1、1二面角的平面角不等于两个半平面的法向量夹角刘旭海先给出 2008 年普通高等学校招生全国统一考试文科试题必修+选修 I 参考答案和评分标准（以下简称参答）第二十题的题目和解答。题目：如图，正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AA 1=2AB=4,点 ECC 1,且 C1C=3EC.() 证明：A 1C平面 BED() 求二面角 A1-DE-B 的大小解：以 D 为坐标原点、以从 D 点出发的 3 条棱所在的直线为坐标轴，建立如图所示直角坐标系 D-xyz.由题意：B(2,2,0)、C(0,2,0)、E(0,2,1)、A 1(2,0,4),=(0,2,1)、 = (2,2,0)、 =(-
2、2,2,-4)、 =(2,0,4).EBC1DA() =0 =0 11E故 A1CB D A1CDE又 DBDE=D A 1C平面 BED () 设向量 = (x,y,z)平面 DA1E 的法向量，则n， nDA2y+z=0 2x+4z=0令 y=1,则 z=2,x=4, =(4,1,-2)等于二面角 A1-DE-B 的平面角，n1AC而 cos = =11|nC42故 二面角 A1-DE-B 的平面角 = 142arcos以上就是参答解答。显然是把二面角的两个半平面的法向量的夹角直接认为就是二面角的大小，这是很不准确的。在()解法中，我们在求平面 DA1E 法向量 的过程中，若把“y=1”换
3、为n“ ”，那么就会得到平面 DA1E 法向量 =（-4，-1 ，2） 。若等于二面角1y=- n1ACB CA DC1B1D1A1XYZE2A1-DE-B 的平面角， 则 cos= =n1AC1|142-故 = 1142arcosp-所以二面角 A1-DE-B 的大小为 ，其结果和参答是不一致的。问题出142arcos-在二面角的两个半平面的法向量的夹角不一定就是二面角的平面角，换言之，参答没有进一步讨论二面角的关系就直接认为与法向量夹角相等。其根本原因在于一个平面的法向量有两个相反的方向。下面我们具体就二面角与两个半平面的法向量夹角关系作进一步探讨。设在二面角 -l- 中， , 分别为平面
4、 、 的法向量。试确定 与二面角1n2 1n2 -l- 的平面角的关系。为了研究问题的方便我们分类讨论如下。1. 相等型 在二面角的平面角与两个半平面法向量构成的四边形中，当法向量夹角是该四边形一个外角时相等(如图 1)。 1n2n 1n2图 1 图 22. 互补型 在二面角的平面角与两个半平面法向量构成的四边形中，当法向量夹角是该四边形一个内角或内角对顶角时互补（如图 2） 。 那么究竟是相等还是互补呢？通常结合具体问题能将所求的二面角的平面角与法向量夹角置于同一四边形中研究，从而使问题得到解决。所以，我们不难得出：在二面角的平面角与两个半平面的法向量构成的四边形中，当法向量夹角是该四边形一个外角时相等；当法向量夹角是该四边形一个内角或内角对顶角时互补（读者自己可以证明） 。
