1、变化率与导数,问题1 气球膨胀率,在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢?,结论：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小.,（一）平均变化率,思考：,当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?,问题2 高台跳水,在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系,在某段时间内，高度相对于时间的变化率用平均速度来描述。 即:,在0 t 0.5这段时间里,在1 t 2这段时间里,问题2.平均速度.,思考：求t1到t2时的平均速度,观察函数f(x)
2、的图象,O,A,B,x,y,Y=f(x),x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1,f(x2)-f(x1),平均变化率的定义：,一般地，函数 在区间 上的平均变化率为,令x = x2 x1 , y= f (x2) f (x1) ,则平均变化率可以表示为,几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。,例1、已知函数f(x)=2x+1, 计算在区间 1，2上 f(x) 的平均变化率.,例2、已知函数 f(x)=x2,计算f(x)在下列区间1，3上的平均变化率：,例3 已知f(x)=2x2+1 (1)求: 其从x1到x2的平均变化率； (2)求: 其从x0到x0+x的平均变化率.,
3、平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态.,探究讨论：,（二）、 导数的概念,在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.,又如何求 瞬时速度呢?,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?,求：从2s到(2+t)s这段时间内平均速度,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?,当t趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值
4、13.1.,从物理的角度看, 时间间隔 |t |无限变小时, 平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 13.1.,表示“当t =2, t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值 13.1”.,从2s到(2+t)s这段时间内平均速度,1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? 2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?,导数的概念,一般地，函数 y =f(x) 在点x=x0处的瞬时变化率是,例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.,(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数,(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.,三典例分析,例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 7x+15 ( 0x8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.,
