1、 个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司 湖墅校区 12 1D CBAD CBA学生： 科目： 数 学 教师： 刘美玲 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形 ABC 用符号表示为ABC，三角形 ABC 的边 AB 可用边 AB 所对的角 C 的小写字母 c 表示，AC 可用 b 表示，BC 可用 a 表示.注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）ABC 是三角形
2、 ABC 的符号标记，单独的没有意义 三角形的分类： (1)按边分类：(2)按角分类： 三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段表示法：1.AD 是ABC 的 BC 上的中线.2.BD=DC= BC.12注意：三角形的中线是线段；三角形三条中线全在三角形的内部；三角形三条中线交于三角形内部一点；中线把三角形分成两个面积相等的三角形（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：1.AD 是ABC 的BAC 的平分线.2.1=2= BAC.1注意：三角形的角平分线是线段；三角形三条角平分线全在三角形的内部；课
3、 题 中考总复习 : 三角形基本性质、 特殊三角形教学内容三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形_C_B_A个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司 湖墅校区 2D CBA三角形三条角平分线交于三角形内部一点；用量角器画三角形的角平分线（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段表示法：1.AD 是ABC 的 BC 上的高线.2.ADBC 于 D.3.ADB=ADC=90.注意：三角形的高是线段；锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；三角形三条
4、高所在直线交于一点4. 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1)如图 3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.(2)如图 4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.如图 5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形直角顶上.5.三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段 是短；图 3 图 4图 5图 6图 7个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司 湖墅校区 3（2）围成三角形的条件
5、是任意两边之和大于第三边6. 三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于 180;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于 180推论：直角三角形的两个锐角互余。三角形的外角的定义三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.所以说一个三角形有六个外角，但我们每个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.三角形外角的性质（1）三角形的外角和等于 360（三个外角的和） 。（2）三
6、角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和（3）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角7三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性.适当添加辅助线，寻找基本图形(1)基本图形一，如图 8，在ABC 中，AB=AC，B,A,D 成一条直线，则DAC=2B=2C 或B= C= DAC.21(2)基本图形二，如图 9，如果 CO 是AOB 的角平分线，DEOB 交 OA,OC 于 D,E，那么DOE 是等腰三角形， DO=DE.当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条
7、件中的两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线等腰三角形.基本图形三，如图 10，如果 BD 是ABC 的角平分线，M 是 AB 上一点，MNBD，且与BP,BC 相交于 P,N.那么 BM=BN，即BMN 是等腰三角形，且 MP=NP，即：角平分线+垂线等腰三角形.图 8图 9个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司 湖墅校区 4当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图 11，图 12.8.三角形知识扩充:1直角三角形中各元素间的关系：如图，在ABC 中，C90，ABc，AC b，B
8、Ca。（1）三边之间的关系：a 2b 2c 2。 （勾股定理）（2）锐角之间的关系：AB90；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinAcosB ，cos AsinB ，tan A 。ccb2斜三角形中各元素间的关系：如图 6-29，在ABC 中，A 、B、C 为其内角，a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。（1）三角形内角和：ABC 。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。Rcba2sinisin（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2b 2c 22bccosA；b 2c 2a 2
9、2ca cosB；c 2a 2b 22abcos C。9三角形的面积公式：（1）S aha bhb chc（h a、h b、h c分别表示 a、b、c 上的高） ；1（2）S absinC bcsinA acsinB；21（3）S ； ；(海伦公式)()(css(2c（4）S ；)sin(2CBa)sin(2Ab)sin(B公式(4)可由公式（ 2）通过正玄定理 和 公式“ Sin(B+C)=SinA ”推出,学生可以自己推导。公式（1）和（2）学生必须掌握，公式（3）和（4）建议掌握。图 11个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司 湖墅校区 510.特殊三角形的性质和判定：一、等腰三角形1.
10、 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。2. 等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。3. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。4. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60。5. 等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。6. 含 30角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一
11、半。二、直角三角形1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt”表示 “直角三角形” ，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果ABC 是直角三角形，习惯于把以 C 为顶点的角当成直角。用三角A、B、C 对应的小写字母 a、b、c 分别表示三个角的对边。如果 ABAC 且A90，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。3. 会用
12、“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。5 在直角三角形中如果一个锐角是 30，则它所对的直角边等于斜边的一半” 。难点：在直角三角形中如何正确添加辅助线 通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司 湖墅校区 6【例题精讲】等腰三角形双基训练*1.已知等腰三角形 ABC 的底边 BC=8，|AC-BC|=3，则腰 AC 的长为 。*二.若等腰三角形的周长为 12，腰长为 x，则腰长 x 的取值范围是 。*三.已知等腰三角形一腰上的中线把这
13、个三角形的周长分为 15 和 6 两部分，则腰长与底边的长分别为 。*四.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这条高与底边的夹角为 。*五.在 ABC 中，AB=AC，AB 的中垂线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 500，则底角 B 的大小为 。*六.已知两根木棒的长分别是 8cm、10cm，要选择第三根木棒将它们钉成一个三角形，那么第三根木棒长 x 的范围是 ；如果以 5cm 为等腰三角形的一边，另一边为 10cm，则它的周长应为 。*7.图 14-32 是由两个全等的有一个角为 300的直角三角形拼成的，其中，两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数自变量（ ） 。（A）4
14、 个 （B）3 个 （C）2 个 （D）1 个 *八.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 300，腰长为 a，则其底边上的高是 。纵向应用*1.如图 14-33，在 ABC 中，D、E 分别是 AC、AB 边上的点，BD 与 CE 交于点 O，给出下列四个条件：EBO=DCO；BEO=CDO；BE=CD；OB=OC。（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定 ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形）？（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明：ABC 是等腰三角形。*二.如图 14-34，已知1=2，EFAD 于点 P，交 BC 延长线于点 M，求证：BME= (ACB-B).12*三.如图
15、14-35，在 RtABC 中，C=90 0，ADBC，CBE= ABE。求证：ED=2AB 12*四.如图 14-36，在 ABC 中，AB=AC，CM 是边 AB 上的中线，BD=AB，求证：CD=2CM*五.如图 14-37，在 ABC 中，AD 是A 的平分线，CDAD，垂足为 D，G 为 BC 的中点，求证：DGC=B。个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司 湖墅校区 7*6. 如图 14-38，已知等边 ABC 的周长为 6，BD 是 AC 边上的高，E 是 BC 延长线上一点，CD=CE，求 BDE 的周长。*7. 如图 14-39，已知 AB=AC，BD、CE 分别是B、C 的
16、平分线，AMBD 于点 M，ANCE 于点 N，求证：AMN 是等腰三角形。横向拓展*一. 已知等腰三角形三边的长为 a、b、c 且 a=c，若关于 x 的一元二次方程 ax2- bx+c=0 的两根之差为 ，则等腰三角形的一个底角是（ ） 。2（A）15 0 （B）30 0 （C）45 0 （D）60 0*2. 已知 ABC 的两边 AB、AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0 的两个实数根，第三边 BC 的长为 5。（1）k 为何值时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？（2）k 为何值时，ABC 是等腰三角形？并求出 ABC 的周长。*三. 如
17、图 14-40，已知等边 ABC 边 BA 延长线上有一点 D，BC 延长线上有一点 E，且 AD=BE，求证：DC=DE。*四. 如图 14-41，在 ABC 中，AB=AC，D 为 ABC 外一点ABD=60 0，ADB=90 0- BDC，求证：AB-12BD=DC。*5. 如图 14-42，ABD=ACD=60 0，ADB=90 0- BDC，求证：ABC 是12等腰三角形。*六. 如图 14-43，已知线段 b、c 和 ma，求作 ABC，使 AB=c，AC=b,BC 边上的中线 AD=ma.*七.如图 14-44，在等腰三角形 ABC 的一腰 AB 上取一点 D，在另一腰 AC 的
18、延长线上取 CE=BD，连 DE，则 DEBC. 个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司 湖墅校区 8等边三角形双基训练*三.如图 14-47，在等边 ABC 中，AE=CD，BGAD，求证：BP=2PG。纵向应用*1.如图 14-48，已知等边 ABC 的 ABC、ACB 的平分线交于 O 点，若 BC 上的点 E、F 分别在OB、OC 垂直平分线上，试说明 EF 与 AB 的关系，并加以证明。*二. 如图 14-49，C 是线段 AB 上的一点，ACD 和 BCE 是两个等边三角形，点 D、E 在 AB 同旁，AE 交 CD 于点 G，BD 交 CE 于点 H，求证：GHAB。*三. 如图
19、 14-50，已知 ABC 是等边三角形，E 是 AC 延长线上一点，选择一点 D 使得 CDE 是等边三角形，如果 M 是线段 AD 的中点，N 是线段 BE 的中点，求证：CMN 是等边三角形。*八. 如图 14-55，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，ABCD,AD=BC,对角线 AC、BD 交于点O，AOB=60 0，且 E、F 分别是 OD、OA 的中点，M 是 BC 的中点，求证：EFM 是等边三角形。p.117*9. 如图 14-56，在 ABCD 中，ABE 和 BCF 都是等边三角形，求证：DEF 是等边三角形。A*十.如图 14-57，已知 D 为等边 ABC 内一点，个
20、性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司 湖墅校区 9DA=DC，P 点在 ABC 外，且 CP=CA，CD 平分PCB，求P。横向拓展*1. 如图 14-58，已知 P 是等边三角形 ABC 内一点，APB:CPA=5:6:7,求以 PA、PB、PC 为边长的三角形的三内角之比。*三.如图 14-60，已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形，BDC 是顶角BDC 为 1200的等腰三角形，以点 D 为顶点作一个 600角的两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连结 MN，形成一个三角形。求证：AMN 的周长等于 2。*四.如图 14-61，在 ABC 中，A=60 0，BEAC，垂足
21、为 E，CFAB，垂足为 F，点 D 是 BC 的中点，BE、CF 交于点 M。（1）如果 AB=AC，求证：DEF 是等边三角形；（2）如果 ABAC，试猜想 DEF 是不是等边三角形？如果 DEF 是等边三角形，请加以证明；如果 DEF 不是等边三角形，请说明理由；（3）如果 CM=4cm，FM=5cm，求 BE 的长度。直角三角形双基训练*二.如图 14-65，AD 是 ABC 的中线，ADC=45 0，把 ADC 沿 AD 对折，点 C 落在点C的位置，则 BC 与 BC之间的数量关系是 。*三.如果三角形中两条边的垂直一部分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是（ ） 。（A）锐角三
22、角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）等边三角形个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司 湖墅校区 10*五.若直角三角形两直角边的和为 3，斜边上的高为 ，则斜边的长为 。25*六.在等腰 ABC 中，过腰 AB 的中点 D 作它的垂线（且点 A、C 在垂线的异侧）交另一腰 AC 于点 E，连结 BE，若 AD+AC=24，BD+BC=20，则 EBC 的周长为 。纵向应用*一.如图 14-70，在 ABC 中，高 AD、BE 交于点 H，M、N 分别是 BH、AC 的中点，ABC=45 0，求证：DM=DN。*三.如图 14-72，在 RtABC 中，ACB=90 0，BAC=30
23、 0，ADC 和 ABE 是等边三角形，DE 交 AB 于点 F，求证：F 是 DE 的中点。*四.如图 14-73，在 ABC 中，高 BE、CF 相交于点 H，M、N 分别是 BC、EF 的中点，直线 MN 与线段EF 之间具有怎样的关系？证明你的结论。*十一.如图 14-80，在 RtABC 中，ACB=90 0，M 是 AB 的中点，如果分别延长 AC、BC到点 E、F 使 CE=CF= AB，那么EMF 的度数等于几？是否是常数？ 12*二. 如图 14-92，在 ABC 中，AB=AC，BAC=90 0，D、E 是 BC 上两动点（与 B、C 不重合）且DAE=45 0。问：（1）BD、DE、EC 中哪条线段最长？（2）BD、DE、EC 三条线段能否构成直角三角形？若能，请加以证明。个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司 湖墅校区 11
