准线上任一点，则过这点的母线方程为1,xyz111,xyz由此得 ,代入准线方程，得 22230xyzz消去参数 ，得 222133xyxyzz展开，化简后得 22xyzz这就是所求的柱面方程。1.3 柱面的参数方程设柱面的准线的参数方程为： ：xftygatbzht母线方向为 又设 是准线 上的一点，则过 的,lmn11,Pftgtht1P母线方程为（ 为参数）111,xftlytmztn令 在准线 上移动，即让 取所有可能的值，并让 取所有可能的值，则由1P上
7、式决定的点 的轨迹就是所求的柱面。因此，柱面的参数方程是：,xyz（6）ftlatbygmzhtn例 4：设柱面的准线为： cosi020xaybz母线方向为 ，求柱面的方程。0,1解：由(6)式，柱面得参数方程为： cos02inxayz从上式中消去参数 和 ，得住面的一般方程 221yzxab1.4 由生成规律给出柱面的方程有时不给出柱面的准线，只给出生成规律下面举一例。例 5：求以直线 为轴，半径为 的圆柱qr面方程，其中直线 通过点 ,方00,Pxyz向向量为 。,Vlmnv解：设 为所求柱面上的一点Pxyz（图 4） ，按题意 到 的距离为 ，qPMr M r 00,Pxyz x z
8、 O ,xyz 000:xyzqlmn图 4设 ，按向量的定义有0PM00VPurvsinrVv两端平方即得所求柱面的向量是方程：20rr写成坐标式，即 2 20000nymzlznx2xy22rln若利用公式 22000PVPVurr则式又可写成 2222000xyzlmn lmn或22r2000xyzr= 22lmnl 特别地，若取直线 为 轴，令 ，则比时柱面方程为 qz00xyz。22xyr1.5 曲线的射影柱面定义 2：设 是一条空间曲线， 为一平面，经过 上每一点作平面的垂线，由这些垂线构成的柱面叫做从 到 的射影柱面（图 5）图 5显然， 在 上的射影就是从 到 的射影柱面与 的
9、交线。通常我们将平面 取为坐标平面。给定空间曲线 12,0:Fxyz那么怎样求曲线 到 平面上的射影柱面方程？因为这个柱面的母线平行于Oy轴，因此它的方程中不应含变量 ，这样只要消去 即从 的某一个方程中解z zz出 来，把它代入另一个方程中，就得到从 向 面的射影柱面方程： Oxy,0fxy同理，曲线 在另外两个坐标平面上的射影柱面方程分别为：,0gzhxz因为射影柱面方程比一般三元方程简单，所以常用两个射影柱面方程来表示空间曲线。具体做法是：从曲线 的方程中轮流消去变量 与 ，就分别得,xyz到它在 面， 面和 面上的射影柱面方程，然后于这三个柱面方程中选Oyzxy取两个形式简单的联立起来
10、，那么就得到了原曲线的形式较简单的方程且便于作图。例 6：求曲线 在 面上的射影。22222:1, 1xyxyzOxy解：欲求曲线在 面上的射影，需先求出曲线到 面上的射影柱面，O这又须从曲线方程消去 ，由 的第一个方程减去第二个方程并化简得z或 1yzy将 代入曲线的方程中的任何一个，得曲线 到 面的射影柱面：1zy Oxy20xy故两球面交线在 面的射影曲线方程是 这是一椭圆.O20xyz2. 锥面定义 3：通过一定点 且与一条曲线 相交的一切直线所构成的曲面叫做0P锥面（图 6） ，定点 叫做锥面的顶点，定曲线 叫做锥面的准线，构成锥面的直线叫做锥面的母线。由定义 3，可见，锥面有个显著
11、的特点：顶点与曲面上任意其它点的联线全在曲面上。显然，锥面的准线不是唯一的，任何一条与所有母线相交的曲线都可以作为锥面的准线。通常取一条平面曲线作为准线。下面分几种 情形讨论锥面的方程：2.1 顶点在原点，准线为平面曲线的锥面方程设锥面的准线 在平面 上，其方程为zh,0:fxy又设 为锥面上一动点（图 7） ，,Pxyz为准线 上一点，且 、 、 三1hP1O点共线，则 或 即1Ouv,xyzyh，于是1,xyzh。1,hz由于 应满足 ，可见 应满足方程：xy1,0fxy,xyz,hfz反过来，若一点 的坐标 满足方程(1)，则将上式逆推可知，点P,xyz0P图 6xzP1,xyh图 7在
12、过点 与 的直线上，因而在锥面的母线上，即点 是锥面上的点。PO1 P因此，以原点为锥顶，准线为 或 的锥面,0,gyzxk,0,hym方程分别为： ,;,kmgyzhxzxy例 7：采用上式易知，以原点为锥顶，准线为椭圆 双曲线 21xyabzh和抛物线 的锥面方程分别是：21xyabzh2yPxzh和 22221, 1hxyxyzazbz20hyPxzz即 和 。222,abh20Px这三个二次方程都是关于 、 、 的二次齐次方程，因此统称为二次锥面xyz（图 8） 。 zh=yxOyxzh=O图 8yzxOh=22yzabh22yzabh20hyPxz2.2 锥面的一般方程设锥面的准线
13、为一空间曲线： 12,0:Fxyz顶点 的坐标为 。又设 为准线上一点，则过点 的母线方0P0,xyz11,P1P程为： 010010010, ,yyzz因为 在准线上，故应有 1P12,Fxz（7）00010002 1,1,yzxF 从以上一组方程中消去 可得 ,yz这就是以 为准线 为顶点的锥面方程。0P例 8：锥面的顶点在原点，且准线为 21xyabzc求锥面的方程。解：设 为准线上的任意点，那么过 的母线为11,Mxyz 1M11且有 2xyab1zc由、得 1,xyz代入得所求的锥面方程为 220xyzabc这个锥面叫做二次锥面。定理 2：关于 的齐次方程表示以坐标原点为顶点的锥面。
14、,xyz证：设 是关于 的 次齐次方程，点 是方程所0F,xyzn11,Pxyz表示的曲面 上的任意一点（但不是原点） ，那么1,z连结 ，在此直线上任取一点 ，因为 ，故有1OP(),Pxyz1OPt=uv11,xttt=把点 的坐标代入曲面 的方程，利用 是 次齐次函数，有SFn()()()11,0Fyztxyztxyz=这表示直线 上任何点都在曲面 上，因而 是由过原点的动直线构成的，1OPS这就证明了它是一个以原点为顶点的锥面。推论：关于 的齐次方程表示以 为顶点的锥面。000,xyz-()0,xyz证：平移坐标轴，以 为新原点，利用定理(2)即得证明。()0,z例 9：求顶点在 ，准
15、线为 的锥面方程。()0,Pb2:1,0zxycaG-=解：设 是锥面上一动点，则母线 的方程为,xyz0P（ 为叁数）1 1,bzrrr=-=其中 为母线 与准线 的交点，从上式可解得交点 的坐标()1,0Pxz0PG1P1 1,xzybrr-+由此可解得 ，将点 的坐标代入准线方程中，得ybr-=1P或 22zxcar-=220zxcar-=此即 ()2220yb-这就是所求的锥面方程。2.3 锥面的参数方程设锥面的准线的参数方程为 ():xftygatbzht=G顶点为 ，又设 为准线上一点，则母线 的参()00,Pxyz()()11,Pft 01P数方程为 ()()010010xftx
16、ygyzhtzrrr=+-0r例 10：已知锥面的顶点为 ，准线为(), ()cossin,2xaybzcqqp=求它的方程。解：由(8)式，所求锥面的参数方程是（9）cos02inxaybzrqpr = -+消去参数 和 ，就得所求锥面的一般方程，它是二次锥面rq（ ）22xyzabc+= 92.4 由生成规律给出锥面的方程定义 4：已知一定直线 上的一定点 ，过空间一点 与 作直线使与 所q0PP0q成锐角等于定角 ，则动点 的轨迹叫做(直)圆锥面， 叫做锥面的轴 ，锐角q叫做半锥项角，定点 叫做锥顶。q0P例 11：求以 为00:xyzqlmn-=轴，半锥角为 的圆锥面方程。解：设 为所
17、求圆锥面上的一点，(),Pxyz为锥顶(图 9)。 与 的夹角为(00,x0Purq的条件是：q（10）00Pu=rrcos其中 为直线 的方向向量，,lmnq。0000,xyz-r方程(10)即为所求圆锥面的向量式方程，写成坐标形式是： ()()()22222000coslnxyzq+-+-（ ）0xmyz- =1()00,Pxyzq(),Pxyzxo000:xyzqlmn图 9它是关于 的二次齐次式，因而是二次锥面。两个特例是:000,xyz-以原点 为锥项，且轴的方向为 的锥面方程为1(),lmn（11）)()()22222cos 0lmnxyzxyzq+-+=若设 、 、 为方向余弦，
18、则(11)式简化为l（ ）(222s 0xyzlnz- 1以原点 为锥顶， 轴为轴， 为半锥项角的圆锥面方程是（此时2)0, q）：,1lmn=或 ()222cos0xyzq+-=(21cosinzq此即 （12）22tanxyz=其图形见图 10例 12：求以原点为顶点且过三条坐标轴的圆锥面方程。解：设将过原点且方向角为 、 、 的直线 取作轴，因为所求圆锥面q包含三条坐标轴，所以它的轴必与三条坐标轴交成等角，因而有，但 ，故有 ，coscos222scos13cos， 。根据不同的符号， 的位置共有四种，且分别在33q八个封限内，但圆锥的半锥顶角 满足 （因为此时21cos3） 。2222
19、1coscos3设 位于第、封限，则有 1q 3coscos写出母线方向 与 成角为 的条件：,xyzcos,yxz直圆锥面： 22tanxyz图 1022221coscoscos3xyzz223xy由此出锥面的方程为： 0yz此时轴的方程是： x设 位于第、封限内，同理得锥面的方程为：2q0yz此时轴的方程是： x设 位于第、封限内，则锥面方程为： 3q 0xyz且轴的方程是： yz设 位于第、封限内，则锥面方程为： 4 z且轴的方程是： xz3. 旋转曲面定义 5：一条曲线 绕一条定直线G旋转而产生的曲面叫做旋转曲面（图q11） ，曲线 叫做旋转曲面的母线，直线叫做旋转轴， 上每一点在旋转
20、过程中生成的圆叫做纬线圆或平行圆。当 为直线时，若与轴平行，则旋转曲面是（直）圆柱面；若 与轴相交G时，旋转曲面是（直）圆锥面；若 与轴垂直，则旋转曲面是平面（图 12） ，因此圆柱面、圆锥面，还有平面都可看作是旋转曲面的例子。下面分几种 情形讨论旋转面的方程：Gq纬线圆旋转曲面图 11qG qGqG0P图 123.1 旋转曲面的一般方程设旋转曲面的母线是一条空间曲线 ()12,0:Fxyz=G旋转轴 是过点 ，方向为 的直线q()00,Pxyz,lmn0:gznr=+()r-+又设 是母线上任意一点， 是过 的纬线圆（它的圆心是()11,Pxyz,Pxyz1上的一点）上的任意一点（图 13）
21、 ，则q且 1,Cq1C=，所以有10PP()()()110lxmynz-+-22200()()()1110xyz=-式表示以 为中心，以 为半径的球面，而式表示通过点 且垂直0P0P1P于轴 的平面。所以和联立表示通过 的纬线圆。又因点 在母线 上，q 1 G故有 ()()1121,FxyzFxyz=由三式、消去 ，即得旋转曲面方程：（13）(),0xyz例 13：求直线 绕直线12-=旋转所得的旋转曲面方程。:qxyz=解：设 是旋转曲面上的任意一点，过(),Px作轴 的垂直平面，交母线 于z12xyz-=yzx 1P C 0O000:xyzqlmn图 130,P,Pxyz11,c2xyz
22、:gz图 14一点 （图 14） ，因为旋转轴通过点，不妨取原点为 ，于是由上述，1P()1,xyz 0P过点 的纬线圆方程是： ()()1112220xyz-+-= 由于点 在母线上，故1P或112xyz-()()11,x=-代入 1112254xyzx+-+-因此 ()()()1145215xyzxzzxy=-+-上式代入，得 ()()222218415yzxyz+=+-这就是所求的旋转曲面方程。在实际运用中，我们常把旋转轴取为坐标轴。特别地，若母线是一条平面曲线，我们又常把母线所在的平面取作一坐标面，旋转轴取作该平面内的某一坐标轴，这时旋转曲面的方程具有较简形式。3.2 平面曲线绕坐标轴
23、旋转生成的旋转曲面设 是坐标平面 上的曲线（图 15） ， ，GOxy它的方程是 (),0:gzx=旋转轴为 轴： ，如果z01y 1Pzyx O图 15 为母线 上的一点，那么过 的纬线圆方程为：()11,POyzG1P22210xyz-=+ 且有 ()1,gz从上面两组式子消去参数 ，具体做法是：将代入，得1,yz2221,xxy=+=+将 及 代入即得21yxy1z（14）2,0gxyz同样，把曲线 绕 轴旋转所得的旋转曲面的方程是：（15）2,z同理可知，坐标平面 上的曲线 Ox:,0,hxzy绕 轴或 轴旋转所生成的旋转曲面方程分别为：xz和2,0hyz2,z面上的曲线 Oy:,fx
24、绕 轴或 轴旋转所生成的旋转曲面方程分别为：x和2,0fyz2,0fxzy因此，我们有如下结论：定理 3：当坐标平面上的曲线 绕此坐标平面内的一个坐标轴旋转时，只要将曲线 在坐标平面里的方程保留和旋转同名的坐标，而以其余两个变量的平方和的平方根去替换方程中的另一坐标，即得旋转曲面的方程。例 14：将 面上的圆 绕 轴旋转，求Oxy22:,0Cxayrzary所得旋转曲面的方程。解：因为绕 轴旋转，所以方程 中保留 不变，而 用22rx代替，即得旋转曲面方程为：2xz，即 ，或222zayr2222xyzarxz22224xyzarxz这样的曲面叫做圆环面（图 16） ，它的形状象救生圈。3.3
25、 旋转二次曲面例 15：圆 绕 轴旋转所得的曲面方程为：22:,0Cxyrzx，即2r22yzr它是以原点为中心， 为半径的球面。r例 16：椭圆： 分别绕长轴（即 轴）与短轴（即 轴）21,0xyzabxy旋转二的的旋转曲面方程分别为：Oxz x y O a r22xay图 16（16）221xyzab（17）22曲面（16）叫做长形旋转椭球面（图 17） ，曲面（17）叫做扁形旋转椭球面（图 18） 。在研究地球时，常把地球的表面看成是扁形旋转椭球面；有些锅炉为了减轻蒸汽对炉壁的冲击力，而把它做成旋转椭球面的形状。例 17：将双曲线 ，绕虚轴（即 轴）旋转的曲面方程为：21,0yzxbcz
26、（18） （图 19）221xyzbc绕实轴（即 轴）旋转的曲面方程为：zxy221yzab长形旋转椭球面（图 17）221xyzabzx扁形旋转椭球面（图 18）（19） （图 20）221yxzbc曲面（18）叫做旋转单叶双曲面，曲面（19）叫做旋转双叶双曲面。旋转单叶双曲面在工程技术中很有用。例如发电厂和水泥厂的冷却塔多半建成旋转单叶双曲面的形式。例 18：将抛物线 ，绕它得对称轴2,0ypx（即 轴）旋转的曲面方程为：z（20）2xz它叫做旋转抛物面。 （图 21）旋转抛物面有着广泛的用途，如探照灯，车灯和太阳灶的反光面就是这种曲面。为了保持发射与接收电磁波的良好性能，雷达和射电望远镜
27、的天线多做成旋转抛物面。221xyzabczyxo旋转双叶双曲面图 20yxz21xyzabc图 19旋转单叶双曲面 zyxo旋转抛物面（图 21）参考文献1 朱德祥，朱维宗. 新编解析几何M. 西南师范大学出版社, 1989: 342367 2 章学诚. 解析几何M. 北京大学出版社，1989：2743243 崔冠之，唐宗李 .空间解析几何M. 北京：中央民资学院出版社，1989： 2132944 方德植. 解析几何M. 北京：高等教育出版社，1986：156171 5 陈明 . 解析几何讲义 M. 北京：高等教育出版社，1984：2132376 汪国鑫. 解析几何M. 四川大学出版社，1989：133180 7 朱鼎勋，陈绍菱. 空间解析几何学M. 北京：北京师范大学出版社，1984： 133175
