1、三角形内三个顶点分别在三角形三边上且周长最小的三角形MBCEDFANGHO12如图 1 所示，做一个任意锐角ABC, 分别以 AC、AB 为对称轴向外做ABC 的轴对称图形CAN、ABM，G、H 分别为 D 的对称点，连接 G、H，则(1)GH=FD+ED+EF （2)GH 是 BC 上别于 D 点用同样方法所得的线段中最短的，也即DEF 为内三个顶点分别在三角形三边上周长最小的三角形。 （3）当ABC 为锐角三角形时，DEF 周长为(其中 p= )8()pabpc12abc证明(1)首先证明 G、F、E、H 在一直线上。连接 GH，分别与 AC、AB 交于 E、F，AEN=AGN=90AEG
2、N 四点共圆1=2，BAN 2 BAC ，AB=AN 1=90 -BAC。HAG 2BAC ，AH=AG AGE =90- BAC。AGE=2，E 与 E重合。同理 F 与 F重合。所以，G、F、E 、H 在一直线上。根据作图知，FD=FH,ED=EG,GH=FD+ED+EF,也即DEF 为 内三个顶点分别在三角形三边上周长最小的三角形。MBCEDFA NGHDGHEF图 2（2 ）如图 2，D是异于 D 点（不与 B、C 重合）的任意一点图 1G、H分别为 D的对称点，连接 G、H ，GH，分别与 AC、AB 交于 E、F，D EF的周长等于 GH的长在HAG 与H AG 中，HAG=HAG
3、=2BAC,AH=AG=AD,AH=AG=AD ,且 ADADGHGH因此 GH 最短，也即DEF 为内三个顶点分别在三角形三边上周长最小的三角形。MBCEDFA NGH图 3Q（3 ） 1sin2ABCSbcaA iDa过 A 做 AQ 与 GH 交于 Q, AH=AG=AD，HAG2 BAC， GH=2QG在 Rt AQG 中， GQ=AGsinA=ADsinA= sinA= sinbcabca2sinA由余弦定理得： cosA22bc两边平方得： 222a则 =1- =22sin1cosA22bc222211bcabca= 2222abacbc= 222= 222bcabc= 22abcc= 2164babc= 242 2cacabc令 p= 则 = abc2sinA24ppcb把式代入得：GQ= = a2ic24abpc= 4pbpcGH=2GQ= 8acb即DEF 的周长为 ppac当三角形为直角三角形或钝角三角形时不在本文讨论。
