1、11.1. 变化率与导数1.1.2 导数的概念及其几何意义聊城二中 魏清泉学习目标：理解导数的概念并会运用概念求导数。学习重点：导数的概念以及求导数学习难点：导数的概念教学过程：一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。二、新授课：1.设函数 在 处附近有定义，当自变量在 处有增量 时，则)(xfy0 0xx函数 相应地有增量 ，如果 时， 与Y )(00fxfyy的比 （也叫函数的平均变化率）有极限即 无限趋近于某个常数，我们x y把这个极限值叫做函
2、数 在 处的导数，记作 ，即)(xfy00/xxfxf)(lim)( 000/注：1.函数应在点 的附近有定义，否则导数不存在。02.在定义导数的极限式中， 趋近于 0 可正、可负、但不为 0，而 可能x y为 0。3. 是函数 对自变量 在 范围内的平均变化率，它的几何意义xy)(f是过曲线 上点（ ）及点 ）的割线斜率。x)(,0xf )(,(00xfx4.导数 是函数 在点 的处瞬时变化xfffx)(lim)( 000/ )(fy02率，它反映的函数 在点 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲)(xfy0线 上点（ ）处的切线的斜率。因此，如果 在点)(xfy,0 )(xfy可导，则曲线
3、在点（ ）处的切线方程为0 )(xfy)(,0xf。)(0/fxfy5.导数是一个局部概念，它只与函数 在 及其附近的函数值有关，)(xfy0与 无关。6.在定义式中，设 ，则 ，当 趋近于 0 时， 趋近于x00x，因此，导数的定义式可写成0x。0000/ )(lim)(lim)( 0xfxfff xox 7.若极限 不存在，则称函数 在点 处不可导。ffx)(li00 )(fy0x8.若 在 可导，则曲线 在点（ ）有切线存在。反之不然，)(f0 )(xfy,0xf若曲线 在点（ ）有切线，函数 在 不一定可导，xfy,0 )(y0x并且，若函数 在 不可导，曲线在点（ ）也可能有切线。)
4、(fx,0f一般地， ，其中 为常数。abxlim0 b,特别地， 。a如果函数 在开区间 内的每点处都有导数，此时对于每一个)(xfy),(ba，都对应着一个确定的导数 ，从而构成了一个新的函数 。),(bax(/xf )(/xf称这个函数 为函数 在开区间内的导函数，简称导数，也可记作)(/xf)(fy，即/y )(/xf/ xffx)(limli00函数 在 处的导数 就是函数 在开区间)(fy0/y)(xfy),(ba上导数 在 处的函数值，即 。所以函数,(bax/0 0/x0/3在 处的导数也记作 。)(xfy0 )(0/xf注：1.如果函数 在开区间 内每一点都有导数，则称函数)
5、(xfy,ba在开区间 内可导。)(f,2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数 在点 处的导数就是导函数 在点 的函数值。)(xfy0 )(/xf03.求导函数时，只需将求导数式中的 换成 就可，即 0)(/xfxffx)(lim04.由导数的定义可知，求函数 的导数的一般方法是：)(xfy（1）.求函数的改变量 。f（2）.求平均变化率 。xfx)(（3）.取极限，得导数 。/y0lim5集合意义：一般地，已知函数 的图象是曲线 C，P （ ） ，Q （)(fy0,yx）是曲线 C 上的两点，当
6、点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时，割线yx00,PQ 绕着点 P 转动. 当点 Q 沿着曲线无限接近点 P，即 趋向于 0 时，如果割线 PQ 无限趋近于一个极限位置 PT，那么直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线. 此时，割线 PQ 的斜率 无限趋近于切线 PT 的斜率 k，也就是说，当xykP趋向于 0 时，割线 PQ 的斜率 的极限为 k.即函数 在 处的xPQ )(xfy0导数就是曲线 C 在 P（ ）处的切线的斜率。0,y三 例题讲析例 1.求 在 3 处的导数。12xy例 2.已知函数 xy2（1）求 。/4（2）求函数 在 2 处的导数。xy2例 3 判断曲线 在点 P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程 .2xy四 小结：理解导数的概念并会运用概念求导数。五 练习与作业：1.求下列函数的导数：（1） ； （2）43xy xy21(3) (3)1 352.求函数 在1,0，1 处导数。2xy3.求下列函数在指定点处的导数：（1） ； （2） ；,02xy 0,312xy（3） （4） .1)( 4.求下列函数的导数：（1） （2） ；;4xy 210xy（3） （4） 。3 75.求函数 在2,0，2 处的导数。xy26. 判断曲线 在（1， ）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.2
