1、三垂线定理,江苏省海安县实验中学数学组 吕素楠,复习： 什么叫平面的斜线、垂线、射影？,PO是平面的斜线, O为斜足;,PA是平面 的垂线, A为垂足;,AO 是PO在平面内的射 影.,三垂线定理,性质,判定定理,性质,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,三垂线定理,直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。,例如：当 b 时，bOA,如果将定理“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？,但 b不垂直于OP,思考?,1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射 影)、a(直线)之间的垂直关系。,2、a与PO可以相
2、交，也可以异面。,3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。,说明：,三垂线定理,更多资源,例1 直接利用三垂线定理证明下列各题：,(1) 已知：PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：POBD，PCBD,(3) 已知：在正方体AC1中，求证：A1CB1D1，A1CBC1,(2) 已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAM,(1),(2),(3),(1) PA正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点， 求证：POBD，PCBD,证明:,ABCD为正方形O为BD的中点, AOBD,(2) 已知：PA平面PBC，PB=PC，M
3、是BC的中点，求证：BCAM,证明:,(3) 在正方体AC1中， 求证：A1CBC1 ， A1CB1D1,在正方体AC1中A1B1面BCC1B1且BC1 B1CB1C是A1C在面BCC1B1上的射影,证明：,同理可证， A1CB1D1,由三垂线定理知A1CBC1,我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件,解题回顾,三垂线定理解题的关键：找三垂！,怎么找？,一找直线和平面垂直,二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直,注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件,解题回顾,关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。 至于射影则是由垂足、斜
4、足来确定的，因而是第二位的。,从三垂线定理的证明得到证明ab的一个程序：一垂、 二射、三证。即,第一、找平面(基准面)及平面垂线,第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与 一条斜线。,三垂线定理,第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。,三垂线定理包含几种垂直关系？,线射垂直,线面垂直, 线斜垂直,直 线 和 平面垂直,平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直,平面内的直线和平面的一条斜线垂直,线射垂直,线斜垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直,三垂线定理的逆定理,？,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那
5、么它也和这条斜线的射影垂直。,已知：PA，PO分 别是平面 的垂线和斜 线，AO是PO在平面 的射影,a ,a PO 求证：a AO,三垂线定理的逆定理,例2 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等， 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。,已知：BAC在平面内，点P，PEAB，PFAC， PO ，垂足分别是E、F、O，PE=PF 求证：BAO=CAO,分析： 要证 BAO=CAO 只须证OE=OF, OEAB,OFAC,P,?,?,?,证明：, PO ,OE、OF是PE、PF在内的射影, PE=PF, OE=OF,由OE是PE的射影且PEAB得,OEAB,同理可得OFAC,结论成立,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也 和这条斜线垂直。,小 结,三垂线定理,三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条 斜线的射影垂直。,3操作程序分三个步骤“一垂二射三证”,1定理中四条线均针对同一平面而言,2应用定理关键是找“基准面”这个参照系,作业：教学与测试53创新作业14,感谢莅临指导! 再见！,更多资源,
