1、第四讲 曲面及其方程,曲面及其方程,一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面,曲面及其方程,一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面,如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:,(1) 曲面S上的任意点的坐标都满足此方程;,则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.,两个基本问题,(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.,(2) 已知方程时,研究它所表示的几何形状,(必要时需作图).,概念,例1,例2,例3,曲面及其方程,一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面
2、 四、二次曲面,曲面及其方程,一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面,一条平面曲线绕其平面上,所形成的曲面.,旋转曲线,概念,母线,定直线,轴,一条定直线旋转一周,旋转曲面的方程,给定yoz面上曲线C:,在曲线C上任取一点M1(0,y1,z1),f (y1,z1)=0,曲线C绕z轴旋转,M (x,y,z),z坐标不变,z=z1,点M到z轴的距离不变,当曲线C:f (y,z)=0绕y轴旋转，方程为:,方程的特点,z不变,y变为,类似地,例4,例5,注,锥面方程特征,齐次方程,绕x轴旋转,绕y轴旋转,旋转双曲面,曲面及其方程,一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲
3、面,曲面及其方程,一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面,方程,表示怎样的曲面.,在xoy面上，,表示圆C,在空间,过M1作,平行z轴的直线l,表示,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足方程,引例,分析,沿曲线C平行 z 轴的直线形成的曲面,方程,表示怎样的曲面.,在xoy面上，,表示圆C,在空间,过M1作,平行z轴的直线l,表示,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足方程,引例,分析,沿曲线C平行 z 轴的直线形成的曲面,平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹,叫做柱面.,C叫做准线,l叫做母线.,概念,圆柱面,准线:,xoy面上的圆,母线:,平行于z轴,抛物柱
4、面,母线平行于z轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,母线平行于z轴,方程特点,椭圆柱面,方程中缺少坐标;,缺少哪个坐标,母线平行哪一坐标轴;,准线为xoy 面上的椭圆.,平面,母线平行于z轴,准线为xoy 面上的直线.,一般地,在空间,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面上的曲线 l3.,母线,柱面,准线xoy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2.,母线,曲面及其方程,一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面,曲面及其方程,一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面,三元二次方程,研究二次曲面特性
5、的基本方法:,二次曲面的基本类型:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0 ),截痕法,1. 椭圆锥面,椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .,可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.,2. 椭球面,(1) 范围：,(2) 在垂直坐标面的平面上的截痕：,椭圆,(3) 当 ab 时为旋转椭球面;,当abc 时为球面.,3. 双曲面,(1)单叶双曲面,椭圆.,时, 截痕为,(实轴平行于x 轴；,虚轴平行于z 轴）,平面,上的截痕情况:,双曲线:,虚轴平行于x 轴）,时, 截痕为,时, 截痕为,(实轴平行于z 轴;,相交直线:,双曲线:,(2) 双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,4. 抛物面,(1) 椭圆抛物面,( p , q 同号),特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.,(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）,( p , q 同号),
