1、,自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影；,这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。,(1)射影,一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。,斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段。,A,C,B,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；,垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影。,斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。,定理 从平面外一 点向这个平面所引的 垂线段和斜线段中，,（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长,（2
2、）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长,（3）垂线段比任何一条斜线段都短,已知 PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a ，aAO。 求证： aPO,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。,三垂线定理,证明：,aPO,PAa ,AOa， AO与PA相交,a平面PAO,PO平面PAO,PA a,例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA平面ABC ，AC BC， 求证： PC BC,证明：PA平面ABC PC是平面ABC的斜线AC是PC在平面ABC上的射影BC平面ABC 且AC BC由三垂线定理得 PC BC,例2
3、直接利用三垂线定理证明下列各题：,(1) PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：POBD，PCBD,(3) 在正方体AC1中，求证：A1CB1D1，A1CBC1,(2) 已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BCAM,(1),(2),(3),我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件,解题回顾,，怎么找？,三垂线定理解题的关键：找三垂！,怎么找？,一找直线和平面垂直,二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直,注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件,解题回顾,三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定
4、定理，这两条直线可以是：,相交直线,异面直线,使用三垂线定理还应注意些什么？,解题回顾,直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。,例如：当 b 时，bOA,注意：如果将定理中 “在平面内”的条件 去掉，结论仍然成立 吗？,但 b不垂直于OP,解题回顾,三垂线定理包含几种垂直关系？,线射垂直,线面垂直, 线斜垂直,直 线 和 平面垂直,平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直,平面内的直线和平面的一条斜线垂直,线射垂直,线斜垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直,三垂线定理的逆定理,？,在平面内的一条直线，如果和这个平
5、面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。,已知：PA，PO分 别是平面 的垂线和斜 线，AO是PO在平面 的射影,a ,a PO 求证：a AO,三垂线定理的逆定理,三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。,三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。,定 理,逆 定 理,例3 在四面体ABCD中，已知ABCD，ACBD 求证：ADBC,DOBC，于是ADBC.,证明：作AO平面BCD于点O， 连接BO，CO，DO，则BO， CO，DO分别为AB，AC， AD在平面BCD上的射影。,O,ABCD，BOCD，,同理COBD，,于是O是BCD的垂心，,精品课件！,精品课件！,1.已知 PA、PB、PC两两垂直， 求证：P在平面ABC内的射影是 ABC的垂心。,2.经过一个角的顶点引这个角 所在平面的斜线，如果斜线和 这个角两边的夹角相等，那么 斜线在平面上的射影是这个角 的平分线所在的直线。,练习：,
